Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Suites numériques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Suites numériques Exercice 7 [ 00322 ] [correction] Soit Z 1 nx Exercice 1 [ 00298 ] [correction] I = dxn x+10Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : a) Montrer que I → 0 en décroissant.n n√ xna) u = n b) u = 1+n n b) Simplifier I +I et en déduire une expression de I à l’aide d’un symbolen n+1 nn n+2 sommatoire.n−1 1 12c) u = d) u =n cos −cosn n c) Déterminer n+1 n n+1 N n−1nlnn X n (−1)π α ln(n+1) lime) u = tan + f) u =n n N→+∞ n4 n lnn n=1 √ √ √ 2nn n n n 2+ 3+ 4 arctan(n+1) d) Exploiterg) u = h) u =n n Z 1 n3 arctann x J = dxn 2x +10 pour déterminerExercice 2 [ 00302 ] [correction] N nXNature de la suite de terme général (−1) lim 2 N→+∞ 2n+1u = cos(πn ln(1−1/n)) n=0n Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02781 ] [correction] Exercice 8 [ 00324 ] [correction] 1/nn [Irrationalité de e]Etudier la convergence de la suite ba c , où a> 0. On pose pour n> 1, nX 1 1 u = et v =u +n n nExercice 4 Mines-Ponts MP [ 02782 ] [correction] k! n.n! k=0 Soient des réels positifs a et b. Trouver la limite de a) Montrer que les suites (u ) et (v ) sont adjacentes.n n n1/n 1/n xa +b b) En exploitant l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction x7→ e , 2 montrer que u → e.n ?c) On suppose que e =p/q avec p,q∈N . En considérant q.q!u et q.q!v obtenirq q une absurdité. Exercice 5 [ 00304 ] [correction] Soit (u ) une suite d’entiers naturels deux à deux distincts.
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Suites numériques

Exercice 1[ 00298 ][correction]
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
a)un=n√nb)un=1 +xnn
)un=n−11n+2)un=n2cos 1n−colsn1+1
c d
n+
e)un=tanπ4 +αnnf)un=n(lln+nn1)nnn2
g)un=n√2 +n√+33n√4nh)un=acratarctan(nnn+ 1)n

Exercice 2[ 00302 ][correction]
Nature de la suite de terme général

un= cos(πn2ln(1−1n))

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02781 ][correction]
Etudier la convergence de la suitebanc1n, oùa >0.

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02782 ][correction]
Soient des réels positifsaetb. Trouver la limite de
a1n2+b1nn

Exercice 5[ 00304 ][correction]
Soit(un)naturels deux à deux distincts. Montrer queune suite d’entiers
un→+∞.

Exercice 6[ 00300 ][correction]
Soienta >0et
un= (1 +a)(1 +a2)  (1 +an)
a) Montrer que sia>1alorsun→+∞.
b) On suppose0< a <1. Montrer que la suite(un)est convergente. On pourra
exploiter la majoration1 +x6exvalable pour toutx∈R.

Enoncés

Exercice 7[ 00322 ][correction]
Soit
n
In=Z1xdx
0x+ 1
a) Montrer queIn→0en décroissant.
b) SimplifierIn+In+1et en déduire une expression deIn
sommatoire.
c) Déterminer
N−1
limX(−1n)n
N→+∞1
n=
d) Exploiter

pour déterminer

1
JnZ0x2xn d+ 1x
=

Nl→im+NX(2n−+)1n1

n=0

à l’aide d’un symbole

1

Exercice 8[ 00324 ][correction]
[Irrationalité dee]
On pose pourn>1,
n1 1
un=Xk!etvn=un+nn!
k=0
a) Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes.
b) En exploitant l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonctionx7→ex,
montrer queun→e.
c) On suppose quee =pqavecp q∈N?. En considérantqq!uqetqq!vqobtenir
une absurdité.

