Sujet : Analyse, Séries numériques, Comparaison séries intégrales

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Comparaison séries intégrales Exercice 7 [ 01065 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général √ √ √Exercice 1 [ 01059 ] [correction] 1+ 2+···+ n Soit α 1, on pose +∞P 1Donner un équivalent simple à R = pour α> 1 donné.N α N +∞n X X1 1n=N+1 S = et R =N Nα αn n n=1 n=N+1 PExercice 3 [ 01061 ] [correction] RnEtudier, selon α, la nature de la série . SnEn exploitant une comparaison avec des intégrales établir : n>1 n nX X√ √2 1 a) k∼ n n b) ln(n!)∼nlnn c) ∼ ln(lnn) 3 klnk Exercice 9 [ 01067 ] [correction]k=1 k=2 nP P Soit u une série divergente de réels strictement positifs. On note S = u .n n k n>0 k=0 Exercice 4 [ 01062 ] [correction] Montrer, à l’aide d’une comparaison intégrale que pour tout α> 1, il y a Déterminer la nature de la série de terme général convergence de la série X un converge1 αSnu =n n>1αn(lnn) Exercice 10 [ 01068 ] [correction]Exercice 5 [ 01063 ] [correction] Pour α> 1 on poseDéterminer la nature de la série de terme général +∞X 1 +∞ ζ(α) =X α1 n n=1u =n 2k +k=n+1 Déterminer la limite de (α−1)ζ(α) quand α tend vers 1 Exercice 6 [ 01064 ] [correction] Exercice 11 [ 01069 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer 1 +∞u =n X2 2 a(ln2) +···+(lnn) lim 2 2a→+∞ n +a n=1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Comparaison séries intégrales

Exercice 1[ 01059 ][correction]
Soitα <1. Déterminer un équivalent de

n1
Xkα
k=1

Exercice 2[ 01060 ][correction]
+∞
Donner un équivalent simple àRN=Pn1αpourα >1donné.
n=N+1

Exercice 3[ 01061 ][correction]
En exploitant une comparaison avec des intégrales établir :

a)nX√k∼32n√nb)ln(n!)∼nlnn(ln1n)
nc)Xklnk∼ln
k=1k=2

Exercice 4[ 01062 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général

1
un=n(lnn)α

Exercice 5[ 01063 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général

+∞1
un=X2
k
k=n+1

Exercice 6[ 01064 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
1
un= (ln 2)2+∙ ∙ ∙+ (lnn)2

Enoncés

Exercice 7[ 01065 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
√1 +√2n+α∙ ∙ ∙+√n(avecα∈R)
un=

Mme question avec la série de terme général(−1)nun.

Exercice 8[ 01066 ][correction]
Pourα >1, on pose

N1R+∞1
SN=XnαeN=Xnα
t
n=1n=N+1
Etudier, selon riePRn.
α, la nature de la sén>1Sn

1

Exercice 9[ 01067 ][correction]
n
SoitPunune série divergente de réels strictement positifs. On noteSn=Puk.
n>0k=0
Montrer, à l’aide d’une comparaison intégrale que pour toutα >1, il y a
convergence de la série
XuSnαconverge
n>1n

Exercice 10[ 01068 ][correction]
Pourα >1on pose
+X∞1
ζ(α) =nα
n=1
Déterminer la limite de(α−1)ζ(α)quandαtend vers1+

Exercice 11[ 01069 ][correction]
En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

+∞
a
al→i+m∞n=X1n2+a2

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Exercice 12Centrale MP[ 02423 ][correction]
On pose
+∞1+∞
un=X
p=n(p+ 1)αetvn=pX=n(p(−+1)1p)α
a) Déterminer la nature de la série de terme généralunselonα.
b) Déterminer la nature de la série de terme généralvnselonα.

