5
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
5
pages
Français
Ebook
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Publié par
Nombre de lectures
115
Licence :
Langue
Français
Publié par
Nombre de lectures
115
Licence :
Langue
Français
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Continuité des applications linéaires
Exercice 1[ 00483 ][correction]
Soituendomorphisme continu d’un espace vectoriel norméun E.
Montrer que
∀λ∈Sp(u)|λ|6kuk
Exercice 2[ 00484 ][correction]
SoientEetFdeux espace vectoriels normés. On suppose qu’une suite(fn)
d’éléments deLC(E F)converge versf∈ LC(E F)(au sens de la norme
subordonnée) et qu’une suite(xn)d’éléments deEconverge versx∈E. Etablir
quefn(xn)→f(x).
Exercice 3[ 00485 ][correction]
SoientEetFdeux espaces vectoriels normés etf∈ L(E F).
On suppose que pour toute suite(un)tendant vers 0,f(un)est bornée.
Montrer quefest continue.
Enoncés
Exercice 4[ 00486 ][correction]
Montrer queN1etN2normes surEsont équivalentes si, et seulement si, IdEest
bicontinue de(E N1)vers(E N2).
Exercice 5[ 00487 ][correction]
Soitu∈ LC(E F). Montrer
kuk= supku(x)kF
kxkE<1
Exercice 6[ 00488 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé non réduit à{0}etu v∈ L(E)continus tels
que
u◦v−v◦u=αIdE
pour un certainα∈R.
a) Etablir que pour toutn∈N,
u◦vn+1−vn+1◦u= (n+ 1)αvn
b) En déduire queα= 0.
1
Exercice 7[ 00489 ][correction]
SoitEune algèbre de dimension finie non nulle. On désire établir queEpeut tre
muni d’une norme d’algèbre. Soitkkune norme surE. Pour toutx∈E, on pose
N(x) = supkaxk
a∈Ekak=1
a) Justifier queN(x)existe dansR.
b) Etablir queNest une norme d’algèbre surE.
Exercice 8X MP[ 00490 ][correction]
Soitfune forme linéaire non nulle et continue sur un espace vectoriel norméE.
Montrer que six ∈kerfalors
d(xkerf) =|fk(xfk)|
Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02832 ][correction]
Soientdun entier naturel et(fn)une suite de fonctions polynomiales deRdansR
de degré au plusd. On suppose que cette suite converge simplement.
Montrer que la limite est polynomiale de degré au plusd, la convergence étant de
plus uniforme sur tout segment.
Exercice 10[ 03282 ][correction]
SoientEun espace normé de dimension finie etuun endomorphisme deE
vérifiant
∀x∈Eku(x)k6kxk
Montrer que les espacesker(u−Id)et Im(u−Id)sont supplémentaires.
Exercice 11[ 03717 ][correction]
Edésigne un espace vectoriel normé parN.
Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.
On supposekp−qk<1(oùkkdésigne la norme subordonnée àN)
Montrer quepetqsont de mme rang.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Exercice 12CCP MP[ 03786 ][correction]
On munitE=Mp(C)de la norme
a) SoientXfixé dansC
petP
kMk=16miajx6p|mij|
fixé dans GLp(C); montrer que
φ(M) =M Xetψ(M) =P−1M P
définissent des applications continues.
b) Montrer que
f(M N) =M N
Enoncés
définit une application continue.
c) SoitA∈ Mp(C)telle que la suite(kAnk) ;soit bornée montrer que les valeurs
propres deAsont de module inférieur à 1.
d) SoitB∈ Mp(C)telle que la suite(Bn)tende vers une matriceC. Montrer que
C2=C; que conclure à propos du spectre deC?
Montrer que les valeurs propres deBsont de module au plus égal à 1
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Soitλune valeur propre deu. Il existe un vecteurx6= 0vérifiantu(x) =λxet
alors
|λ| kxk=ku(x)k6kuk kxk
puis
carkxk>0.
|λ|6kuk
Exercice 2 :[énoncé]
Notonskkla norme induite surLC(E F)par les normes existant surEetF.
kfn(xn)−f(x)kF6kfn(xn)−fn(x)kF+kfn(x)−f(x)kFavec
kfn(xn)−fn(x)kF6kfnk kxn−xkE→0(carkfnkest bornée) et
kfn(x)−f(x)kF6kfn−fk kxkE→0donckfn(xn)−f(x)kF→0.
Exercice 3 :[énoncé]
Par contraposée. Supposons quefne soit par continue., l’application linéairef
n’est donc pas continue en 0 et par suite il existeε >0vérifiant
∀α >0∃x∈Ekxk6αetkf(x)k> ε.
