Sujet : Analyse, Espaces normés, Continuité des applications linéaires

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité des applications linéaires Exercice 7 [ 00489 ] [correction] Soit E une algèbre de dimension finie non nulle. On désire établir que E peut être muni d’une norme d’algèbre. Soitk.k une norme sur E. Pour tout x∈E, on poseExercice 1 [ 00483 ] [correction] Soit u un endomorphisme continu d’un espace vectoriel normé E. N(x) = sup kaxkMontrer que a∈E,kak=1 ∀λ∈ Sp(u),|λ|6kuk a) Justifier que N(x) existe dansR. b) Etablir que N est une norme d’algèbre sur E. Exercice 2 [ 00484 ] [correction] Soient E et F deux espace vectoriels normés. On suppose qu’une suite (f )n d’éléments deLC(E,F) converge vers f∈LC(E,F) (au sens de la norme Exercice 8 X MP [ 00490 ] [correction]subordonnée) et qu’une suite (x ) d’éléments de E converge vers x∈E. Etablirn Soit f une forme linéaire non nulle et continue sur un espace vectoriel normé E.que f (x )→f(x).n n Montrer que si x∈/ kerf alors |f(x)|Exercice 3 [ 00485 ] [correction] d(x,kerf) = Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f∈L(E,F). kfk On suppose que pour toute suite (u ) tendant vers 0, f(u ) est bornée.n n Montrer que f est continue. Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02832 ] [correction] Soientd un entier naturel et (f ) une suite de fonctions polynomiales deR dansRnExercice 4 [ 00486 ] [correction] de degré au plus d. On suppose que cette suite converge simplement.
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Continuité des applications linéaires

Exercice 1[ 00483 ][correction]
Soituendomorphisme continu d’un espace vectoriel norméun E.
Montrer que
∀λ∈Sp(u)|λ|6kuk

Exercice 2[ 00484 ][correction]
SoientEetFdeux espace vectoriels normés. On suppose qu’une suite(fn)
d’éléments deLC(E F)converge versf∈ LC(E F)(au sens de la norme
subordonnée) et qu’une suite(xn)d’éléments deEconverge versx∈E. Etablir
quefn(xn)→f(x).

Exercice 3[ 00485 ][correction]
SoientEetFdeux espaces vectoriels normés etf∈ L(E F).
On suppose que pour toute suite(un)tendant vers 0,f(un)est bornée.
Montrer quefest continue.

Enoncés

Exercice 4[ 00486 ][correction]
Montrer queN1etN2normes surEsont équivalentes si, et seulement si, IdEest
bicontinue de(E N1)vers(E N2).

Exercice 5[ 00487 ][correction]
Soitu∈ LC(E F). Montrer

kuk= supku(x)kF
kxkE<1

Exercice 6[ 00488 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé non réduit à{0}etu v∈ L(E)continus tels

que
u◦v−v◦u=αIdE
pour un certainα∈R.
a) Etablir que pour toutn∈N,

u◦vn+1−vn+1◦u= (n+ 1)αvn

b) En déduire queα= 0.

1

Exercice 7[ 00489 ][correction]
SoitEune algèbre de dimension finie non nulle. On désire établir queEpeut tre
muni d’une norme d’algèbre. Soitkkune norme surE. Pour toutx∈E, on pose

N(x) = supkaxk
a∈Ekak=1

a) Justifier queN(x)existe dansR.
b) Etablir queNest une norme d’algèbre surE.

Exercice 8X MP[ 00490 ][correction]
Soitfune forme linéaire non nulle et continue sur un espace vectoriel norméE.
Montrer que six ∈kerfalors

d(xkerf) =|fk(xfk)|

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02832 ][correction]
Soientdun entier naturel et(fn)une suite de fonctions polynomiales deRdansR
de degré au plusd. On suppose que cette suite converge simplement.
Montrer que la limite est polynomiale de degré au plusd, la convergence étant de
plus uniforme sur tout segment.

Exercice 10[ 03282 ][correction]
SoientEun espace normé de dimension finie etuun endomorphisme deE
vérifiant
∀x∈Eku(x)k6kxk

Montrer que les espacesker(u−Id)et Im(u−Id)sont supplémentaires.

Exercice 11[ 03717 ][correction]
Edésigne un espace vectoriel normé parN.
Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.
On supposekp−qk<1(oùkkdésigne la norme subordonnée àN)
Montrer quepetqsont de mme rang.

