Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Expression de fonctions définies par une intégrale

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Expression de fonctions définies par une intégrale Exercice 5 CCP MP [ 03311 ] [correction] Soient a,b deux réels strictement positifs. a) Justifier l’existence pour tout x∈R deExercice 1 [ 00545 ] [correction] ZOn considère la fonction +∞ −at −bte −e F(x) = cos(xt)dtZ 1 tt−1 0xf :x∈ ]−1,+∞[7→ t dt lnt0 1 0b) Justifier que F est de classeC surR et calculer F (x). c) Exprimer F(x)a) Montrer que la fonction f est bien définie. 1 0b) Justifier que la est de classeC et exprimer f (x). c) En déduire une expression de f(x) à l’aide des fonctions usuelles Exercice 6 [ 00553 ] [correction] Soit Z +∞ −xt −yte −e F(x,y) = dt avec x,y> 0Exercice 2 Mines-Ponts MP [ 02874 ] [correction] t0 Etudier Z 1 1 +?Pour y> 0, montrer que x7→F(x,y) est de classeC surR et calculert−1 x f :x7→ t dt lnt0 ∂F (x,y) ∂x En déduire la valeur de F(x,y).Exercice 3 [ 00546 ] [correction] a) Justifier l’existence et calculer Z +∞ Exercice 7 [ 00547 ] [correction]−tcos(xt)e dt On pose0 Z +∞ 2(−1+ix)t z :x7→ e dtSoit Z +∞ 0sin(xt) −tF :x7→ e dt 1a) Montrer que z est définie, de classeC surR ett0 1 0 −1b) Justifier que F est définie et de classeC surR. Calculer F (x). 0z (x) = z(x) c) En déduire une expression simplifiée de F(x). 2(x+i) √ b) En déduire l’expression de z(x) sachant z(0) = π/2.