Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Variables à densité

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Ce cours est composé de 13 chapitres : (1) Espaces vectoriels (2) Applications linéaires (3) Probabilités discrètes (4) Suites et séries réelles (5) Réduction des endomorphismes (6) Vecteurs aléatoires (7) Intégration (8) Fonctions de deux variables (9) variables à densité (10) Problèmes de convergence et approximations en probabilités (11) Formules de Taylor et développements limités (12) Estimation (13) Eléments de Turbo-Pascal
Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Rappels
1.1Variableal´eatoire...........
1.2 Fonction de repartition . . . . . . . .
´

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mati`eres

des

Table

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2
2
2

1

2
2
3
3
4

4
5
5
5
5

International

Lyc´ee

Valbonne

de

2010

Juillet

Bonnet,

Brigitte

densit´e

9.

Variables

`
a

Chapitre

1

5
5
6
6
6
7
7
8
8

Momentsd’unevariablealeatoire`adensite
´ ´
4.1 Moment d’ordrendeX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 E ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sperance . . .
4.3Th´eore`medetransfert.........................................
4.3.1Casou`ϕ(x) =ax+b, aveca >. . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2Casou`ϕ(x) =x2. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5Variablesal´eatoirescentr´eesre´duites.................................
4.6 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4

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Composeed’unevariableale´atoireXparunefonctionnmue´iruqeϕ
´
3.1ϕ(x) =ax+b, aveca >. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .
3.2ϕ(x) =ax+b, aveca <. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .
3.3ϕ(x) =x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4ϕ(x) =ex. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Fonctiondere´partitionetdensit´ed’unevariableabsolumentcontinue
2.1D´efinitions....................................
2.2Propri´et´es....................................
2.3 Condition pour qu’une fonctionFondnpartitioionder´enufenotc´neeosti
2.4 Condition pour qu’une fonctionfeenprsoiutn´eeddlsioti´tbna´beiedno.e

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2

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Lois usuelles
5.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3Loinormalecentr´eer´eduite,ouloideLaplace-Gauss........................
2
5.4Loinormaledeparame`tresmetσ. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

8
8
8
9
11

1

Rappels

2

Onsupposed´efiniununiversprobabilis´e(ΩA Pnceal´eatoire.,a)ocsse`i´neautrecenia´pxeeire

1.1Variableal´eatoire

Unevariableal´eatoirere´elleXest une application de Ω versR, telle que pour tout intervalleIdeR,
X−1(I)∈ A, c’est-`-dire,X−1(Itun´ev´enement).es
a

Exemple :eentr´flceehtttnriueenOuqsicededee´dnu’leibrmfouresecunOet de rayonr. L’ensemble
desr´esultatspossiblesdecetteexpe´rienceal´eatoireestl’ensembleΩdespointsdudisque(onnecompteque
lescaso`ulafle`chearriveeffectivementsurlacible!).
SoitXla distance deOtdacafleltdinmp’i:hce´ettepoauXseenutal´eatoivariableera,evcX(Ω) = [0 r[.
X−1h02riste:tnemene´ve´’l{0≤X≤2r}mentutre,aal´flra“:iuptrtdaehceaettvirrnadeedslquisenecaltr
de centreOet de rayonr2 ”.

1.2

Fonction de repartition
´

Lafonctionder´epartitiond’unevariableal´eatoireXest l’applicationFdeR´dfie,0]1re[sv:arepni

Proprie´t´
es :

F(x) =P(X≤x)

a)FestcroissantesurR.
En effet, six1≤x2,P(X≤x2) =P(X≤x1) +P(x1< X≤x2`’od:,u)P(X≤x1)≤P(X≤x2) : on a bien
x1≤x2⇒F(x1)≤F(x2).

b)∀(a b)∈R2avec a P < b(a < X≤b) =F(b)−F(a).

c) Pour une variable quelconqueX, plusxstera“g”pndtenemenev’´sllu{X≤x}est probable, et inverse-
ment plusx,”omtetitsp“eneentmeslinev’´{X≤x}est probable :
´

2

l→im+∞F(x) = 1
x

et

limF(x) = 0
x→−∞

Fonctiondere´partitionetdensit´ed’unevariableabsolumentconti-
nue

2.1 D´finitions
e

De´finition1:SoitXavirbaellae´taiore,etneuFsafonctioned´rperaititnoS.iFestcontinuesurR, et
de classeC1surRsaenufnounrembpeionfidios´ltnises,Xest diteabsolument continue.