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Exercice 12CCP MP[ 03786 ][correction]
On munitE=Mp(C)de la norme

a) SoientXfixé dansC

petP

kMk=16miajx6p|mij|

fixé dans GLp(C); montrer que

φ(M) =M Xetψ(M) =P−1M P

définissent des applications continues.
b) Montrer que
f(M N) =M N

Enoncés

définit une application continue.
c) SoitA∈ Mp(C)telle que la suite(kAnk) ;soit bornée montrer que les valeurs
propres deAsont de module inférieur à 1.
d) SoitB∈ Mp(C)telle que la suite(Bn)tende vers une matriceC. Montrer que
C2=C; que conclure à propos du spectre deC?
Montrer que les valeurs propres deBsont de module au plus égal à 1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitλune valeur propre deu. Il existe un vecteurx6= 0vérifiantu(x) =λxet
alors
|λ| kxk=ku(x)k6kuk kxk

puis

carkxk>0.

|λ|6kuk

Exercice 2 :[énoncé]
Notonskkla norme induite surLC(E F)par les normes existant surEetF.
kfn(xn)−f(x)kF6kfn(xn)−fn(x)kF+kfn(x)−f(x)kFavec
kfn(xn)−fn(x)kF6kfnk kxn−xkE→0(carkfnkest bornée) et
kfn(x)−f(x)kF6kfn−fk kxkE→0donckfn(xn)−f(x)kF→0.

Exercice 3 :[énoncé]
Par contraposée. Supposons quefne soit par continue., l’application linéairef
n’est donc pas continue en 0 et par suite il existeε >0vérifiant
∀α >0∃x∈Ekxk6αetkf(x)k> ε.
Pourα= 1n, il existexn∈Etel quekxnk61netkf(xn)k> ε.
Considérons alorsyn=√nxn.
On akynk= 1√ndoncyn→0etkf(yn)k>√nε→+∞.
Ainsi(yn)est une suite convergeant vers 0 dont la suite image(f(yn))n’est pas
bornée.

Exercice 4 :[énoncé]
La continuité de l’application linéaire IdEde(E N1)vers(E N2)équivaut à
l’existence d’un réelα>0vérifiantN2(x)6αN1(x)pour toutx∈E. La
propriété annoncée est alors immédiate.

Exercice 5 :[énoncé]
Pour toutx∈Etel quekxkE<1, on a

ku(x)kF6kuk kxkE6kuk

donc

s= supku(x)kF6kuk
kxkE<1

Pour toutx∈Etel quekxkE= 1, on ann+1xE<1donc
unn+ 1xF6s

puis
n+ 1
ku(x)kF6s
n
A la limite quandn→+∞, on obtientku(x)kF6sd’où l’on déduit

puis l’égalité annoncée.

kuk= supku(x)k6s
kxk=1

Exercice 6 :[énoncé]
a) Par récurrence surn∈Nen écrivant

puis

u◦vn+2−vn+2◦u= (u◦vn+1)◦v−vn+2◦u

u◦vn+2−vn+2◦u= (n+ 1)αvn+1+vn+1◦u◦v−vn+2◦u

et en simplifiant via

vn+1◦u◦v−vn+2◦u=vn+1(u◦v−v◦u)

3

b)
k(n+ 1)αvnk6kukvn+1+vn+1kunk
donc
(n+ 1)|α| kvnk6(kuk kvk+kvk kuk)kvnk
Si pour toutn∈N,vn6= 0alors on obtient(n+ 1)|α|62kuk kvkpour tout
n∈Nce qui impliqueα= 0.
S’il existen∈N?tel quevn= 0, alors pour le plus petit de ces entiersvn−16= 0et
vn= 0et la relation
u◦vn−vn◦u= (n+ 1)αvn−1

permet de conclureα= 0.

