Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Expression de fonctions définies par une intégrale

Publié par

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Expression de fonctions définies par une intégrale Exercice 5 CCP MP [ 03311 ] [correction] Soient a,b deux réels strictement positifs. a) Justifier l’existence pour tout x∈R deExercice 1 [ 00545 ] [correction] ZOn considère la fonction +∞ −at −bte −e F(x) = cos(xt)dtZ 1 tt−1 0xf :x∈ ]−1,+∞[7→ t dt lnt0 1 0b) Justifier que F est de classeC surR et calculer F (x). c) Exprimer F(x)a) Montrer que la fonction f est bien définie. 1 0b) Justifier que la est de classeC et exprimer f (x). c) En déduire une expression de f(x) à l’aide des fonctions usuelles Exercice 6 [ 00553 ] [correction] Soit Z +∞ −xt −yte −e F(x,y) = dt avec x,y> 0Exercice 2 Mines-Ponts MP [ 02874 ] [correction] t0 Etudier Z 1 1 +?Pour y> 0, montrer que x7→F(x,y) est de classeC surR et calculert−1 x f :x7→ t dt lnt0 ∂F (x,y) ∂x En déduire la valeur de F(x,y).Exercice 3 [ 00546 ] [correction] a) Justifier l’existence et calculer Z +∞ Exercice 7 [ 00547 ] [correction]−tcos(xt)e dt On pose0 Z +∞ 2(−1+ix)t z :x7→ e dtSoit Z +∞ 0sin(xt) −tF :x7→ e dt 1a) Montrer que z est définie, de classeC surR ett0 1 0 −1b) Justifier que F est définie et de classeC surR. Calculer F (x). 0z (x) = z(x) c) En déduire une expression simplifiée de F(x). 2(x+i) √ b) En déduire l’expression de z(x) sachant z(0) = π/2.
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 16
Voir plus Voir moins

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02873 ][correction]
Pour toutxréel, on pose
+∞sin(xt)
f(x) =Z+0∞cos√(txte)−tdtetg(x) =Z0√te−tdt

Soit
+∞s
F:x7Z0int(xt)e−tdt

b) Justifier queFest définie et de classeC1surR. CalculerF0(x).
c) En déduire une expression simplifiée deF(x).

∂∂Fx(x y)

Existence et calcul de ces deux intégrales.


z0(x 2() =x+1i)z(x)
b) En déduire l’expression dez(x)sachantz(0) =√π2.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Exercice 3[ 00546 ][correction]
a) Justifier l’existence et calculer
Z+∞
cos(xt)e−tdt
0

Exercice 7[ 00547 ][correction]
On pose

z:x7→Z+e(−1+ix)t2dt
0
a) Montrer quezest définie, de classeC1surRet

Exercice 8[ 00548 ][correction]
On pose
x)t
z:x7→Z+0∞e(−1√+tidt
et on donneR+∞e−t2dt=√2π.
0
a) Justifier et calculerz(0).

Exercice 5CCP MP[ 03311 ][correction]
Soienta bdeux réels strictement positifs.
a) Justifier l’existence pour toutx∈Rde
at−e−bt
F(x) =Z+0∞e−cos(xt) dt
t

b) Justifier queFest de classeC1surRet calculerF0(x).
c) ExprimerF(x)

Exercice 6[ 00553 ][correction]
Soit
−x−yt
F(x y) =Z0+∞ett−edtavec >x y0
Poury >0, montrer quex7→F(x y)est de classeC1surR+?et calculer

En déduire la valeur deF(x y).

a) Montrer que la fonctionfest bien définie.
b) Justifier que la fonction est de classeC1et exprimerf0(x).
c) En déduire une expression def(x)à l’aide des fonctions usuelles

Exercice 1[ 00545 ][correction]
On considère la fonction
f:x∈]−11t−1t
+∞[7→Z0lntxdt

Expression de fonctions définies par une

intégrale

1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Enoncés

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02874 ][correction]
Etudier
f:x7→Z01tln−t1xdt
t

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

b) Montrer quezest définie, de classeC1surRet

z0(x) = 2(x−+1i)z(x)

c) En déduire l’expression dez(x).