Exercice 9[ 00320 ][correction]
Soientα >0et
n
un=Xn1
k=1α+kα
a) Montrer que siα >1alorsun→0tandis que siα <1,un→+∞.
b) Montrer que siα= 1, la suite est monotone et convergente.
c) En exploitant l’encadrementln(1 +x)6x6−ln(1−x)valable pour tout
x∈[01[, établirun→ln 2.

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Exercice 10[ 00321 ][correction]
a) Etablir que pour toutx>0on a

b) En déduire la limite de

1
x−x26ln(1 +x)6x
2

n
un=kY=11 +nk2

Exercice 11[ 03428 ][correction]
a) Déterminer
lim2n1
→+∞p=nX+1p
n

b) Pourα >1, déterminer

c) En déduire

nl→im+∞2Xn1
p=n+1pα

nl→i+m∞p=2nXn+1sin1p

Enoncés

Exercice 12Centrale MP[ 00319 ][correction]
a) Soit
np
un=Xn1
k=1+k
oùp∈N?est fixé. Montrer que la suite(un)converge. Sa limite sera notée`(on
ne demande pas ici de la calculer)
b) Soitf:R+→Cde classeC1et telle quef(0) = 0. Soit
vn=kn=Xp1fn+1k

Montrer que(vn)Exprimer sa limite en fonction deconverge. `.
c) Calculer`en utilisantf(x) = ln(1 +x).
d) SifdeR+dansCest continue et vérifief(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir
divergence de la suite(vn).

Exercice 13Centrale MP[ 00323 ][correction]
Développement asymptotique à trois termes de :

nk
un=Xsinn2
k=1

2

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02788 ][correction]
Donner un développement asymptotique den!1k=Pn0k!n∈Nà la précisiono(n−3).

Exercice 15Centrale MP[ 02471 ][correction]
Soitf(x) = ( )1xet(C)le graphe def.
cosx
a) Montrer l’existence d’une suite(xn)vérifiant :
i)(xn)est croissante positive.
ii) la tangente à(C)en(xn f(xn))passe parO.
b) Déterminer un développement asymptotique à 2 termes de(xn).

Exercice 16Centrale PC[ 03184 ][correction]
SoientKun réel strictement supérieur à 1 et(εn)une suite de réels positifs
convergeant vers 0. Soit(un)une suite de réels de[01]vérifiant

∀n∈N06un+16unK+εn

La suite(un)converge-t-elle vers 0 ?

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)un= exp (lnnn)→1.
b)un= expnln1 +xn (= expx+o(1))→ex.
c)un= exp(n+ 2) ln1−n2+1= exp(−2 +o(1))→e−2.
d)un=−2n2sin1n+n+11sinn1−n1−1=On1→0.
e)tanπ4+αn= 1 +2nα+o1ndonc
un= expnln1 +2nα+o1n= exp(2α+o(1))→e2.
α
lnn
f)un=1 +nnl1n+onln1nn→e.
g)n√2 = expn1ln 2= 1 +n1ln 2 +o(1),un=1 +3nln24+on1n→
h) Par le théorème des accroissements finis

ln(arctan(n+ 1))−ln(arctann=)+11c2ctanra1c

avecn6c6n+ 1donc
1
un= expn21+1c2arctanc→e2π

Exercice 2 :[énoncé]
En développantln(1−1n)
un= cosπn+2π+o(1)= (−1)n+1sin(o(1))→0

3√24.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
Sia∈]01[, la suite est constante égale à 0.
Sia= 1, la suite est constante égale à 1.
n
Sia >1alorsan−1<banc6andonne(an−1)1n<banc16aet donc, par
encadrement, la suite converge versa.

