Sujet : Analyse, Espaces normés, Normes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Normes Exercice 6 [ 00459 ] [correction] Pour A = (a )∈M (R) on posei,j n  Exercice 1 [ 00454 ] [correction] 1/2 nXSoient N ,N deux normes sur unR-espace vectoriel E.1 2 2 kAk = ai,ja) On note B ={x∈E/N (x)6 1} et B ={x∈E/N (x)6 1}.1 1 2 2 i,j=1 Montrer B =B ⇒N =N1 2 1 2 Montrer quek.k est une norme matricielle i.e. que c’est une norme surM (R)n vérifiantb) Même question avec les boules unités ouvertes. ∀A,B∈M (R), kABk6kAkkBkn Exercice 2 [ 03248 ] [correction] n Exercice 7 [ 03625 ] [correction]Soient a ,...,a des réels et N :K →R l’application définie par1 n Pour A = (a )∈M (C), on posei,j n N(x ,...,x ) =a |x|+···+a |x |1 n 1 1 n n nX A quelle condition sur les a ,...,a , l’application N définit-elle une norme sur kAk = sup |a |1 n i,j n 16i6nK ? j=1 a) Montrer quek.k définit une norme surM (C).n b) VérifierExercice 3 [ 00455 ] [correction] 2 ∀A,B∈M (C),kABk6kAkkBkMontrer que l’application N :R →R définie par n N(x ,x ) = sup |x +tx|1 2 1 2 t∈[0,1] Exercice 8 [ 00460 ] [correction] 2 Pour A = (a )∈M (C), on posei,j nest une norme surR . Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci àk.k . n∞ X kAk = sup |a |i,j 16i6n j=1 Exercice 4 [ 00456 ] [correction] Soient f ,...,f : [0,1]→R continues. a) Montrer quek.k est une norme d’algèbre surM (C).1 n n A quelle condition l’application b) Montrer que si λ est valeur propre de A alors|λ|6kAk. N : (x ,...