Exercice 9[ 00549 ][correction]
En dérivant la fonction déterminer l’expression de la fonction
g(x)Z−+∞∞t2eitxdt

=e

Exercice 10[ 03655 ][correction]
En dérivant la fonction déterminer l’expression de la fonction
g(x) =Z+∞2etxdt
e−t
−∞

Exercice 11Centrale MP[ 00554 ][correction]
Existence et calcul de
ϕ(x) =Z+∞e−t2cos(xt)dt
0

Exercice 12[ 02499 ][correction]
On étudie
f(x) =Z+0∞e−t2t
cos(xt) d
a) Donner le domaine de définition def.
b) Calculerfen formant une équation différentielle.
c) Calculerfen exploitant le développement en série entière de la fonction
cosinus.

Exercice 13[ 03656 ][correction]
a) Existence de
+∞
F(x) =Z0e−t2ch(2xt) dt
b) CalculerF(x)en introduisant une équation différentielle vérifiée parF.
c) CalculerF(x)directement par une intégration terme à terme.

Enoncés

Exercice 14[ 03660 ][correction]
Pourx >0, on pose
2
F(x) =Z0πlncos2(t) +x2sin2(t)dt

a) Justifier queFest définie et de classeC1sur]0+∞[.
b) CalculerF0(x)et en déduire un expression deF(x).

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02881 ][correction]
Existence et calcul de
2πln(1 +xcost)dt
Z0cost

Exercice 16[ 00550 ][correction]
SoitFla fonction définie par :
F(x) =Z0+∞atatcr+1((nt2x)td)t

a) Montrer queFest définie et de classeC1surR+.
b) Déterminer l’expression deF(x).
c) Calculer
+∞arcta
Z0t2n2tdt

Exercice 17[ 00555 ][correction]
Ensemble de définition, dérivée et valeur de
f:x7→Z+∞ln(1 +x2t2)dt.
01 +t2

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 02876 ][correction]
Existence et calcul de
=2)dt
f(x)Z+0∞1ln(x2++t2t

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 19[ 03312 ][correction]
a) Montrer que pour toutx >−1
Z10(1ln+1+t2xtd)tl=a22natcrnx8+πln(1 +x2)−Z0x+1+1ln(t2t)dt
b) En déduire la valeur de
Z01+1(nl+1t2td)t

Exercice 20[ 00556 ][correction]
Soit
2
F(x) =Zπln(1 +xsin2t) dtsur[0+∞[
0
a) Justifier queFest bien définie et continue.
b) Etudier la dérivabilité sur]0+∞[et donner l’expression de sa dérivée via le
changement de variableu= tant.
c) Etablir queF(x) =π(ln(1 +√1 +x)−ln 2).

Exercice 21[ 00551 ][correction]
Soit
F(x) =Z10ln(1 + 2tctosx+t2)dt
a) Justifier queFest définie et de classeC1sur[0 π2]
b) CalculerF0(x)sur[0 π2]
c) Donner la valeur deF(0)puis celle deF(x)sachant

+∞(−1)k−1π2
X=
k212
k=1

Exercice 22[ 00552 ][correction]
Pourn∈N?etx >0, on pose
+∞
In(x) =Z0(x2d+tt2)n

a) Justifier l’existence deIn(x).
b) CalculerI1(x).
c) Justifier queIn(x)est de classeC1et exprimerI0n(x).
d) ExprimerIn(x).

Enoncés

Exercice 23[ 02638 ][correction]
On pose, pourx>0,
F(x) =Z+∞e−xt1−tc2ostdt
0
a) Montrer queFest continue sur[0+∞[et tend vers 0 en+∞.
b) Montrer queFest deux fois dérivable sur]0+∞[et calculerF00(x).
c) En déduire la valeur deF(0)puis la valeur de l’intégrale convergente
+sintdt
Z0∞t

Exercice 24Mines-Ponts MP[ 02872 ][correction]
Pourx∈R+, soit
+∞
f(x) =Zsint−txdt
e
0t
a) Justifier la définition def(x).
b) Montrer quefest classeC1surR+?.
c) Calculerf(x)six∈R+?
.
d) Montrer quefest continue en 0. Qu’en déduit-on ?