D´efinition2:SoitXtinnt,eueuleal´eatnevariabulemtnocioerbaosFsancforapeititnoit´redoiton.Sfune
fonctiontelleque,entoutpointo`uFd´ste,elbavireF0(x) =f(x). Alorsfest unensde´eitprdeaboblitie´deX.

Remarque: Commefest alors continue surRsisooint:l´esonbmnenudipeernfituenevf´ntmeleeluas
festcontinue par morceauxsurR.
De plus,Fest une primitive def.

D´efinition3:SoitXeil´tabibpeor´tdeneis,dedinuecontmentulosbaeriotae´laleabrivaneuf. Sonen-
semble de valeurslbmesne’ee´rsedelsestlxtels quef(x)6= 0.
Remarque: Commef)l´essisoointestcontinue(sauve´futneelletnemunenmbnofinreepidX(Ω) est soit un
intervalle deRlles.erunitso,avretni’dnoinue´

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

2.2Propriete´s
´

1.∀(a b)∈R2avec

a < b

3

Zbaf(t)d
P(a < X≤b) =F(b)−F(a) =t

2. CommeFest croissante surR,festpositive ou nullesurR.

3.eme1eor`´hT:F(x) =P(X≤x) =Z−x∞f(t)dt

4.

Cons´equence:L’int´raledefsur ]− ∞ x] est convergente, et en particulier :
eg

On sait quexl→i+m∞F(x lim) = 1 , doncZ−x∞f(t)dt= 1.
x→+∞
+∞
Z−∞
f(t)dt= 1

L’inte´graledefsurRest donc convergente et :

et en particulier :xl→im+∞f(x) = 0

limf(x) = 0
x→−∞

5. Commefest une fonction positive,Zbaf(tncP(a < X≤b´eitimnlpealamniudodiaerstl’),e
)dt, et do
par la courbe defiatsneodesxa’l,icsbsesslte,edsedruxteoi’´sduaeqx=aetx=b.
a
6.Soitunr´eeladeX(Ω) :P(X=a) =Zf(t)dt= 0.
a
On a donc :P(a < X≤b) =P(a < X < b) =P(a≤X≤b).
7. Supposons queX(Ω) = [a bedeobabilite´tirpedal(]snedXest nulle en dehors de l’intervalle [a b]).
´
Alors :Z−+∞∞f(t)dt=Zab1
1⇔f(t)dt=
•Six≤a F(x) =Z−x∞0dt= 0
•Six≥b F(x) =Zxf(t)dt=Z−a∞0dt+Zabf(t)dt+Zxb0dt= 1.
−∞

2.3

Th´eor`eme2:SiX(Ω) = [a b], alors∀x≤a F(x) = 0

et

∀x≥b

F(x) = 1

Condition pour qu’une fonctionFtcoifenotinueeosonn´dnioitrtpa´eernd

SoitFune fonction deRvers [01].
The´ore`me3SiFest continue surR, de classeC1tnemellebmonnuneepidfinres,ntoive´futneuas
:croissante surR, et telle que l→imF(x) = 0 etxl→i+m∞F(x) = 1
x−∞
alorsFtoeal´eabliaareveristefolacnitnoed´rperaittiond’unecertainX.

Exemple 1 :SoitFnd´ectioafonlap:rnfiei
•six <0 ,F(x) = 0
•si 0≤x≤1 ,F(x) =x
•six >1 ,F(x) = 1
AlorsF´erifiebires:vee´lepcssosrirap´nietoetet´unsseFn.trapoitidnoie´reunefonctest
SoitXvaneabriunoitartir´epondenctiedofioere´taellaFeed´tisnedenu,Xeenuteobraseeenprenantlad´eriv
´
deFl´sosint:esseopnouqpsioruelvaletdesuelcursqlbavte,eodnenannllcecie-tdesri´eaptruootu`
•six <0 ,f(x) = 0
•si 0< x <1 ,f(x) = 1
•six >1 ,f(x) = 0
•f(0) =f(1) = 1 (par exemple).

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

On remarque queX(Ω) = [01].