Exercice 13Centrale MP[ 02428 ][correction]
On pose
f(x) = lnxx
a) Nature des séries de termes générauxf(n)puis(−1)nf(n).
b) Montrer la convergence de la série de terme général
n
Zn−1f(
f(n)−t) dt

c) Calculer

+∞
X(−1)nf(n)
n=1

Indice : On pourra s’intéresser à la quantité

n2n
2Xf(2k)−Xf(k)
k=1k=1

Exercice 14Centrale MP[ 02431 ][correction]
?
Soita >0 > b0et pourn∈N,

n
An=n1X(a+bk),Bn=Yn(a+bk)1n
k=1k=1

Trouverlni∞mBAnen fonction dee.
n

Exercice 15Centrale MP[ 02434 ][correction]
Soit, pourx∈R,
osx13
f(x c) =x23

Enoncés

a) Nature la série de terme général
un=Znn+1f(x) dx−f(n)

2

b) Nature de la série de terme généralf(n).
(indice : on pourra montrer quesinn13n’admet pas de limite quandn→+∞
c) Nature de la série de terme général
sinn13
n23

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02792 ][correction]
Nature de la série de terme général

oùαest réel.


n
Pln2k
k=2

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02795 ][correction]
Soitα∈R?. On pose, pourn∈N?

1
un=
n
Pkα
k=1

Nature de la série de terme généralun?

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 02810 ][correction]
On posef(x) =sin(lxnx)pour toutx>1etun=Rnn−1f(t) dt−f(n)pour tout
entiern>2.
a) Montrer quef0est intégrable sur[1+∞[.
b) Montrer que la série de terme généralunest absolument convergente.
c) Montrer que la suite(cos(lnn))diverge.
d) En déduire la nature de la série de terme généralf(n).

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Exercice 19X MP[ 03045 ][correction]
Pourn∈N?, soit
fn:x∈]n+∞[→Xn1
x−k
k=1
Soita >0. Montrer qu’il existe un unique réel, notéxntel quefn(xn) =a.
Déterminer un équivalent dexnquandn→+∞.

Exercice 20X MP[ 03086 ][correction]
Etudier
+∞1ekn
nl→i+mnXk2

k=n

Enoncés

Exercice 21[ 03104 ][correction]
On noteanle nombre de chiffres dans l’écriture décimale de l’entiern>1. Pour
quelles valeurs dex∈Ry a-t-il convergence de la série
Xxna3n?

Exercice 22X MP[ 01337 ][correction]
Quelle est la nature de la série de terme général
ei√n?
√n

Exercice 23[ 03449 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Cune fonction de classeC1telle quef0est intégrable sur
[1+∞[.
Montrer que la série numériquePf(n)converge si, et seulement si, la suite
R1nf(t) dtconverge.
Application : Etudier la convergence de
+X∞sinn√n
n=1

Exercice 24[ 00077 ][correction]
A l’aide d’une comparaison avec une intégrale, donner la nature de la série
Xn1lnn
n>2

3

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Selon queα <0ouα>0, on encadre1kαen exploitant la monotonie de
x7→1xα.
Sachant que
Zdt1α t1−α+Cte−t−→−−→
tα1=−+∞
+∞
on obtient

n1n1−α
Xkα∼1−α
k=1

Exercice 2 :[énoncé]
Puisquex7→x1αest décroissante :Rnn+1xdαx6n1α6Rnn−1xdαxdonc
RN++∞1xdαx6RN6RN+∞xdαxd’où l’on obtient :Rn∼(α−1)1nα−1.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Par croissance de la fonction√

donc

et on conclut aisément.
b) On a

Zkk−1√tdt6√k6Zkk+1√tdt

√tdt
Z0n√tdt6nkX=1√k6Zn+1
1

n
lnn! =Xlnk

k=1
et, par croissance de la fonctionln„
Zkk−1lntdt6lnk6Zkk+1ln
tdt

donc

Z1nlntdt6lnn!6Z1n+1lntdt

Corrections

puis on peut conclure.
c) Par décroissance de la fonctionx7→1xlnxsur[1e+∞[,
Zkk+1tdnltt6k1nlk6Zkk−1tdlntt