3

Exercice 25Centrale MP[ 02486 ][correction]
On pose
+∞
f(x) =Zlnte−xtdt
0
a) Préciser le domaine de définition def.
b) Montrer quefest de classeC1et donner une équation différentielle vérifiée par
f.
c) Calculerf(1)avec un logiciel de calcul forme et en déduire explicitementf.
d) Retrouver ce résultat par une méthode plus simple.

Exercice 26[ 03323 ][correction]
Pour toutx∈R, on pose
F(x) =Z+0∞exp−t2+xt22dt
a) Montrer queFest définie et continue surR.
b) Montrer queFest de classeC1sur]0+∞[.
c) Former une équation différentielle vérifiée parFsur]0+∞[.
d) En déduire une expression simple deFsurR.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 27CCP PC[ 03619 ][correction]
SoitFla fonction définie par :
F(x) =Z0+∞atrtcna((1+t2x)td)t

a) Montrer queFest définie et de classeC1surR+.
On admet l’identité

x2−1x21
=−
(1 +x2t2)(1 +t2 +) 1x2t21 +t2

valable pour toutxettdansR
b) Déterminer l’expression deF(x).

Exercice 28[ 02611 ][correction]
On pose
+ 2t
F(x) =Z0∞e−t−e−cos(xt) dt
t
a) Quel est le domaine de définition réelIde la fonctionF?
b) Justifier que la fonctionFest de classeC1surI.
c) ExprimerF(x)à l’aide des fonctions usuelles.

Enoncés

4

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)t7→tln−t1txest définie et continue sur]01[.
+
Quandt→0, pour−x < y <1,ty tln−t1tx∼tlyn+tx→0.
Quandt→1−, posonsh= 1−t→0+,tln−t1tx=−ln(1h−h)(1−h)x→1.
Doncfest bien définie.
b)g(x t) =tl−t1exlntest définie et continue sur]−1+∞[×]01[.
n
∂∂gx(x t) = (t−1)exlntest définie sur]−1+∞[×]01[.
t7→∂x∂g(x t)est continue par morceaux sur]01[,
x7→∂gx∂(x t)est continue sur]−1+∞[.
Poura >−1, on a

∂g
∀x>a,∂x(x t)6(1−t)ta=ϕa(t)

avecϕacontinue par morceaux et intégrable.
Par domination sur tout segment, on peut affirmer quefest de classeC1sur
]−1+∞[et
xdt= 1 1
f0(x) =Z10(t−1)xt+ 2x+ 1

c) Par intégration
x+ 2

Corrections

f(x) = lnx1 +C
+
EtudionsC=xl→i+mf(x).

La fonctiont7→tln−t1peut tre prolongée par continuité sur[01], elle y est donc
bornée par un certainMet alors
1M
06f(x)6ZM txdx=−−−−→0
0x+ 1x→+∞

On en déduitC= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
fest définie pourx >−1.
Par les théorèmes d’usage, on montre quefestC1en observant une domination
sur tout[a+∞[aveca >−1. On obtient
1
=Z0)txdt=x1+2−x+11
f0(x) (t−1

puis
f(x) = lnxx21+++C
Quandn→+∞, le théorème de convergence dominée donnef(n)→0donc
C= 0.
Finalementf(x) = lnxx++12dont l’étude est désormais facile.