2.4

4

Condition pour qu’une fonctionfilibabore´tenedunitepedt´sideeosno´n

The´oreme4:
`

Soitfnotcoidne´nfieiusrunefR. Si :
•fest continue surR, ou continue par morceaux
•fest positive :∀x∈Rf(x)≥0
•delearge´tni’lfsurRest convergente etZ−+∞∞f(t)dt= 1
alorsf.ilab´eitede´borpedentisnestu

Exemple 2 :Soitffin´epaie:rd
sixsin≥on0ff((xx1=))=(10+x)2
•xli→m0+f(x) = 1,doncfest continue par morceaux.
• ∀x≥0f(x)>0 doncfest positive surR.
•Z−+∞∞f(t)dt=Z−0∞0dt+Z+0∞(11+t)2dt
Z0x11(+t)2dt=−+11xedelar+1doncl’int´egfsurRconverge et vaut 1.
Or
Conclusion :fbilit´e.enenutsibsit´edenrobaedep
SoitXededsntiavirbaelune´efr:eepaonn´noitdtsepe´ritratincdeon,fosa
•Six <0F(x) = 0
•Six≥0F(x) =Z−x∞f(t)dt=Z0x1+1(t)2dt= 1−+11x

Exemple 3 :Soitffiniepar:de´
(sixsin≥n0off((xx)==)+10(αx)3
Cherchons s’il existe une valeur deαtelle quefsoiitilabob.´esnedenutrpede´ti
•fest continue par morceaux surRet positive siα≥0.
•quelPoureladee´rgi’tnfsurRsoit convergente et de valeur 1, il faut et il suffit queα= 2 :
en effetZ0x(1 +αt)3dt=−2(1α+t)2x0=α21−+(112x)2`ou,’dZ−+∞∞f(t)dt2=α.
Danscecaslafonctiondere´partitiond’unevariableXddeneis´tefsera :
isisxx<≥00FF((xx=1))=0−11(+x)2

3

Compos´eed’unevariableale´atoireXofenurapm´eriquenctionnu
ϕ

On poseY=ϕ(X). Dans les exemples suivante, on suppose queX
densitegdeY.
´
On noteraFaflndioctonree´aptrtioidneXetGcelle deY.

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

aunedensit´ef, et on cherche une

Juillet 2010

3.1

ϕ(x) =ax+b, aveca >0

5

On a doncY=aX+bnoititrape´rendioctonafelerd`O.cnnoisGdeYion,finitrd´e.Pa

Entoutpointo`uF

On a donc :

G(x) =P(Y≤x)
=P(aX+b≤x)
X x a−b)
=P(≤
=Fxa−b
estde´rivable,g(x) =G0(x) =a1F0ax−b=a1f


g(x) =a1fxab

3.2ϕ(x) =ax+b, aveca <0

ax−b

Laseulediffe´renceaveclecaspr´ece´dent,c’estqu’endivisantlesdeuxmembresd’une
l’inegalite´changedesens:
´
G(x) =P(X≥ax−b) = 1−P(Xx<a−b) = 1−Fxa−b
d’o`u:g(x) =−a1fxa−b

Remarque :edxucrseunsnaceseul:peonr´utnieu

3.3ϕ(x) =x2

g(x) =|1a|fax−b

∀x∈R G(x) =P(X2≤x). On a alors deux cas :
•Six <0 :P(X2≤xodcnel,)ssbiimpoment´ene(´ev0=)G(x) = 0 etg(x) = 0.
•Six >0 :P(X2≤x) =P(−√x≤X≤ √x) =F(√x)−F(−√x)

etende´rivantonobtient:

g(x 2) =√1x(f(√x) +f(√−x))

•Six= 0 : On peut prendre n’importe quelle valeur pourg(0).

3.4ϕ(x) =ex

∀x∈R G(x) =P(eX≤x). On a alors deux cas :
•Six≤0 :P(eX≤xncdo),leib=0(´)opsstnmienemvee´G(x) = 0 etg(x) = 0.
•Six >0 :G(x) =P(eX≤x) =P(X≤lnx) =F(lnx) et donc :g(x 1) =x f(lnx).

4

Momentsd’unevariableale´atoire`adensit´e

4.1 Moment d’ordrendeX

in´egalit´epar

1
a

D´efinition4:SoitXunitnd,eunede´tiseenavirbaellae´taoireabsolumentcof, etnun entier strictement
positif.Xadmet un moment d’ordrens,iteesluementsi,l’int´egaledelarnoitcnofx7→xnf(x) est convergente
surR.
Dans ce cas on note :mn=Z−+∞∞tnf(t)dt

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

4.2Espe´rance

6

De´finition5:Xnoitclarge´tnnofaledemeleeuts’i,lsint´preenseise,naecmetuadx7→xf(x) est convergente
Z−+∞∞
surR, et dans ce cas :E(X) =tf(t)dt.
(L’espe´rancen’estautrequelemomentd’ordre1deX.)
Exemple 1 :On avait :si 0≤xsin≤1noff((xx0=)=1)
+∞
Alors :Z−∞f(t)dt=Z−0∞0dt+Z01tdt+Z+1∞0dt=t2201=.12
Xceetmeadeibtenun´psenareE(X)=12
Exemple 2 :f(t)1=1(+t)2sit≥0 etf(t) = 0 sinon.
t
Comme (1 +t)2+∞teedlarge´tni’l,1t7→tf(t) sur [0+∞[ est divergente.