donc

puis on conclut via

n1
Z2n+k=2lnk6Z1tlnt
1tnldtt6Xkndt
Ztdlntt= ln(lnt) +Cte→+∞

Exercice 4 :[énoncé]
Siα60alors à partir d’un certain rangun>1net la série diverge.
Siα >0alors la fonctionx7→1x(lnx)αest décroissante sur]1+∞[.
ndt
Znn+1t(nldtt)α6un6Zn−1t(lnt)α
donc
Z3N+1tdln(tt)α6nN=X3un6Z2Ntd(lntt)α
puis
ZXNZ

lnN+1dulnNdu
α6un6
ln 3u2uα
n=3 ln
et on peut conclure qu’il y a convergence si, et seulement si,α >1.

Exercice 5 :[énoncé]
Puisquex7→x12est décroissante
Zkk+1dx2x61Zkk−dx
k261x2

donc
+∞dx
Zn++1∞xd2x6k+=Xn∞+1k126Znx2
d’où l’on obtient :un∼1n.
Il y a donc divergence de la série de terme généralun.

4

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Exercice 6 :[énoncé]
Par comparaison avec une intégraleintégrale
Z1nlnt)2dt6k=Xn1(lnk)2
(
Or par une intégration par parties on obtient
n
Z1(lnt)2dt∼n(lnn)2
donc06un6vnavec
1

Corrections

vn∼(lnn)2
n
On peut alors conclure que la série desunconverge absolument par comparaison
avec une série de Bertrand.

Exercice 7 :[énoncé]
La fonctionx7→ √xétant croissante,
n
Z0n√xdx6nkX=1√k6Z+1√xdx
1

et donc
n
X√k∼2n32
3
k=1
Il y a donc convergence de la série de terme généralunsi, et seulement si,α >52.
Par l’encadrement qui précède :
06nkX1√k−Z0n√xdx6Znn+1√xdx6√n+ 1
=
donc
Xn√2√

k=3n32+O(n)
k=1
puis
(−1)nun=(3n−α1−)3n22+Onα−112
Pourα >52: il y a absolue convergence comme ci-dessus.
Pour32< α652: il y a convergence par somme d’une série convergente et
d’une série absolument convergente.
Pourα632: il y a divergence grossière.

Exercice 8 :[énoncé]
Puisquex7→x1αest décroissante
Znn+1xdαx6n1α6Znn−dx

1

donc

ZN++∞1xdαx6RN6ZN+∞xdαx

d’où l’on obtient :
Rn∼(α−1)1nα−1
puis
Rn1

α−
Sn(α−1)S∞n1
La sériePSRnconverge si, et seulement si,α >2.
n>1n

Exercice 9 :[énoncé]
On a

uSnnα6ZSndt
Sn−1tα

5

donc
p
n=1uSnαn6ZSS0ptdαt=tα1−1SSp06
Xα1−1α1−1<+∞
La série à termes positifs est convergente car ses sommes partielles sont majorées.

Exercice 10 :[énoncé]
Puisquex7→x1αest décroissante
Z1+∞dxαx6k+X=∞1k1α61 +Z1+∞dxαx

donc
1
α1−16ζ(α)6α−1
1 +
Par suite(α−1)ζ(α)−−−1−+→1.
α→

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Exercice 11 :[énoncé]
+∞
Notons quen2+aa2∼na2doncP1n2+aa2existe.
n=
La fonctionx7→x2a+a2est décroissante sur[0+∞[donc par comparaison
série-intégrale

puis sachant

+1a
Z1Nx2+a2dx6n=XN1n2+aa26Z0Nx2a+a2dx

Zx2+aa2= arctanx+Cte
a

on obtient
arctanNa+ 1−ar 1NXaa26arctanNa
ctan6
a=1n2+
n
QuandN→+∞,
π1+∞a
−arctan6X26π2
2a
n=1n2+a
Par le théorème des gendarmes,