Exercice 4 :[énoncé]
Sia= 0oub= 0alors la suite converge évidemment vers 0. On suppose
désormaisa b >0.
Puisque
a1n= e1nlnaavec1lna→0
n

on peut écrire
a1n 1= 1 +nlna+o1n
On procède de mme pourb1net alors
12a1n+b1n+1=12nln(ab) +o

puis

donne

Finalement

1n

b1n
a1n2+n= expnln+121nln(ab) +o1n

a1n2+b1nn= expln(12ab) +o(1)

a1n2+b1nn→√ab

Exercice 5 :[énoncé]
∀A∈R+, l’ensembleE={n∈Nun< A}est fini car il contient au plus
E(A) + 1éléments.
Par suite il possède un plus grand élémentNet alors∀n>N+ 1 un∈Edonc
un>A. Ainsiun→+∞.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Sia>1alorsun>2n→+∞doncun→+∞.
b)un>0etuunn+1>1donc(un)est croissante. De plus
un6eaea2  ean= expa11−−aan6exp1a−a

donc(un)est majorée et par suite convergente.

Exercice 7 :[énoncé]
a)

doncIn→0.

06In6Z10xndx=n1+1→0

3

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De plus, pour toutx∈[01],

doncIn6In+1.
b)

donc

c)I0= ln 2et(−1)nIn

xnxn+1
x+ 16x+ 1

In+In+1=n1+1

n−k
In=Xn(−1)
k+ (−1)nI0
k=1
→0donc

nX(−1)−k0
k+ ln 2→
k=1

puis la conclusion.
d) Comme ci-dessus,Jn→0. De plus

donc

puis

d’où

Jn+Jn+2=n+11

J2n=n−X1(−12k)n−11−k+ (−1)nJ0
k=0+

n−X1(2−k1)+k+11+π4→0
k=0

nX(−1)kπ
k02k+ 1→4
=

Exercice 8 :[énoncé]
a) Aisément(un)est croissante(vn)décroissante etvn−un→0.
b) Par l’inégalité de Taylor-Lagrange, pour toutx∈[01],

n
exXkx!k6M(nn+1+x1n)+!1

k=0

Corrections

avecMn+1=xs∈[u0p](ex)(n+1)= e. Pourx= 1, on obtient
1

|e−un|6(n+1)!e→0

4

doncun→e.
c) Par la stricte monotonie des suites(un)et(vn)on aun<e< vnpour tout
n∈N?
.
qq!uqest un entier etqq!vqest l’entier consécutif. Orqq!uq< qq!e< qq!vqdonc
qq!ene peut tre entier. Orqq!e =pq!∈N. Absurde.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Siα >1alors06un6nαn+1→0doncun→0.
Siα <1alorsun>nαn+nα=21n1−α→+∞doncun→+∞.
b)un+1−un=2n11++2n12+−n1+1>0donc(un)est croissante. De plus
un6n+n161donc(un)est majorée et par conséquent convergente.
c)
n1k6−lnkYn=11−n1+k!=−ln2nn=
un=X1n 2+ ln
k=
et
un=X
nln1nkY=11 +n1+k!= ln 2nn1+1+→ln 2
k=1n+k>
doncun→ln 2.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Il suffit de dresser le tableau de variation des fonctionsx7→ln(1 +x)−x+21x2
etx7→x−ln(1 +x).
b)
n(n+ 1)→1
lnun6Xnk22=n2
k=1
et
Xnk k2n+ 111

doncun→ √e.

lnun>n2−n42=n+On→2
k=1

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Exercice 11 :[énoncé]
a) Par somme de Riemann

n
p2=nXn+1pk=11 +nkZ01 +t
1=n1X1→1dt= ln 2

b) Par somme de Riemann

n
p=2Xnn+1p1α=n1−αn1X=1+11kα→0×Z10+(1dtt)α= 0
k n

c) Sachant pourx >0

on obtient

et donc

x3
x−6sinx6x
6

2n
Xsin1p−p=2Xnn+1p1661p=2nXn+1p13
p=n+1

2n
limXsin1p=nl→im+∞p=2Xnn+1p 2 ln1 =
n→+∞
p=n+1

Exercice 12 :[énoncé]
a) La suite(un)est croissante car

1 1 1
un+1−un=n(p ++ 1) + 1∙ ∙ ∙(+n+ 1)(p+ 1)−n+ 1>0

etun6n+p16pdonc(un)converge vers une limite`.
n
b) Commençons par le cas oùf0(0) = 0.
Soitε >0, il existeα >0tel que pour toutx∈[0 α]on ait|f0(x)|6εet par
l’inégalité des accroissements finis, on obtient

On a alors

et doncvn→0.