DoncX’admetpancnar.ee’dse´ps

Exemple 3 :f(t)=1+2(t)3sit≥0 etf(t) = 0 sinon.
On remarque que : (1 +tt)31+1(=t)2−+1(1t)3
x
d’ou :Z0x2(1+tt)3dt=Z2(1(+t)2−21(+t)3)dt=−+21t+(1+1t)20x= 1−12+x+1(1+x)2
`
0
Donc, en prenant la limite quandxtend vers +∞,E(X) = 1

Casd’unedensite´deprobabilite´paire:

SiXeprot´edlit´babipaneisuodr,eontiirpaneeuncfo
The´ore`me5:´tniargete’lisledet7→tf(t) sur [0+∞[ est convergente,
Alors :E(X) = 0

4.3

The´ore`medetransfert

Th´e`me6:
ore

SoitXabvaierluedeednsntie´fnaree,ect,admettantuneesp´Y=ϕ(X),
ou`ϕgrevnoceecedecne´enteitte,algr´mrenounA.olqieuousrrs,srved´esetuesfonetinc
E(Y) =Z−+∞∞ϕ(t)f(t)dt

Onadmettraceth´eor`emedanslecasge´ne´ral,etonvalev´erifierdansdeuxcas.

4.3.1Caso`uϕ(x) =ax+b, aveca >0

Onavuquedanscecasunedensite´deY=aX+be´enndost:perag(x) =a1fx−b
a
Donc,sousr´eservedeconvergence,E(Y) =Z−+∞∞tg(t)dt=Z−+∞∞tfaat−bdt
On effectue le changement de variableu=t−bu`o’d,dt=adu, et commea >s:eeching´anettnrsseroenelbs0
a
+∞
E(Y) =Z−∞(au+b)f(u)du

Onabienl’expressionduth´eor`emedetransfertdanslecasY=aX+beetde,rap,sulpirae´nil’ieledt´algr´ent
impropre convergente,
E(aX+b) =aZ−+∞∞uf(u)du+bZ−+∞∞f(u)du

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

c’est-`a-dire:

The´ore`me7:

E(aX+b) =aE(X) +b

7

Remarque :nOeptuafmecalculirelemˆeedssnadacela <iuq,7emduatltsu`eor´ethe,0eluv´eernrtoroet
est donc valable quelle que soit la valeur dea.

4.3.2Caso`uϕ(x) =x2

Onavuquedanscecasunedensit´edeYtsodnne´pera:e
g(x) = 2√1x(f(√x) +f(−√x)) six >0,g(x) = 0 sinon.
Sousre´servedeconvergence,
E(Y) =Z−+∞∞tg(t)dt=Z+0∞2t√t(f(√t) +f(−√t))dt=Z+0∞√2tf(√t)dt+Z+0∞√2ft(−√t)dt
On appelleI1esecuxdet´inraeg,seltealrpme`iredeI2eme.edal`ixu

Calcul deI1:
On effectue le changement de variableu=√tu`o’d,t=u2, etdt= 2udu.sseobnrsel,chang´ee´etantin
I1=Z0+∞2fu(u)2udu=Z0+∞u2f(u)du

Calcul deI2:
On effectue le changement de variableu=√−t,uo`d’t=u2, etdt= 2udu.
Quandt= 0,u= 0, et quandttend vers +∞,utend vers−∞’d`o:u,
I2=Z0−∞−2fu(u)2udu=Z−0∞u2f(u)du
+∞
Onende´duit:E(Y) =I2+I1=Z−0∞u2f(u)du+Z0+∞u2f(u)du=Zu2f(u)du
−∞
Onretrouvebienlere´sultatduth´eor`emedetransfert,pourϕ(x) =x2.

