Sujet : Analyse, Espaces normés, Normes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Normes Exercice 6 [ 00459 ] [correction] Pour A = (a )∈M (R) on posei,j n  Exercice 1 [ 00454 ] [correction] 1/2 nXSoient N ,N deux normes sur unR-espace vectoriel E.1 2 2 kAk = ai,ja) On note B ={x∈E/N (x)6 1} et B ={x∈E/N (x)6 1}.1 1 2 2 i,j=1 Montrer B =B ⇒N =N1 2 1 2 Montrer quek.k est une norme matricielle i.e. que c’est une norme surM (R)n vérifiantb) Même question avec les boules unités ouvertes. ∀A,B∈M (R), kABk6kAkkBkn Exercice 2 [ 03248 ] [correction] n Exercice 7 [ 03625 ] [correction]Soient a ,...,a des réels et N :K →R l’application définie par1 n Pour A = (a )∈M (C), on posei,j n N(x ,...,x ) =a |x|+···+a |x |1 n 1 1 n n nX A quelle condition sur les a ,...,a , l’application N définit-elle une norme sur kAk = sup |a |1 n i,j n 16i6nK ? j=1 a) Montrer quek.k définit une norme surM (C).n b) VérifierExercice 3 [ 00455 ] [correction] 2 ∀A,B∈M (C),kABk6kAkkBkMontrer que l’application N :R →R définie par n N(x ,x ) = sup |x +tx|1 2 1 2 t∈[0,1] Exercice 8 [ 00460 ] [correction] 2 Pour A = (a )∈M (C), on posei,j nest une norme surR . Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci àk.k . n∞ X kAk = sup |a |i,j 16i6n j=1 Exercice 4 [ 00456 ] [correction] Soient f ,...,f : [0,1]→R continues. a) Montrer quek.k est une norme d’algèbre surM (C).1 n n A quelle condition l’application b) Montrer que si λ est valeur propre de A alors|λ|6kAk. N : (x ,...
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Normes

Exercice 1[ 00454 ][correction]
SoientN1 N2deux normes sur unR-espace vectorielE.
a) On noteB1={x∈EN1(x)61}etB2={x∈EN2(x)61}.
Montrer
B1=B2⇒N1=N2
b) Mme question avec les boules unités ouvertes.

Exercice 2[ 03248 ][correction]
Soienta1     andes réels etN:Kn→Rl’application définie par

N(x1     xn) =a1|x1|+∙ ∙ ∙+an|xn|
A quelle condition sur lesa1     an, l’applicationNdéfinit-elle une norme sur
Kn?

Exercice 3[ 00455 ][correction]
Montrer que l’applicationN:R2→Rdéfinie par

N(x1 x2) = sup|x1+tx2|
t∈[01]

Enoncés

est une norme surR2.
Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci àkk∞.

Exercice 4[ 00456 ][correction]
Soientf1     fn: [01]→Rcontinues.
A quelle condition l’application

N: (x1     xn)7→ kx1f1+∙ ∙ ∙+xnfnk∞
définit-elle une norme surRn?

Exercice 5[ 00457 ][correction]
PourA= (aij)∈ Mnp(K). On p
ose
n pvn p
kAk1=X X|aij|,kAk2=uti=X1j=X1|aij|2etkAk∞=16i6mna1x6j6p|aij|
i=1j=1

Montrer quekk1,kk2etkk∞définissent des normes surMnp(K).

Exercice 6[ 00459 ][correction]
PourA= (aij)∈ Mn(R)on pose
n12
kAk=ijX=1ai2j

Montrer quekkest une norme matricielle i.e. que c’est une norme surMn(R)
vérifiant
∀A B∈ Mn(R),kABk6kAk kBk

Exercice 7[ 03625 ][correction]
PourA= (aij)∈ Mn(C), on pose

n
kAk= sup
16i6jnX=1|aij|

a) Montrer quekkdéfinit une norme surMn(C).
b) Vérifier
∀A B∈ Mn(C)kABk6kAk kBk

Exercice 8[ 00460 ][correction]
PourA= (aij)∈ Mn(C), on pose

n
kAk= supX|aij|
16i6nj=1

a) Montrer quekkest une norme d’algèbre surMn(C).
b) Montrer que siλest valeur propre deAalors|λ|6kAk.