+∞
al→i+m∞Xn2a+a22=π
n=1

Exercice 12 :[énoncé]
a) Pour définirun, il est nécessaire de supposerα >1.
Par comparaison avec une intégrale, on montre

Corrections

1 1
un∼α−1nα−1
Par comparaison de séries à termes positifs,Punconverge si, et seulement si,
α >2.
b) Pour définirun, il est nécessaire de supposerα >0.
Par application du critère spécial des séries alternées,vnétant le reste de la série
P((p−))1+1pαest du signe de(−1)net|vn|6(n)11+α→0.
De plus
−+∞(−1)p−+X∞(−n1)p
|vn| |vn+1|=p=X0(p+n+ 1)pα=0(p+ + 2)α

donc

|vn| − |vn+1|=p+X=∞0(−1)p(p+n1)+1α−(p+n1+2)α

Par le théorème des accroissements finis

1 1α
−=−
(p+n+ 1)α(p+n+ 2)α(cn)α+1

aveccn∈]p+n+ 1 p+n+ 2[.
La suite(cn)est croissante donc on peut appliquer le critère spécial des séries
alternées à
X(−1)p(p+n+)11α−(p+n1+)2α

6

et conclure que sa somme est du signe de son premier terme. Au final,(|vn|)est
décroissant et en appliquant une dernière fois le critère spécial des séries alternées,
on conclut quePvnconverge.

Exercice 13 :[énoncé]
a)Pf(n)diverge etP(−1)nf(n)converge en application du critère spécial.
n>1n>1
b) Pourn>4,
f(n)6Znn−1f(t) dt6f(n−1)
donc
n
6Zn−1(n)6f(n−1)−f(n)
0f(t) dt−f

avec
+∞
Xf(n−1)−f(n) =f(3)
n=4
donc la série de terme généralRnn−1f(t)dt−f(n)converge et il en est de mme de
la série de terme généralf(n)−Rnn−1f(t)dt.
c) On a
+∞2n
X(−1)nf(n) =nl→i+m∞X(−1)kf(k)
n=1k=1
avec
2n n2n
X X X

(−1)kf(k) = 2f(2k)−f(k)
k=1k=1k=1

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Or

nXf(k) =f(1) +Xnf(k)−Zkk−f(t) dt+nf(t) dtnl(21=n)2+C
k=1k=2Z1
1

et en exploitantln(2k 2 + ln) = lnk

Corrections

2nXf(2k) = ln 2Xn1k+nXlnkk= ln 2 lnn+ ln(2)γ+o(1)+12(lnn)2+C
k=1k=1k=1

On en déduit

Au final

n
2Xf(2k)−2Xnf(k) = ln(2)γ−21)2nl(2+o(1)
k=1k=1

+X∞(−1)nlnn2((n)21=l2γ−ln 2)
n
n=1

Exercice 14 :[énoncé]
On a
An=a+b(n2)1+,lnBn= 1nnXln(a+bk)
k=1

Posonsf(t) = ln(a+bt)fonction croissante.
A l’aide d’une comparaison série-intégrale

donc

puis

n
Xf(k) =nln(a+bn)−n+o(n)
k=1

AnlnBn−lnAn= lnaa++nnbb2−1 +o(1)→ln 2−1
lBn=
n

Bn2
A→
ne

7

Exercice 15 :[énoncé]
a) a) Une comparaison série intégrale est inadaptée,fn’est pas monotone comme
en témoigne ses changements de signe. En revanche :
Zn+1
un=f(x)−f(n) dx
n
Or par le théorème des accroissements fini,
f(x)−f(n) =f0(cx)(x−n)
aveccx∈]n x[.
Après calcul def0(x), on en déduit
|f(x)−f(n)|63n143+3n253
puisun=On413.
b) La série de terme généralRnn+1f(t) dtdiverge carR0nf(t) dt= 3 sinn13
diverge. En effet sisinn13convergeait vers`alors par extractionsin(n)aussi et
il est classique d’établir la divergence de(sin(n)). On en déduit quePcosn(2n313)
diverge.
c) Il suffit de reprendre la mme étude pour parvenir à la
mmeun=Rnn+1f(x) dx−f(n)conclusion.