∀x∈[0 α]|f(x)|6ε|x|

np
|vn|=Xn+kε6pε
k=1

Corrections

Pour le cas général, il suffit d’introduireg(x) =f(x)−xf0(0). Puisqueg0(0) = 0,
on a
kn=Xp1gn1+k−−−−→0
n→+∞

et donc
vn−unf0(0)−−−−→0
n→+∞
et finalementvn→`f0(0).
c) Pourf(x) = ln(1 +x),
np
vn=Xln(n+k+ 1)−ln(n+k) = ln(n(p+ 1) + 1)−ln(n+ 1)→ln(p+ 1)
k=1
On conclut`= lnp.
d) Pourf(x) =√x,

vn=knXp1√1>p(npn+ 1)p→+∞
n+k
=

Exercice 13 :[énoncé]
Pourx∈[01],

On a donc

avec

doncMn=o(1n3).
Or

et

donc

sin 131
x−x+6x6120

un=nXkn2−16nk63+Mn
k=1

n51 1
|Mn|60211Xnk106120n4
k=1

n
Xnk2=n(2nn+22+112=)1n
k=1

1n
nXnk3=Xk3∼14n
6n6 2
k=1k=1
1 1 1 +on12
un=2+2n−24n2

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Exercice 14 :[énoncé]
On a
n1 1
n!1k=X0k! = 1 +n+n(n−1) +n(n−)(11n−2) +on13+knX=−05kn!!

Or

donc

)! 1
nk=X−05kn!!6(n−4) (nn−!=5on3

n!1nkX=0k! = 1 +n1+n12+n23+on13

Exercice 15 :[énoncé]
a) La fonctionfest définie etC∞surD=SIkavec
k∈Z
Ik=i−2π+ 2kπ π 22 +kπh

Corrections

Pourx∈ D, la tangente en(x f(x))passe parOsi, et seulement si,xf0(x) =f(x).
Après transformation, ceci équivaut pourx >0à l’équation

xtanx+ ln(cos(x)) + 1 = 0

Posonsϕ(x) =xtanx+ ln(cos(x)) + 1.
ϕest définie etC∞surD.ϕ0(x) =x(1 + tan2x)>0surD ∩R+?.
Quandx→π2+ 2kπ−,ϕ(x)→+∞. Quandx→−2π+ 2kπ+,ϕ(x)→ −∞.
ϕIkréalise donc une bijection deIkversR(pourk∈N?).
La suite(xn)n∈N?avecxn= (ϕIn)−1(0)est solution.
b) Evidemmentxn∼2nπet doncxn= 2nπ+yn.
On a
sinycosyn(ln cosyn) + cosyn
n=−2nπ+yn
avec|yn|< π2
L’étude de la fonctionx7→xlnx+xassure que celle-ci est bornée et donc
sinyn→0puisyn→0.
1
Par suitecosyn→1doncsinyn∼ −2nπpuisyn∼ −2n1π.
On conclut
11n
xn= 2nπ−2nπ+o

Exercice 16 :[énoncé]
Montrons que la suite(un) . .converge vers 0 par l’epsilontique.
Soitε >0. Puisque la suite(εn)converge vers 0, il existe un rangN∈Npour
lequel
∀n>N06εn6ε

et alors pour toutn>N

On en déduit

u ε
06un+16nK+

06un+26uKn2+Kε2+Kε

et par récurrence
p
u ε
∀p∈N06un+p6Kpn+XKi
i=1
La suite(un)étant majorée par 1 et on peut encore écrire


∀p∈N06un+p6K+1εXK1i=K1p+1−ε1K
p
i=1

Pourpassez grand, on a1Kp6εet alors

06un+p6ε+1−ε1K=λε

avecλune constante strictement positive ce qui permet de conclure.

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