Exercice 9[ 00461 ][correction]
Soientp >1etq >1tel que1p+ 1q= 1.
a) Montrer que poura b>0

ab61ap+ 1bq
p q
Pourx= (x1     xn)∈Knety= (y1     yn)∈Kn, on pose :
X|y
kxkp=i=Xn1|xi|p!1petkykq=i=n1i|q!1q

1

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b) Etablir

et en déduire

c) En écrivant

|xiyi|1x
kxkpkykq6p|kxi|kppp+ 1q|kyyi|kqqq

n
X|xiyi|6kxkpkykq
i=1

(|xi|+|yi|)p=|xi|(|xi|+|yi|)p−1+|yi|(|xi|+|yi|)p−1

justifier
kx+ykp6kxkp+kykp
d) Conclure quekkpdéfinit une norme surKn.

Exercice 10[ 00462 ][correction]
Pourx= (x1     xn)∈Knetp>1on pose
kxkp=i=Xn1|xi|p!1p
Montrer
kxk= limkxk

∞p→+∞p

Exercice 11[ 02639 ][correction]
On définit surE=C0([01]R)une norme par
N(f)Z1
=|f(t)|dt
0
a) Soienta b>0et >u v0. Etablir que
√1a+b
a+√b= 1⇒u+v6u v
b) Soientf g∈Etelles quef g >0. Montrer

N((f+g)−1)6N(f)2N((Nf(−f1)++)NN((gg)))22N(g−1)

c) En déduire que

N(f+g)N((f+g)−1)6max(N(f)N(f−1) N(g)N(g−1))

Enoncés

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02766 ][correction]
Soit(Ekk)un espace vectoriel normé surK(K=RouC).
a) Montrer que pour tousx y∈E

kxk+kyk62 max{kx+ykkx−yk}

b) Montrer que l’on peut avoir l’égalité avecx6= 0ety6= 0.
Désormais la norme est euclidienne.
c) Montrer que pour tousx y∈E
kxk+kyk6√2 max{kx+ykkx−yk}
d) Peut-on améliorer la constante√2?

Exercice 13X MP[ 00795 ][correction]
Soitn∈Navecn>2. Existe-t-il une normekksurMn(C)invariante par
conjugaison, c’est-à-dire telle que :

∀(A P)∈ Mn(C)×GLn(C)kAk=P−1AP

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Soitx∈E. Six= 0alorsN1(x) =N2(x) = 0. Sinon :
Posonsy=N1x(x). On ay∈B1⊂B2doncN2(y)61d’oùN2(x)6N1(x).
De manière symétriqueN1(x)6N2(x)puis l’égalité.
b) On reprend la démarche ci-dessus à partir de
x
y=N1(x) +
ε

avecε >0pour obtenirN2(x)< N1(x) +εavant de faire tendreεvers 0.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Notons(e1     en)la base canonique deKn.
SiNest une norme alors
N(ei) =ai>0
Il est donc nécessaire que lesa1     ansoient tous strictement positifs pour que
Nsoit une norme.
Inversement, supposons que lesa1     ansont tous strictement positifs.
L’applicationNest alors à valeurs dansR+.
La relationN(λx) =|λ|N(x)est immédiate.
Puisque lesaisont positifs, on aN(x+y)6N(x) +N(y)car
ai|xi+yi|6ai|xi|+ai|yi|.
Enfin, siN(x) = 0alors par nullité d’une somme de quantités positives

donc

i.e.x= 0

∀i∈ {1     n} ai|xi|= 0

∀i∈ {1     n} xi= 0

Exercice 3 :[énoncé]
Quandtvarie de 0 à 1, l’expression|x1+tx2|varie de|x1|à|x1+x2|
Par suite, on peut exprimer plus simplement l’action deN:

N(x1 x2) = max{|x1||x1+x2|}

Soientx= (x1 x2)ety= (y1 y2)deux vecteurs deR2.

N(x+y) = max{|x1+y1||x1+y1+x2+y2|}6max{|x1|+|y1||x1+x2|+|y1+

3

Pourλ∈R,
N(λx) = max{|λ| |x1||λ| |x1+x2|}=|λ|N(x)
Enfin siN(x) = 0alors|x1|=|x1+x2|= 0et doncx1=x1+x2= 0puisx= 0.
AinsiNdéfinie bien une norme surR2.
Six1>0 x2>0alorsN(x) =x1+x2.
Six160 x2>0alorsN(x) = max(−x1|x1+x2|).
Six1>0 x260alorsN(x) = max(x1|x1+x2|).
Six160 x260alorsN(x) =−(x1+x2).
Ces considérations permettent de représenter la boule unité fermée.

La boule unité fermée pour la norme N De manière immédiate :N(x)62kxk∞.
Aussi|x1|62N(x)et puisque|x2|6|x1+x2|+|x1|on a aussi|x2|62N(x).
On en déduitkxk∞62N(x).