Exercice 16 :[énoncé]
Par comparaison série intégral,

n
Xln2k∼n(lnn)2
k=2

donc
nα1
=
unPnln2k∼n1−α(lnn)2
k=2
Par référence aux séries de Bertrand,Punconverge si, et seulement si,α60.

Exercice 17 :[énoncé]
Par comparaison série intégrale :
Siα >0,un∼nαα++11terme général d’une série absolument convergente.est
Si−1< α <0,un1∼nαα++11n’est pas le terme général d’une série convergente.
Siα=−1,un∼lnnn’est pas le terme général d’une série convergente.
Siα <−1,un6 →0et doncPunest grossièrement divergente.

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Corrections

Exercice 18 :[énoncé]
a) Après calculs,|f0(x)|62x2.
b) Par intégration par parties
Rnn−1f(t) dt= [(t−(n−1)f(t)]nn−1−Rnn−1(t−(n−1))f0(t) dtdonc
|un|6Rnn−1(t−(n−1))|f0(t)|dt6Rnn−1|f0(t)|dt. L’intégrabilité def0suffit
pour conclure.
c) Si la suite(cos(lnn))converge alors la suite extraite(cos(nln 2))aussi. Notons
`sa limite. Commecos((n+ 1) ln 2) + cos((n−1) ln 2) = 2 cos(nln 2) cos(ln 2)on
obtient à la limite2`= 2`cos(ln 2)et donc`= 0. Comme
cos(2nln 2) = 2 cos2(nln 2)−1on obtient à la limite`= 2`2−1ce qui est
incompatible avec`= 0.
d)Rnn−1f(t) dt=−cos(lnn) + cos(ln(n−1)). La divergence de la suite(cos(lnn))
entraîne la divergence de la sérieP Rnn−1f(t) dtet puisque la sériePunconverge,
on peut affirmer quePf(n)diverge.

8

Exercice 20 :[énoncé]
On remarque
+∞
k=n2enk= 1nk=+X∞nϕkn
nXk1
avecϕ:x7→x12e1x.
La fonctionϕest décroissante en tant que produit de deux fonctions décroissantes
positives. Par suite
Zk(kn+1)nϕ(t) dt6n1ϕnk6Z(kk−n1)nϕ(t) dt

En sommant et en exploitant l’intégrabilité deϕau voisinage de+∞
1dt
Z1+∞t12e1tdt6+X∞1n ϕnt2e1t
k=nkn6Z(n+∞−1)

Exercice 19 :[énoncé]Or
Lp+oa∞nurtoutoOf.ecnnitnofad>nedé0onetuctssixelin,qttiiufeunnunulaérste,emetcireuisuenieqxnnjbidt>cecénsantetfianrdiivoésior]ennteft+n(d∞xe[nli)evm=rsitae].s0++∞∞[te.A0eninsi,netZ+1∞t12et1dt=h−e1ti1+∞= e−1etZ(n+∞−1)nt12et1dt=h−e1ti+∞
→e−1
(n−1)n
On a Par encadrement
kk−1td+yt=Znnl→i+m∞nk=+X∞nk12ekn= e−1
fn(n+1+y) =k=nX1n+1+1y−k=nkX=1k1+y6k=nX1Z0t+dyt= ln1 +ny

Poury=ean−1,

f(n+ 1 +y)6ln (1 + (ea−1)) =a

et par suite
1n
xn6n+ +
ea−1
Aussi
f(n+y)nX−11Z0nt+dty= ln1 +yn
=k>
k=0y+
Poury=ean−1,f(n+y)>aet par suite
n
xn>n+
a
e−1

