Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Etude de branches infinies de fonctions

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Etude

de

branches

infinies

Exercice 1[ 01825 ][correction]
Etudier les branches infinies de

de

fonctions

f) ln(x+ 1)
(x () =x ln+ 1x

Exercice 2[ 01826 ][correction]
Etudier les branches infinies de

f =( )x2+ 2x
x|x−1|+x

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
fest définie et continue sur]01[∪]1+∞[.
Quandx→+∞,

et

l
f(xx)∼xxnlnlxx= 1,f(x)−x= n(x+l+1)xln(1 + 1x)∼nlnlxx= 1
nx

f(x)−(x+ 1) = (xlnn(+1)lx1 + 1x)∼l1→0+
nx

Corrections

La droite d’équationy=x+ 1est asymptote en+∞et la courbey=f(x)est au
dessus.
Quandx→1+,f(x)→+∞, la droite d’équationx= 1est asymptote.
Quandx→1−,f(x)→ −∞, la droite d’équationx= 1est asymptote.
Quandx→0,f(x)→0, on prolonge par continuité en posantf(0) = 0.

Exercice 2 :[énoncé]
fest définie et continue surR.
Quandx→+∞,

On a

2
f(x) =x2x+−12x

f(xx)→12,f(x)−12x=4x5x−2

5
→45etf(x)−12x+54=→0+
8x−4

La droite d’équationy=12x+54est asymptote en+∞courbe au dessus.
Quandx→ −∞,

f(x) =x2+ 2x

Il y a une branche parabolique verticale.
plot([f(x), x/2+5/4], x=-3..5);

La fonctionx7→x2+ 2x
|x−1|+x

2

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