Exercice 4 :[énoncé]
L’applicationN:Rn→R+est bien définie car toute fonction continue sur le
segment[01]y est bornée
La liberté de la famille(f1     fn)est une condition nécessaire car, sinon, une
relation linéaire sur la famille(f1     fn)détermine unn-uplet(x1     xn)non
nul tel queN(x1     xn) = 0.
Inversement, supposons la famille(f1     fn)libre.
Soientλ∈R,x= (x1     xn)∈Rnety= (y1     yn)∈Rn.
SiN(x) = 0alorsx1f1+∙ ∙ ∙+xnfn= 0et donc(x1     xn) = (0    0)car
(f1     fn)libre.
N(λx) =kλx1f1+∙ ∙ ∙+λxnfnk∞=kλ(x1f1+∙ ∙ ∙+xnfn)k∞=|λ|N(x).
N(x+y) =k(x1+y1)f1+∙ ∙ ∙+ (xn+yn)fnk∞=
y2|}k(6x1Nf1(x+)∙+∙ ∙N(+yx)nfn) + (y1f1+∙ ∙ ∙+ynfn)k∞6N(x) +N(y).

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FinalementNest une norme surRn

Exercice 5 :[énoncé]
Ce sont les normes usuelles associées à la base canonique surMnp(K).

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
kkest une norme surMn(R)car c’est la norme 2 associée à la base canonique de
Mn(R).
On a
kABk2=nijX=1nkX=1aikbkj!2
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

donc

puis

k=nX1aikbkj!26k=Xn1ai2kn`X=1b2`j

n n
kABk26Xai2kXb2`j=kAk2kBk2
ik=1j`=1

kABk6kAk kBk

Exercice 7 :[énoncé]
a) L’applicationkkest bien définie deMn(C)dansR+.
SikAk= 0alors
n
∀16i6nX|aij|= 0
j=1

et donc

ainsi la matriceAest nulle.
De plus

∀16i j6n aij= 0

n n n
kλAk=1s6ui6pnj=X1|λaij|=1s6uip|λ|X=1|aij|=|λ|1s6iu6pjn=X1|aij|=|λ| kAk
6nj

et

donc

b) On a

Or

n n
kA+Bk=1s6iu6pjn=X1|aij+bij|61s6ui6pnX|aij|+|bij|
j=1

n n
kA+Bk61s6iu6pnjX=1|aij|+1s6iu6pnj=X1|bij|=kAk+kBk

n n n n
kABk=1s6ui6pjnX Xaikbkj6supX X|aikbkj|
=1k=116i6nj=1k=1

4

n n n n n n n
X X|aikbkj|6X X|aik| |bkj|=X|aik|X|bkj|6X|aik| kBk6kAk kBk
j=1k=1k=1j=1k=1j=1k=1

donc

kABk6kAk kBk

Exercice 8 :[énoncé]
a) L’applicationkkest bien définie deMn(C)dansR+.
SikAk= 0alors
n
∀16i6nX|aij|= 0
j=1
et donc

ainsi la matriceAest nulle.
De plus

et

∀16i j6n aij= 0

n n n
kλAk=1s6iu6pnj=X1 16i6n|λ|j=X1|aij|=|λ|1s6iu6pnj=X1|aij|=|λ| kAk
|λaij|= sup

donc

n n
kA+Bk=1s6iu6pnX|aij+bij|6supX|aij|+|bij|
j=1 16i6nj=1

n n
kA+Bk6sui6pnX|aij|+1s6ui6pjn=X1|bij|=kAk+kBk
16j=1

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Enfin

Or

n n n n
kABk=1s6ui6pnXkX=1aikbkj61s6iu6pnj=X X|aikbkj|
j=1 1k=1

Corrections

n n n n n n n
X X|aikbkj|6X X|aik| |bkj|=X|aik|X|bkj|6X|aik| kBk6kAk kBk
j=1k=1k=1j=1k=1j=1k=1

donc

kABk6kAk kBk

b) Soitλ∈Sp(A), il existeX6= 0,AX=λX.
En notantx1     xnles éléments de la colonneX(non tous nuls) on a

n
∀i∈ {1     n},λxi=Xaijxj
j=1

Considéronsi∈ {1     n}tel que|xi|=16mja6xn|xj| 6= 0.
La relation précédente donne :

donc

n n
|λ| |xi|6X|aij| |xj|6X|aij| |xi|
j=1j=1

n
|λ|6X|aij|6kAk
j=1

Exercice 9 :[énoncé]
a) L’inégalité vaut poura= 0oub= 0. Pour >a b0.
La fonctionlnest concave :

∀λ∈[01],∀ >x y0,λln(x) + (1−λ) ln(y)6ln(λx+ (1−λ)y)