Exercice 3 :[énoncé]
a)cos(xt)e−t=Re(e(−1+ix)t)ete(−1+ix)t=e−tqui est intégrable surR+.
Par suiteR0+∞cos(xt)e−tdtexiste et
Z0+∞cos(xt)e−tdt=ReZ+0∞e(−1+ix)tdt=Re1−1ix=11+x2

5

b)g(x t) =sintxte−test définie et continue surR×]0+∞[.
t7→g(x t)est continue par morceaux sur]0+∞[, se prolonge par continuité en 0
et est négligeable devantt7→1t2en+∞donc la fonctionFest bien définie sur
R.
∂∂gxest définie surR×]0+∞[,t7→∂∂gx(x t)est continue par morceaux sur
]0+∞[,x7→g∂∂x(x t)est continue surRet pour toutx >0,

x∂g∂(x t)=cosxte−t=e−t=ψ(t)

avecψintégrable surR+?.
Par dominationFest de classeC1surRavec

) =Z0+s(xt)e−tdt+11=x2
F0(xco

c)F(0) = 0doncF(x) = arctanx.

Exercice 4 :[énoncé]
La fonctionϕ:t7→e(ix√−t1)test continue par morceaux sur]0+∞[, vérifie
−→0doncϕest inté e. Ceci assure l’existence de
ϕ(t)t∼→0√1tett2ϕ(t)−t−→−+∞grabl
F(x∞e(ix−1
) =Z0+√t)tdt

puis def(x)etg(x)qui en sont les parties réelles et imaginaires.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Les théorèmes d’usage assurent queFestC1et une intégration par parties donne

F0(x) =−2(x+1i)F(x)

La résolution de cette équation différentielle avec
+∞
Z0−t2dt=√2π
e

donne
x)√πei(arctanx)2
F((=x2+ 1)14
d’où les expressions def(x)etg(x).

Exercice 5 :[énoncé]
On définitf:R×]0+∞[→Rpar

− −bt
f(x t e) =at−oc(sext)
t

a) Pourx∈R, la fonctiont7→f(x t)est définie et continue par morceaux sur
]0+∞[.
Quandt→+∞,t2f(x t)→0et quandt→0+,f(x t)→b−adonct7→f(x t)
est intégrable sur]0+∞[.
b) Pourx∈R, la fonctiont7→f(x t)est dérivable et

∂∂fx(x y) = (e−bt−e−at) sin(xt)

f
La fonction∂x∂est continue surR×]0+∞[et

xf∂∂(x t)6e−at+ e−bt=ϕ(t)

avecϕfonction intégrable.
On en déduit queFest de classeC1surRet
F0(xZ+0∞(e−bt−e−at) sin(xt) dt
) =

Or

−ctx
Z0+∞e sin(xt) dt=ImZ+0∞e(−c+ix)tdt=c2+x2

donc

F0(x) =x2x+b2−x2x+a2

c) On en déduit
F(xnl21)=xx22++ab22+Cte
Pour déterminer la constante, on étudie la limite deFen+∞. Posons

e−at−e−bt
t=
ψ( )t

6

ce qui définit une fonction de classeC1intégrable ainsi que sa dérivée sur]0+∞[.
Par intégration par parties généralisée justifiée par deux convergences
Z0+∞ψ(t) cos(xt) dt= 1x[ψ(t) sin(xt)]0+∞−x1Z+0∞ψ0(t) cos(xt) dt

et donc

Z+∞) cos(xt) dt61xZ0+∞|ψ0(t)|dt→0
ψ(t
0
On peut conclure
1x2+b2

F(x ln 2) =x2+a2

Exercice 6 :[énoncé]
f: (x t)→e−xtt−e−ytetx∂∂f(x t) =−e−xtsont définies et continues surR+?×R+?.
t7→f(x t)est intégrable sur]0+∞[car prolongeable par continuité en 0 et
négligeable devant1t2en+∞.
Poura >0,
∀x∈[a+∞[∂f∂x(x t)6e−at=ϕa(t)
avecϕaintégrable surR+?
.
Par dominationx7→F(x y)est de classeC1et
∂∂Fx(x y) =Z+∞−xtd1
−et=−
0x
DoncF(x y) =−lnx+Cteet puisque pourx=y, on aF(x y) = 0on obtient

