Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Variables à densité
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Publié le
01 janvier 2010
Nombre de lectures
27
Licence :
Langue
Français
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Rappels
1.1Variableal´eatoire...........
1.2 Fonction de repartition . . . . . . . .
´
. . . . . . . . . . . . .
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mati`eres
des
Table
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2
2
2
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
International
Lyc´ee
Valbonne
de
2010
Juillet
Bonnet,
Brigitte
densit´e
9.
Variables
`
a
Chapitre
1
5
5
6
6
6
7
7
8
8
Momentsd’unevariablealeatoire`adensite
´ ´
4.1 Moment d’ordrendeX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 E ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sperance . . .
4.3Th´eore`medetransfert.........................................
4.3.1Casou`ϕ(x) =ax+b, aveca >. . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2Casou`ϕ(x) =x2. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5Variablesal´eatoirescentr´eesre´duites.................................
4.6 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
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Composeed’unevariableale´atoireXparunefonctionnmue´iruqeϕ
´
3.1ϕ(x) =ax+b, aveca >. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .
3.2ϕ(x) =ax+b, aveca <. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .
3.3ϕ(x) =x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4ϕ(x) =ex. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Fonctiondere´partitionetdensit´ed’unevariableabsolumentcontinue
2.1D´efinitions....................................
2.2Propri´et´es....................................
2.3 Condition pour qu’une fonctionFondnpartitioionder´enufenotc´neeosti
2.4 Condition pour qu’une fonctionfeenprsoiutn´eeddlsioti´tbna´beiedno.e
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2
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Lois usuelles
5.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3Loinormalecentr´eer´eduite,ouloideLaplace-Gauss........................
2
5.4Loinormaledeparame`tresmetσ. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
8
8
8
9
11
1
Rappels
2
Onsupposed´efiniununiversprobabilis´e(ΩA Pnceal´eatoire.,a)ocsse`i´neautrecenia´pxeeire
1.1Variableal´eatoire
Unevariableal´eatoirere´elleXest une application de Ω versR, telle que pour tout intervalleIdeR,
X−1(I)∈ A, c’est-`-dire,X−1(Itun´ev´enement).es
a
Exemple :eentr´flceehtttnriueenOuqsicededee´dnu’leibrmfouresecunOet de rayonr. L’ensemble
desr´esultatspossiblesdecetteexpe´rienceal´eatoireestl’ensembleΩdespointsdudisque(onnecompteque
lescaso`ulafle`chearriveeffectivementsurlacible!).
SoitXla distance deOtdacafleltdinmp’i:hce´ettepoauXseenutal´eatoivariableera,evcX(Ω) = [0 r[.
X−1h02riste:tnemene´ve´’l{0≤X≤2r}mentutre,aal´flra“:iuptrtdaehceaettvirrnadeedslquisenecaltr
de centreOet de rayonr2 ”.
1.2
Fonction de repartition
´
Lafonctionder´epartitiond’unevariableal´eatoireXest l’applicationFdeR´dfie,0]1re[sv:arepni
Proprie´t´
es :
F(x) =P(X≤x)
a)FestcroissantesurR.
En effet, six1≤x2,P(X≤x2) =P(X≤x1) +P(x1< X≤x2`’od:,u)P(X≤x1)≤P(X≤x2) : on a bien
x1≤x2⇒F(x1)≤F(x2).
b)∀(a b)∈R2avec a P < b(a < X≤b) =F(b)−F(a).
c) Pour une variable quelconqueX, plusxstera“g”pndtenemenev’´sllu{X≤x}est probable, et inverse-
ment plusx,”omtetitsp“eneentmeslinev’´{X≤x}est probable :
´
2
l→im+∞F(x) = 1
x
et
limF(x) = 0
x→−∞
Fonctiondere´partitionetdensit´ed’unevariableabsolumentconti-
nue
2.1 D´finitions
e
De´finition1:SoitXavirbaellae´taiore,etneuFsafonctioned´rperaititnoS.iFestcontinuesurR, et
de classeC1surRsaenufnounrembpeionfidios´ltnises,Xest diteabsolument continue.