Appliquée àx=ap,y=bqetλ= 1pcela donne :
1pln(ap 1) +qln(bq)6lnp1ap+q1bq

puis

ab61ap+ 1bq
p q

b) On applique le résultat précédent àa=|kxxi|kpetb=k|yyki|pour obtenir
q
|1|xi|
kxk|xpiykiykq6pkxkppp+ 1qk|yyik|qqq
En sommant pouri∈ {1     n}, on obtient

puis

n
Xkxk|xpiykiyk|q61p+q 11 =
i=1

c) Par l’inégalité triangulaire

n
X|xiyi|6kxkpkykq
i=1

n n
kx+ykpp=X|xi+yi|p6X(|xi|+|yi|)p
i=1i=1

Or par l’identité proposée

n n n
X(|xi|+|yi|)p6X|xi|(|xi|+|yi|)p−1+X|yi|(|xi|+|yi|)p−1
i=1i=1i=1

5

Par l’inégalité du b)
q
i=Xn1(|xi|+|yi|)p6kxkpi=Xn1(|xi|+|yi|)(p−1)q!1q+kykpi=Xn1(|xi|+|yi|)(p−1)q!1

donc
n n
X(|xi|+|yi|)p6kxkX(|x
i=1p+kykpi=1i|+|yi|)p!1q
car(p−1)q=pq−q=p
puis
i=Xn1(|xi|+|yi|)p!1p6kxkp+kykp
n
car1−1q= 1p(et l’inégalité vaut queP(|xi|p+|yi|p)6= 0ou non)
i=1
Finalement
kx+yk6kxk+kyk

p p p
d) Les propriétéskxkp= 0⇒x= 0etkλxkp=|λ| kxkpsont immédiates.

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Exercice 10 :[énoncé]
Sikxk∞= 0alorsx= 0etkxkp= 0donc

kxk∞=pl→i+m∞kxkp

Sikxk∞6= 0. Pour toutp>1,

donc

kxk∞6kxkp6(nkxkp∞)1p=n1pkxk∞p−→−−+−∞→ kxk∞

lim∞kxkp=kxk∞
p→+

Exercice 11 :[énoncé]
a) Par réduction au mme dénominateur

a b1av(u+v) +bu(u+v)−uv
−=
u+v u+v uv(u+v)

qu’on peut réécrire
a b1 (√av√−bu)2+ (a+b+ 2√ab−1)uv
+−=
u v u+v uv(u+v)
et si√a+√b= 1alors
au+vb−u+1v= (√vavu(u−+√bv)u)2>0

Corrections

b)
N((f+g)−1) =Z10f(t)d+tg(t)6aZ10fd(tt) +bZ10g(dtt) =aN(f−1) +bN(g−1)

qui donne l’inégalité voulue avec

a=(N(Nf()+f)N2(g))2etb=(N(N+(g)N22
f) (g))
qui sont tels que√a+√b= 1.
c) Par l’inégalité triangulaire

N(f+g)N((f+g)−1)6(N(f) +N(g))N((f+g)−1)

et en vertu de ce qui précède

qui donne

avec

N(f+g)N((f+g)−1)6NN((ff))2N(+Nf(−g1+))NN((fg))2+N(Ng(−g1))

N(f+g)N((f+g)−1)6N(Nf(+)f)N(g)M+N(f)N(+g)N(g)M=M

Document3

M= max(N(f)N(f−1) N(g)N(g−1))

Exercice 12 :[énoncé]
a)x=21(x+y) +1(x−y)donc
2

kxk6max{kx+ykkx−yk}

Aussikyk6max{kx+ykkx−yk}donc

kxk+kyk62 max{kx+ykkx−yk}

b) SurR2aveckk=kk∞, il y a égalité pourx= (10)ety= (01).
c)
(kxk+kyk)262kxk2+ 2kyk2
Orx=12(x+y) +12(x−y)donne
kxk2=14kx+yk2+kx−yk2+ 2kxk2−2kyk2
aussi
kyk24=1kx+yk2+kx−yk2−2kxk2+ 2kyk2
donc
kxk2+kyk2621kx+yk2+kx−yk2
puis
(kxk+kyk)262 max{kx+ykkx−yk}2

qui permet de conclure.
d) Non, surR2, il y a égalité pourx= (10)ety= (01).

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Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
Casn= 2
Par l’absurde supposons qu’une telle norme existe.
PosonsA=0 1etB=0020.
0 0
Les matricesAetBsont semblables (viaP=diag(121)) donckAk=kBk. Or
B= 2AdonckBk= 2kAkpuiskAk= 0.
C’est absurde carA6=O2.
Cas général : semblable.

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