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Exercice 7 :[énoncé]
a) L’applicationa7→axest linéaire donc continue surEespace de dimension
finie. Par suite on peut introduire sa norme triple qui est justementN(x).
b)N:E→R+.
SiN(x) = 0alorsa7→axest l’application nulle et poura= 1E, on obtient
x= 0E.

et

N(λx) = supka(λx)k= sup|λ| kaxk=|λ|supkaxk=|λ|N(x)
kak=1kak=1kak=1

Corrections

N(x+y sup) =ka(x+y)k6sup (kaxk+kayk)6supkaxk+ supkayk=
kak=1kak=1kak=1kak=1

Exercice 10 :[énoncé]
Soitx∈ker(u−Id)∩Im(u−Id).
On peut écrirex=u(a)−apour un certaina∈Eet on au(x) =x.
Pour toutk∈N, la propriétéuk(x) =xdonne

uk+1(a)−uk(a) =x

En sommant ces relations pourkallant de 0 jusqu’àn−1, on obtient

un(a)−a=nx

et donc
N(x)+N(y)kxk=n1kun(a)−ak6n(1kun(a)k+kak)6n2kak →0
a Ainsix= 0et doncker(u−Id)∩Im(u−Id) ={0}.
p r De plus, par la formule du rang

EnfinN(xy)6N(x)N(y)cara7→a(xy)s’obtient par composition dea7→ax
a7→ay.

Exercice 8 :[énoncé]
Pour touty∈kerf,|f(x)|=|f(x)−f(y)|6kfk kx−ykdonc
|f(x)|6kfkd(xkerf).
Pourz∈E, on peut écrirez=λx+yavecy∈Hetλ=f(z)f(x).
Siλ6= 0alorsz=λ(x+yλ)donckzk>|λ|d(x H)puis
|f(z)|=|λ| |f(x)|6d|(fx(xH)|)kzk
Cette inégalité vaut encore quandλ= 0et cela permet d’affirmerkfk6d|(xf(xH)|)
puis l’inégalité complémentaire de la précédente.

Exercice 9 :[énoncé]
Considéronsα0     αddes réels deux à deux distincts etϕ:Rd[X]→Rd+1
définie par
ϕ(P) = (P(α0)     P(αd))
L’applicationϕest un isomorphisme deR-espaces vectoriels de dimensions finies,
c’est aussi une application linéaire continue car les espaces engagés sont de
dimensions finies et il en est de mme deϕ−1.
En notantfla limite simple de(fn), on aϕ(fn)→(f(α0)     f(αd)). En notant
Pl’élément deRd[X]déterminé parϕ(P) = (f(α0)     f(αd)), on peut écrire
ϕ(fn)→ϕ(P). Par continuité de l’applicationϕ−1, on a doncfn→Pdans
Rd[X]. En choisissant surRd[X], la norme équivalentekk∞[ab], on peut
affirmer que(fn)converge uniformément versPsur le segment[a b].
En particulier(fn)converge simplement versPet en substanceP=f.

dim ker(u−Id) + dimIm(u−Id) = dimE

et donc les deux espacesker(u−Id)et Im(u−Id)sont supplémentaires.

Exercice 11 :[énoncé]
Par l’absurde, supposons rgp6=rgqet, quitte à échanger, ramenons-nous au cas
où rgp <rgq.
Par la formule du rang
dimE−dim kerp <rgq

et donc

dimE <dim kerp+rgq

On en déduit que les espaceskerpet Imqne sont pas supplémentaires et donc il
existe un vecteurx6= 0Evérifiant

On a alors

donc

Or

C’est absurde.

x∈kerp∩Imq

(p−q)(x) =p(x)−q(x) =−x

N((p−q)(x)) =N(x)

N((p−q)(x))6kp−qkN(x)< N(x)

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Corrections

Exercice 12 :[énoncé]
a) Les applicationsφetψsont linéaires au départ d’un espace de dimension finie
donc continues.
b) L’applicationfdépart d’un produit d’espaces de dimensionsest bilinéaire au
finies donc continue.
c) Soitλune valeur propre deAetXun vecteur propre associé

On a alors

AX=λXavecX6= 0

AnX=λnX

donc
|λn| kXk∞=kAnXk6pkAnk kXk∞
aveckXk∞=16mja6xp|xj| 6= 0.
On en déduit que la suite(λn)est bornée et donc|λ|61.
d)Bn→Cdonc par extractionB2n→C. OrB2n=Bn×Bn→C2donc par
unicité de la limiteC=C2. On en déduit que SpC⊂ {01}car les valeurs propres
figurent parmi les racines du polynôme annulateurX2−X.
Puisque la suite(Bn)converge, elle est bornée et donc les valeurs propres deB
sont de modules inférieurs à 1.

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