On en déduit

nean
xn∼n+a1 =
e−ea−1

Exercice 21 :[énoncé]
Introduisons la somme partielle

N=XNxan
Sn3
n=1
On remarque que pourn∈10p−1    10p−1on a
En regroupant pertinemment les termes sommés

an=p

a q10p−1
p
S10q−1=Xq10pX−1xn3n=X Xnxp3=Xqupx
p=1n=10p−1p=1n=10p−1p=1

Puisque la fonctiont7→1t3est décroissante, on a la comparaison
Z011p0p−1td2t6up=n1=01pX0−p1−1n136Z110p0p−1−−11td2t

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Corrections

Après calculs, on obtient
99 1
up∼2 100p
Casx>0
La sériePupxpconverge si, et seulement si,x <100.
Puisque la sériePxann3est à termes positifs, sa convergence équivaut à la
convergence d’une suite extraite de sommes partielles et doncPxann3converge
si, et seulement si,x <100.
Casx <0.
Pourx∈]−1000[a absolue convergence de la série en vertu de l’étude qui, il y
précède.
Pourx6−100, on peut écrirex=−yavecy>100, on a alors
q
S10q−1=X(−1)quqyq
p=1

avec(uqyq)qui ne tend pas vers zéro.
Il y a alors divergence d’une suite extraite de sommes partielles et donc divergence
de la sériePxann3.

Exercice 22 :[énoncé]
Montrons que la série étudiée est divergente. NotonsSnla somme partielle de rang
nde cette série. Nous allons construire deux suites(an)et(bn)de limite+∞telles
queSbn−Sanne tend pas zéros ce qui assure la divergence de la série étudiée.
Soitn>1fixé. Les indiceskvérifiant
2nπ−4π6√k62nπ+π4
sont tels que
√1

Posons alors

On a

Re(ei k)>√2

an=E((2nπ−π4)2)etbn=E((2nπ+π4)2)

et donc par construction

Sbn−San=bXnei√k
k=an+1√k

1
Re(Sb−Sn)>√12k=baXn
na√k
n+1

Puisque la fonctiont7→1√test décroissante, on a la comparaison intégrale
n)>√21k=abXnn+1Z
Re(Sbn−Sakk+1√dtt=√2pbn+ 1√−an+ 1

Or
−an
pbn+ 1−√an+ 1 =√bn+b1n+√an+ 1∼42nπnπ2→π2
doncSbn−Sanet l’on peut conclure que la série étudiée diverge.ne tend par 0

Exercice 23 :[énoncé]
Posons

=Zn+1
unf(t) dt−f(n)
n
On a
|un|6Znn+1|f(t)−f(n)|dt
Or pour toutt∈[n n+ 1]
n+1
|f(t)−f(n)|=Ztnf0(u) du6Ztn|f0(u)|du6Z|f0(u)|du
n
et donc
Zn+1

9

|un|6|f0(u)|du
n
Sachant que la suiteR1n|f0(u)|duconverge, la sérieP Rnn+1|f0(u)|duconverge
et, par comparaison de séries à termes positifs, on peut affirmer que la sériePun
est absolument convergente.
Puisque
n n k
Xf(k) =f(t) dt−Xuk
k=1kX=1Zk+1uk=Z1n+1f(t) dt−k=n1
la convergence de la sériePf(n)équivaut à celle de la suiteR1nf(t) dt.
Pour l’application, introduisons
f:t7→sint√t
La fonctionfest de classeC1sur[1+∞[et
1√tcos(√t)−sin√t=Ot12
=
f0(t)2t2t→+∞

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

est intégrable sur[1+∞[.
La convergence de la série étudiée équivaut alors à la convergence quandn→+∞
de
Znsint√tdt
1
En posantu=√t
Zn√Z√n

sintdt= 2 sinudu
1t1u
dont la convergence quandn→+∞est bien connue (cf. intégrale de Dirichlet).

Exercice 24 :[énoncé]
On a

La
On

1
xlnx0

lnx+ 1
=−
(xlnx)2

fonctionx7→1xlnxest décroissante sur]1+∞[.
en déduit
n=2>Z2N+1dt
NX1tlnt ln(= lnN+ 1)−ln ln 2→+∞
nlnn

10

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