F(x y) = lny−lnx

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 7 :[énoncé]
a)t7→g(x t) =e(−1+ix)t2est définie et continue par morceaux sur[0+∞[.
Puisquet7→ |g(x t)|= e−t2est intégrable sur[0+∞[, la fonctionzest bien
définie.
t7→xg∂∂(x t) =it2e(−1+ix)t2est définie et continue par morceaux sur[0+∞[,
x7→∂g∂x(x t)est continue surR,

∂∂gx(x t)6t2et2=ϕ(t)qui est intégrable sur[0+∞[donczexiste, est de
classeC1et
z0(x) =R+0∞iipp−2(x+1i)z(x).
t2e(−1+ix)t2dt=
b)
−1−x+ ii x
=x2+ 1) =−2(x2 ++ 1)
2(x+i) 2( 2(x2+ 1)
donc
arctanx1Cei(arctanx)2

z(x) =Cexpi2−4 ln(x2 =+ 1) (x2+ 1)14
Puisquez(0) =√2π, on conclut
√πei(arctanx)2
z(x) = 2(x2+ 1)14

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
a) On réalise le changement de variableu=√t. On obtientz(0) =√π.
b)t7→g(x t) =e(−1√+tix)test définie et continue par morceaux sur]0+∞[,
t7→∂x∂g(x t) =i√te(−1+ix)test définie et continue par morceaux sur]0+∞[,
x7→x∂g∂(x t)est continue surR,
g∂x∂(x t)6√te−t=ϕ(t)qui est intégrable sur]0+∞[donczexiste, est de
classeC1et
z0(x) =Z+0∞i√te(−1+ix)tdtip=p2(1i−ix)Z0+∞e(−1+ix)td1z(x)

√tt2(=x+i)

c)

donc

−1−x+i x i
= =−2+(2+)1
2(x+i) 2(x2 2(+ 1)x x2+ 1)

z(x) =Cexpictar2nax−(nl41x2+ 1)=C(exi2a(r+cta1n)1x4)2

Puisquez(0) =√π, on conclut
x)2
z(x) =√(xπei2a(+rct1a)n14

Exercice 9 :[énoncé]
Posons

f(x t) = e−t2eitx

La fonctiont7→f(x t)est continue par morceaux et intégrable surRcar

t2−−−−→
f(x t)t→±∞0

et donc la fonctiongest définie surR.
La fonctionx7→f(x t)est dérivable et

∂∂fx(x t) =ite−t2eitx

La fonctiont7→∂∂fx(t x)est continue par morceaux, la fonctionx7→∂x∂f(x t)est
continue et
x∂f∂(x t)6|t|e−t2=ϕ(t)

avecϕintégrable surRindépendant dex.
On en déduit que la fonctiongest de classeC1et par une intégration par parties
) =Z+∞−2ie−t2eitx+−∞∞−12Z−+∞∞xe−t2eitxdt
g0(x ite−t2eitxdt=
−∞

On en déduit quegest solution de l’équation différentielle

g0(x)+12xg(x) = 0

Après résolution de cette équation différentielle

Enfing(0) =√πdonneλ=√π.

g(x) =λ−x24
e

7

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 10 :[énoncé]
Posons

f(x t) = e−t2etx

La fonctiont7→f(x t)est continue par morceaux et intégrable surRcar

t2f(x t)−−−−→0
t→±∞

et donc la fonctiongest définie surR.
La fonctionx7→f(x t)est dérivable et

∂f
∂x(x t) =te−t2etx

Corrections

La fonctiont7→x∂f∂(t x)est continue par morceaux, la fonctionx7→f∂x∂(x t)est
continue.
Poura∈R+, on a

∀(x t)∈[−a a]×R,xf∂∂(x t)6|t|ea|t|e−t2=ϕa(t)

avecϕaintégrable surRindépendant dex.
On en déduit que la fonctiongest de classeC1et par une intégration par parties
2
g0(x) =Z−+∞∞te−t2etxdt=−e12−t2etx+∞1+2Z+∞xe−tetxdt
−∞ −∞

On en déduit quegest solution de l’équation différentielle

g0(x () 1x) = 0
−2xg

Après résolution de cette équation différentielle

Enfing(0) =√πdonneλ=√π.

g(x) =λex24

Exercice 11 :[énoncé]
Posonsu(x t) = e−t2cos(xt).
Les fonctionst7→u(x t),t7→xu∂∂(x t)sont continues par morceaux surR+et
x7→∂x∂u(x t)est continue surR.
La fonctiont7→u(x t)est intégrable sur[0+∞[car négligeable devant1t2en
+∞.