D´efinition2:SoitXtinnt,eueuleal´eatnevariabulemtnocioerbaosFsancforapeititnoit´redoiton.Sfune
fonctiontelleque,entoutpointo`uFd´ste,elbavireF0(x) =f(x). Alorsfest unensde´eitprdeaboblitie´deX.
Remarque: Commefest alors continue surRsisooint:l´esonbmnenudipeernfituenevf´ntmeleeluas
festcontinue par morceauxsurR.
De plus,Fest une primitive def.
D´efinition3:SoitXeil´tabibpeor´tdeneis,dedinuecontmentulosbaeriotae´laleabrivaneuf. Sonen-
semble de valeurslbmesne’ee´rsedelsestlxtels quef(x)6= 0.
Remarque: Commef)l´essisoointestcontinue(sauve´futneelletnemunenmbnofinreepidX(Ω) est soit un
intervalle deRlles.erunitso,avretni’dnoinue´
BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne
Juillet 2010
2.2Propriete´s
´
1.∀(a b)∈R2avec
a < b
3
Zbaf(t)d
P(a < X≤b) =F(b)−F(a) =t
2. CommeFest croissante surR,festpositive ou nullesurR.
3.eme1eor`´hT:F(x) =P(X≤x) =Z−x∞f(t)dt
4.
Cons´equence:L’int´raledefsur ]− ∞ x] est convergente, et en particulier :
eg
On sait quexl→i+m∞F(x lim) = 1 , doncZ−x∞f(t)dt= 1.
x→+∞
+∞
Z−∞
f(t)dt= 1
L’inte´graledefsurRest donc convergente et :
et en particulier :xl→im+∞f(x) = 0
limf(x) = 0
x→−∞
5. Commefest une fonction positive,Zbaf(tncP(a < X≤b´eitimnlpealamniudodiaerstl’),e
)dt, et do
par la courbe defiatsneodesxa’l,icsbsesslte,edsedruxteoi’´sduaeqx=aetx=b.
a
6.Soitunr´eeladeX(Ω) :P(X=a) =Zf(t)dt= 0.
a
On a donc :P(a < X≤b) =P(a < X < b) =P(a≤X≤b).
7. Supposons queX(Ω) = [a bedeobabilite´tirpedal(]snedXest nulle en dehors de l’intervalle [a b]).
´
Alors :Z−+∞∞f(t)dt=Zab1
1⇔f(t)dt=
•Six≤a F(x) =Z−x∞0dt= 0
•Six≥b F(x) =Zxf(t)dt=Z−a∞0dt+Zabf(t)dt+Zxb0dt= 1.
−∞
2.3
Th´eor`eme2:SiX(Ω) = [a b], alors∀x≤a F(x) = 0
et
∀x≥b
F(x) = 1
Condition pour qu’une fonctionFtcoifenotinueeosonn´dnioitrtpa´eernd
SoitFune fonction deRvers [01].
The´ore`me3SiFest continue surR, de classeC1tnemellebmonnuneepidfinres,ntoive´futneuas
:croissante surR, et telle que l→imF(x) = 0 etxl→i+m∞F(x) = 1
x−∞
alorsFtoeal´eabliaareveristefolacnitnoed´rperaittiond’unecertainX.
Exemple 1 :SoitFnd´ectioafonlap:rnfiei
•six <0 ,F(x) = 0
•si 0≤x≤1 ,F(x) =x
•six >1 ,F(x) = 1
AlorsF´erifiebires:vee´lepcssosrirap´nietoetet´unsseFn.trapoitidnoie´reunefonctest
SoitXvaneabriunoitartir´epondenctiedofioere´taellaFeed´tisnedenu,Xeenuteobraseeenprenantlad´eriv
´
deFl´sosint:esseopnouqpsioruelvaletdesuelcursqlbavte,eodnenannllcecie-tdesri´eaptruootu`
•six <0 ,f(x) = 0
•si 0< x <1 ,f(x) = 1
•six >1 ,f(x) = 0
•