4.4 Variance

D´efinition6:SoitXtaodimrelt´´eea,eblnesaiea`raidarnuenvaese´putenttnaceE(X). La variance deX
estlenombrer´eel,s’ilexiste,
V(X) =E([X−E(X)]2)

Th´eore`me8:

D´efinition7:

V(X) =E(X2)−(E(X))2(Formule de Koenig-Huyghens)

L’´ecart-typedelavariablealeatoireXeel:etsel´r
´
σ(X) =pV(X)

Exemple 1 :SoitXitns´eededfdfin´epari:e
Si 0≤x≤1,f(x) = 1, sinonf(x) = 0.
Nous avons vu :E(X)=12
E(X2) =Z−+∞∞t2f(t)dt=Z1t2dt= 1
03
` 1 1 1
: =−=
d’ouV(X) 3 4 12

Exemple 3 :Ladenis´tefdeXets´dfie:rapein
Six <0,f(x) = 0 et six≥0,f(x) = (x)12+3
On avait :E(X) = 1.
Sousre´servedeconvergence,E(X2) =Z+0∞21+(t2t)3dt

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

8

Or:(12+t2t)3+∼∞2tarelsetinteegt´ondetccdivergente.
La variableXn’admet pas de variance.

Th´eor`eme9:

V(aX+b) =a2V(X)
(sousr´eserved’existencedeV(X))

4.5Variablesal´eatoirescentre´esr´eduites

De´finition8:otriebleal´eaUnevariaXest ditecne´etresiE(X) = 0. Elle est ditenecee´rt
E(X) = 0 etσ(X) = 1.

re´duitesi

Atoutevariableal´eatoireXeranceetunevariadaemttnautense´per,ecnepnosatuicos
Th´eore`me10:e:itdu´eer´etrunarevbliaenecY=σX−(XE)(X)

4.6

Covariance

D´efinition9:Cov(X Y) =E(XY)−E(X)E(Y)

5 Lois usuelles

5.1 Loi uniforme

D´efinition10:La variableXsuit uneloi uniformesur l’intervalle [a beists]emtnueeldenssiladeit´e
probabilite´fde cette variable estconstantesur l’intervalle [a b], et nulle en dehors de cet intervalle.

Notation :X ,→ U([a b]) (ou :X ,→ U[a,b])

5.2

Valeur de la constante :
+
Sim[urest´sienadeluedrvalaselta b], on doit avoir :Z−∞∞f(t)dtest-`a-dire:=,1’c
Zbamdt ,= 1 soit :m(b−ad’=1uo`)m=b−1a.
Fonctiondere´partition:
•Six < a,F(x) = 0
•Six > b,F(x) = 1
•Sia≤x≤b,F(x) =xb−aa

Esperance :
´
Z−+∞∞tf(t)dt=Zabtb−a dt=b−1at22ab2=b(2b−−aa2)

E(X) =a2+b

Variance :
=t2dt=
E(X2) =Z−+∞∞t2f(t)dtZbab−a b1−at33ba3=b(3b−−aa3) =b2+a3b+a2
d’o`u:V(X) =b2+a3b+a2−(a+4b)2=b2−21a2b+a2c’es(t`)ab−12a)2
dire :V(X=

Loi exponentielle

De´finition11:Soitλuelstnr´emeneirtctifiptso.
Lavariableal´eatoireXusiolenutintnepoexepedllieramae`rteλe´tiisasednsit´edeprobabilftsennodpee´:ar

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

six≥0f(x) =λe−λx
sinonf(x) = 0

Notation :X ,→ E(λ)

9

Ve´rifionsquefest une densite :
´
+∞
Sousre´servedeconvergence,Z−+∞∞f(t)dtZ0λtdt
=λ−
e
orZx
:λe−λtdt=−e−λtx0= 1−e−λx
0
+∞
Commeλ >0,xl→i+m∞e−λx= 0Z−∞
, donc on a bien :f(t)dt= 1.
Par ailleurs cette fonction est positive ou nulle surR, et elle est continue par morceaux. C’est donc bien
unedensite´deprobabilite´.