Pourx∈[0+∞[,

∂u(x t)6te−t2
∂x

avect7→te−t2intégrable sur[0+∞[, la fonctionϕest de classeC1et
ϕ0(x) =Z+0∞−te−t2sin(xt)dt

Par intégration par parties impropre justifiée par deux convergences,
1
ϕ0(x) =1e2−t2sin(xt)+0∞−12Z+∞xe−t2cos(xt)dt=−xϕ(x)
02
ϕest solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 etϕ(0) =√π2on
conclut
π14x2
ϕ(x) =√2

e

8

Exercice 12 :[énoncé]
Posonsu(x t) = e−t2cos(xt).
a) Pour chaquex∈R, la fonctiont7→u(x t)est continue par morceaux sur
[0+∞[et négligeable devant1t2en+∞donc intégrable sur[0+∞[. La
fonctionfest définie surR.
b) La fonctiont7→∂u∂x(x t)est continue par morceaux surR+etx7→∂u∂x(x t)est
continue surR.
Pourx∈[0+∞[,
∂u(x t)6te−t2
∂x

avect7→te−t2intégrable sur[0+∞[, la fonctionfest de classeC1et
+∞
f0(x) =Z−te−t2sin(xt)dt
0

Par intégration par parties impropre justifiée par deux convergences,
f0(x) =1e2−t2sin(xt)0+∞−12Z0+∞xe−t2cos(xt)dt=−21xf(x)
fest solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 etf(0) =√π2on
conclut
f(x) =√2πe−14x2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

c) On peut écrire
+∞
f(x) =Zn+X=∞0(−1)(2nn)x!2nt2ne−t2dt
0
Posonsun(t) =(−)1(2nn)x!2nt2ne−t2.
Les fonctionsunsont continues par morceaux surR+.
La sériePunconverge simplement surR+vers la fonctiont7→e−t2cos(xt)elle
aussi continue par morceaux.
Les fonctionsunsont intégrables surR+et
Z+0∞|un(t)|dt=(x22nn)!Z0+∞t2ne−t2dt

Par intégration par parties impropre justifiée par deux convergences

Z0+∞t2ne−t2dt= 2n2−1Z+t2(n−1)e−t2dt
0

et donc
Z+∞t2ne−t2dt=(222nn)n!!Z0+∞e−t2dt
0
Ainsi

Z+|un(t)|dt=2x22nnn!√2π
0
Cette quantité étant sommable, on peut intégrer terme à terme et on retrouve
2n√π π−
f(x) =+X∞(−212)nnnx =! 2√2 ex24
n=0

Exercice 13 :[énoncé]
a) Posons

f(x t) = e−t2ch(2xt)

La fonctiont7→f(x t)est continue par morceaux et intégrable surRcar

t2f(x t)−−−−→0
t→±∞

et donc la fonctionFest définie surR.
b) La fonctionx7→f(x t)est dérivable et

∂fx(t) = 2te−t2sh(2xt)
∂ x

La fonctiont7→∂∂fx(t x)est continue par morceaux, la fonctionx7→f∂x∂(x t)est
continue.
Soita∈R+.