Pourα= 1n, il existexn∈Etel quekxnk61netkf(xn)k> ε.
Considérons alorsyn=√nxn.
On akynk= 1√ndoncyn→0etkf(yn)k>√nε→+∞.
Ainsi(yn)est une suite convergeant vers 0 dont la suite image(f(yn))n’est pas
bornée.
Exercice 4 :[énoncé]
La continuité de l’application linéaire IdEde(E N1)vers(E N2)équivaut à
l’existence d’un réelα>0vérifiantN2(x)6αN1(x)pour toutx∈E. La
propriété annoncée est alors immédiate.
Exercice 5 :[énoncé]
Pour toutx∈Etel quekxkE<1, on a
ku(x)kF6kuk kxkE6kuk
donc
s= supku(x)kF6kuk
kxkE<1
Pour toutx∈Etel quekxkE= 1, on ann+1xE<1donc
unn+ 1xF6s
puis
n+ 1
ku(x)kF6s
n
A la limite quandn→+∞, on obtientku(x)kF6sd’où l’on déduit
puis l’égalité annoncée.
kuk= supku(x)k6s
kxk=1
Exercice 6 :[énoncé]
a) Par récurrence surn∈Nen écrivant
puis
u◦vn+2−vn+2◦u= (u◦vn+1)◦v−vn+2◦u
u◦vn+2−vn+2◦u= (n+ 1)αvn+1+vn+1◦u◦v−vn+2◦u
et en simplifiant via
vn+1◦u◦v−vn+2◦u=vn+1(u◦v−v◦u)
3
b)
k(n+ 1)αvnk6kukvn+1+vn+1kunk
donc
(n+ 1)|α| kvnk6(kuk kvk+kvk kuk)kvnk
Si pour toutn∈N,vn6= 0alors on obtient(n+ 1)|α|62kuk kvkpour tout
n∈Nce qui impliqueα= 0.
S’il existen∈N?tel quevn= 0, alors pour le plus petit de ces entiersvn−16= 0et
vn= 0et la relation
u◦vn−vn◦u= (n+ 1)αvn−1
permet de conclureα= 0.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Exercice 7 :[énoncé]
a) L’applicationa7→axest linéaire donc continue surEespace de dimension
finie. Par suite on peut introduire sa norme triple qui est justementN(x).
b)N:E→R+.
SiN(x) = 0alorsa7→axest l’application nulle et poura= 1E, on obtient
x= 0E.
et
N(λx) = supka(λx)k= sup|λ| kaxk=|λ|supkaxk=|λ|N(x)
kak=1kak=1kak=1
Corrections
N(x+y sup) =ka(x+y)k6sup (kaxk+kayk)6supkaxk+ supkayk=
kak=1kak=1kak=1kak=1
Exercice 10 :[énoncé]
Soitx∈ker(u−Id)∩Im(u−Id).
On peut écrirex=u(a)−apour un certaina∈Eet on au(x) =x.
Pour toutk∈N, la propriétéuk(x) =xdonne
uk+1(a)−uk(a) =x
En sommant ces relations pourkallant de 0 jusqu’àn−1, on obtient
un(a)−a=nx
et donc
N(x)+N(y)kxk=n1kun(a)−ak6n(1kun(a)k+kak)6n2kak →0
a Ainsix= 0et doncker(u−Id)∩Im(u−Id) ={0}.
p r De plus, par la formule du rang
EnfinN(xy)6N(x)N(y)cara7→a(xy)s’obtient par composition dea7→ax
a7→ay.
Exercice 8 :[énoncé]
Pour touty∈kerf,|f(x)|=|f(x)−f(y)|6kfk kx−ykdonc
|f(x)|6kfkd(xkerf).
Pourz∈E, on peut écrirez=λx+yavecy∈Hetλ=f(z)f(x).
Siλ6= 0alorsz=λ(x+yλ)donckzk>|λ|d(x H)puis
|f(z)|=|λ| |f(x)|6d|(fx(xH)|)kzk
Cette inégalité vaut encore quandλ= 0et cela permet d’affirmerkfk6d|(xf(xH)|)
puis l’inégalité complémentaire de la précédente.
Exercice 9 :[énoncé]
Considéronsα0 αddes réels deux à deux distincts etϕ:Rd[X]→Rd+1
définie par
ϕ(P) = (P(α0) P(αd))
L’applicationϕest un isomorphisme deR-espaces vectoriels de dimensions finies,
c’est aussi une application linéaire continue car les espaces engagés sont de
dimensions finies et il en est de mme deϕ−1.