Fonctionder´epartition:
D’apre`slecalculpr´ece´dent:ssiixx≥<00FF((xx))0=1=−e−λx

•´espncrae:E
Sousr´eservedeconvergence,E(X) =Z+∞tf(t)dt=Z+0∞tλe−λtdt
−∞
or,enutilisantuneinte´grationparparties:
1
Z0xtλe−λtdt=−te−λtx0+Z0xe−λtdt=−xe−λx+−1λ e−λtx0=−xe−λx−λ1e−λx+λ

5.3

d’ou`,enprenantlalimitequandxtend vers +∞,

E(X) =λ1

Variance :
Sousr´eservedeconvergence,E(X2) =Z−+∞∞t2f(t)dt=Z+0∞t2λe−λtdt
Avecuneint´egrationparparties:
Z0xt2λe−λtdt=−t2e−λt0x+Z0x2te−λtdt
etd’apre`slecalculpr´ece´dent:
−λx2
Z0xt2λe−λtdt=−x2e−λ xe−λx−λ22e−λx+λ22

En prenant la limite quandxtend vers +∞on obtient :

E(X2) =λ22od`’u:

Loinormalecentre´er´eduite,ouloideLaplace-Gauss

1
V(X) =
λ2

D´efinition12:aeotrieailbae´lLavarXuesteiseistnemelitnsdesade´ee´retiudnecee´rtnooialrmitsuelun
probabilite´estlafonctionϕd:´eparefini
∀x∈Rϕ(x) =√12eπ−x22
Notation :X ,→ N(01)

•Etude de la fonctionϕ:
∗La fonctionϕestpaireco,rlesubavire´dteeunitnR.
∗ϕ0(x) =− √x2eπ−x22qu´etenocsnp,raϕest strictement croissante surR−trictemeetssiastnetn´dceor
surR+.
La fonctionϕadmetunmaximumauniop´,0tlagea`√21π.
∗ϕ00(x) =√1(2x2−1)e−x22
π
parcons´equentlacourberepre´sentativedeϕerpsceitodnne´ses,decoorinflexionsvet2meadd’tsinpo
(1√21πe) et (−1)2
1√.eπ

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

ϕtbesnuieedentisn:e´

On admettra que :Z−+∞∞√21πe−t22dt= 1

10

Cons´equence:elba.edtniravnetuepnOeualsvlereuiedd´´tgeseniuartsr’dgemechansparrale
L’´egalit´eci-dessuspeuts’e´crire:Z−+∞∞e−t22dt=√2π, et en posantu=√t2,dt=√2duet donc :
Z−+∞∞e−u2√2du=√2π
d’ou`:Z−+∞∞e−u2du=√πet comme la fonction est paire :Z0+∞e−u2du=√2π

Es ´
perance
+∞
One´tudielaconvergencedel’inte´grale:Ztϕ(t)dt.
−∞
Comme la fonctionϕest paire, la fonctiont7→tϕ(tpaire;il)estimedncenvcogeeridutalretffiuse´’d
l’integrale sur [0+∞[.
´
x2
Z0xtϕ(t)dt=√21πZ0xte−t22dt=√21πh−e−t22i0x=√1(12−−2)
e
π
Commesl→i+m∞e−x22egraint´tconleesneetevgrte:’l,0=Z+0∞tϕ(t)dt=√21π

et commeϕest paire,

E(X) = 0

Variance
Pour calculerE(X2), on remarque que la fonctiont7→t2ϕ(tsiuetuli.enOaprionparatit´egneinrst)e
parties, en posant :
u(t) =t u0(t) = 1
v0(t) =tϕ(t)v(t) =−ϕ(t)
Z0xt2ϕ(t)dt= [−tϕ(t)]x0+Z0xϕ(t)dt=−xϕ(x) +Z0xϕ(t)dt
Orxl→i+m∞xϕ(x) =xl→i+m∞xe−x22= 0, etxl→i+m∞Z0xϕ(t)dt=Z+0∞ϕ(t)d1
t=
2
+∞
parconse´quent:Z0+∞t2ϕ(t)dt:u’d`o1=,2Zt2ϕ(t)dt= 1
−∞

et commeE(X) = 0,

V(X) = 1

Fonctiondere´partition

OnnoteΦlafonctiondere´partitiondeX: Φ(x) =Z−x∞ϕ(t)dt
Onnepeutexprimercettefonction`al’aidedesfonctionsusuelles,maisontrouvesesval`l’aide
eurs a
d’une table (voir annexe).

Proprie´te´s:
1. CommeϕΦ,er=)0(21tpaies
2. Pour toutxpositif ou nul, Φ(x)1=+2Z0xϕ(t)dt.
Onpeutalorscalculerunevaleurapproche´edecetteint´egraleparlame´thodedestrap`ezes,par
exemple.

3.Pourtoutr´eelx,

Φ(−x) = 1−Φ(x)

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

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