∀(x t)∈[−a a]×R∂x∂f(x t)62ash(2a|t|)e−t2=ϕa(t)
 

9

avecϕaintégrable surRindépendant dex.
On en déduit que la fonctionFest de classeC1et par une intégration par parties
F0(x) =Z+0∞2te−t2sh(2xt)dt=h−e−t2sh(2xt)i+0∞+ 2xZ+0∞e−t2ch(2xt)dt
On en déduit queFest solution de l’équation différentielle
F0(x) + 2xF(x) = 0

Après résolution de cette équation différentielle

F(x) =λe−x2

avecF(0) =√π2.
c) On sait
+∞22n
=
∀x t∈Rch(2xt)n=X0(2n)! (xt)2n
Posonsun: [0+∞[→R

un(t=)2(22nn)! (xt)2ne−t2
Les fonctionsunsont continues par morceaux et la série de fonctionsPun
converge simplement sur[0+∞[vers la fonctiont7→e−t2ch(2xt)elle-mme
continue par morceaux.
Chaque fonctionunest intégrable et
Z+0∞|un(t)|dt= 22(n2|nx)|!2nZ+∞t2ne−t2dt
0
Par intégration par parties
+∞
Z0+∞t2ne−t2dt=Z0+∞t2n−1×te−t2dt= 2n−1Zt2(n−1)e−t2dt
20
et donc
Z+∞(2n)!√π
t2ne−t2dt=2n
02n! 2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

puis

Z0+|dt=|nx|!2n√2π
|un(t)
Il y a alors convergence de la sérieP R|un|et donc on peut intégrer terme à
terme ce qui fournit
+∞
F(x) =n=+X∞0Zun(t) dt=n+X=∞0xn2!n√2π=√2πex2
0

Exercice 14 :[énoncé]
a) Posonsf(x t) = ln(cos2(t) +x2sin2(t))définie sur]0+∞[×[0 π2].
Pour chaquex >0, la fonctiont7→f(x t)étant continue par morceaux sur
[0 π2], l’intégrale définissantF(x)est bien définie.
Pour chaquet >0, la fonctionx7→f(x t)est dérivable et

Soit[a b]⊂]0+∞[.

2xsin
∂∂fx(x t)soc2(t) +x22s(tin)2(t)
=

∀(x t)∈[a b]×[0 π2]∂x∂f(x t)6cos2(t2)+ba2sin2(t) =ϕab(t)

avec la fonctionϕab: [0 π2]→R+continue par morceaux et intégrable.
Par domination sur tout segment,Fest de classeC1et
F0(x) =Z0π2cos2(2t)xnis+x22(t)ins2(t) dt

Par le changement de variableC1bijectifu= tant
F0(x) =Z0+∞(1 +x22uu22)(x1 +u2) du

Par décomposition en éléments simples (six6= 1)

et donc

2xX2x(x2−1) 2x(x2−1)
=−
(1 +x2X)(1 +X) 1 +X1 +x2X

F0(x) =x22x−1Z+0∞11+u2−+11x2u2du=xπ+ 1

Corrections

et la relation vaut aussi pourx= 1par argument de continuité.
On en déduit
F(x) =πln(x+ 1) +Cte

SachantF(1) = 0, on conclut

Exercice 15 :[énoncé]
Posons

F(x) =πlnx+21

f(x) =Z20πcon(1+slxtcost)dt

Pour|x|>1, l’intégrale ne peut pas tre définie.
Pour|x|61
Ent=π2ett= 3π2, il est possible de prolonger par continuité la fonction
intégrée.
Pourx=−1:
Quandt→0+,ln(1−cost)∼2 lnt

Quandt→2π,t= 2π−h,ln(1−cost) = ln(1−cosh)∼2 lnh
Pourx= 1, quandt→π,t=π+h,ln(1 + cost) = ln(1−cosh)∼2 lnh.
Finalementfest définie sur[−11].
Pour des raisons de symétrie,
f(x) 2Zπnlcos(1+txcostd)t
=
0

Par domination sur[−a a]aveca <1,festC1sur]−11[et
f0(x) = 2Z0π1 +xdtcos
t

Par le changement de variableu= tan2t,
f0(x d) =u
4Z0+∞(1 +u2) +x(1−u2) =√12−xπ2

Puisquef(0) = 0, on en déduitf(x) = 2πarcsinx.

10

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.