Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Matrices semblables

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Matrices semblables Exercice 5 [ 00723 ] [correction] Soit A∈M (K) une matrice non nulle telle que les espaces ImA et kerA soientn supplémentaires.Exercice 1 [ 00719 ] [correction] ? n Montrer que la matrice A est semblable à une matrice de la formeSoient E unK-espace vectoriel de dimension n∈N et f∈L(E) tel que f = 0 n−1 et f = 0. 0A 0 0Montrer qu’il existe une baseB de E pour laquelle : avec A ∈ GL (K)r0 0   0 1 0  . .. . . . Mat (f) =B  . Exercice 6 [ 00724 ] [correction]. . 1 2Soit A∈M (K) une matrice non nulle telle que A = 0.n 0 0 Montrer que A est semblable à 0 IrB =Exercice 2 [ 00720 ] [correction] 0 0 2Soit f∈L(E) tel que f = 0. Montrer qu’il existe une baseB telle que la matrice de f dansB soit avec r = rgA. 0 Ir 0 0 Exercice 7 [ 00725 ] [correction] Soit A∈M (R) non nulle vérifiant3 Exercice 3 [ 00721 ] [correction] 2 3Soit A∈M (R) vérifiant A = 0 et A = 0.3 A +A =O3 Etablir que A est semblable à la matrice   Montrer que A est semblable à la matrice 0 0 0   B = 1 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 −1 0 1 0 Exercice 4 [ 00722 ] [correction] Soit A∈M (K) vérifiantn Exercice 8 [ 00726 ] [correction] n−1 n 2A =O et A =On n Soit M∈M (R) telle que M +I = 0.4 Montrer que M est semblable à la matrice Etablir que A est semblable à la matrice     0 −1 0 00 1 (0)  1 0 0 0 . .  . . . .  0 0 0 −1 B = . 0 0 1 0. .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 66
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Matrices semblables

Exercice 1[ 00719 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn∈N?etf∈ L(E)tel quef
etfn−16= 0.
Montrer qu’il existe une baseBdeEpour laquelle :
 00 1
. .
. .
MatB(f) =. .
0...01

Exercice 2[ 00720 ][correction]
Soitf∈ L(E)tel quef2= 0.
Montrer qu’il existe une baseBtelle que la matrice defdansBsoit
00I0r

Exercice 3[ 00721 ][correction]
SoitA∈ M3(R)vérifiantA2= 0etA6= 0.
Etablir queAest semblable à la matrice
0 0
B=0 0
1 0

Exercice 4[ 00722 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)vérifiant

000

An−16=OnetAn=On

Etablir queAest semblable à la matrice
0

B=
(0)

1
.
.
.

.
.
.
.
.
.

(0)

10

Enoncés

n= 0

Exercice 5[ 00723 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice non nulle telle que les espaces ImAetkerAsoient
supplémentaires.
Montrer que la matriceAest semblable à une matrice de la forme
A0000avecA0∈GLr(K)

Exercice 6[ 00724 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice non nulle telle queA2= 0.
Montrer queAest semblable à
B=00I0r

avecr=rgA.

Exercice 7[ 00725 ][correction]
SoitA∈ M3(R)non nulle vérifiant

A3+A=O3

Montrer queAest semblable à la matrice
000001−00
1

Exercice 8[ 00726 ][correction]
SoitM∈ M4(R)telle queM2+I= 0.
Montrer queMest semblable à la matrice
0−1 0 0
1 0 0 0
00010−10
0

1

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Exercice 9[ 00728 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)de trace nulle.
Montrer queAest semblable à une matrice de la forme
0?...?0

Enoncés

Exercice 10[ 03136 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice de rang 1.
a) Montrer queAest semblable à une matrice dont lesn−1premières colonnes
sont nulles.
b) En déduire
2
A=tr(A)Aetdet(In+A) = 1 +trA

Exercice 11Centrale MP[ 02382 ][correction]
Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordrenqui commutent avec
diag(12     n) ?et lui sont semblables

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02691 ][correction]
SoitAetBdansMn(R)semblables surC. Montrer queAetBsont semblables
surR.

Exercice 13X MP[ 03032 ][correction]
Soitf:Mn(C)→Cnon constante telle que :

∀(A B)∈ Mn(C)2 f(AB) =f(A)f(B)

PourA∈ Mn(C), prouver l’équivalence :

Ainversible⇔f(A)6= 0

Exercice 14Centrale MP[ 01322 ][correction]
SoitA∈ M3(R)non nulle vérifiantA2=O3.
Déterminer la dimension de l’espace

C={M∈ M3(R)AM−M A=O3}

Exercice 15[ 03778 ][correction]
Les matrices suivantes sont-elles semblables ?
−31−66−55−−22 
A=−10−−10832−30etB=

1
0
0
0

2
2
0
0

6
2
3
0

21
5
2
5





Exercice 16[ 02541 ][correction]
SoitGune partie deMn(R)non réduite à la matrice nulle.
On suppose que(G×)est un groupe. Montrer qu’il exister∈N?tel que le
groupe(G×)soit isomorphe à un sous-groupe de (GLr(R)×).

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx∈kerfn−1. Un telxexiste puisquefn−16= 0.
ConsidéronsB= (fn−1(x)     f(x) x).
Supposonsλn−1fn−1(x) +∙ ∙ ∙+λ1f(x) +x= 0.
En y appliquant successivementfn−1     fId on obtientλ0= 0     λn−2= 0
puisλn−1= 0carfn−1(x)6= 0.
Best une famille libre formée den= dimEvecteurs, c’est donc une base deE.
De plus MatB(f)est de la forme convenable.

Exercice 2 :[énoncé]
Posonsr=rgfet(f(e1)     f(er))une base de Imf.
Puisquef2= 0, la familleB= (f(e1)     f(er))est formée de vecteurs dekerf,
de plus elle est libre, on peut donc la compléter en une base de la forme
B0= (f(e1)     f(er) εr+1     εp)avecp ker= dimf.
ConsidéronsC= (f(e1)     f(er) εr+1     εp e1     er).
En vertu du théorème du rang, cette famille est formée dedimEvecteurs.
De plus si l’on dispose d’une combinaison linéaire nulle des vecteurs deC, en
appliquantfet en exploitant la liberté deB, on justifie que les coefficients devant
lese1     ersont nuls. Ensuite, sachantB0libre, on conclut que les autres
coefficients sont nuls. La familleBest une base et la matrice defdansCest de la
forme voulue.

Exercice 3 :[énoncé]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseBetu
l’endomorphisme deEreprésenté par la matriceAdansB. On au2= 0etu6= 0.
Notons que cela entraînedimImu= 1etdim keru= 2
.
Cherchons une baseB0= (ε1 ε2 ε3)telle que MatB0(u) =B. Après analyse du
problème : Considéronsε1∈ker(u)etε2=u(ε1).ε2est un vecteur non nul de
keruqui peut tre complétée en une base(ε2 ε3)dekeru. Formons
B0= (ε1 ε2 ε3). Siλ1ε1+λ2ε2+λ3ε3= 0alors en appliquantu,λ1u(ε1) = 0
doncλ1= 0puisλ2ε2+λ3ε3= 0entraîneλ2=λ3= 0puisque(ε2 ε3)est libre.
Finalement la familleB0est libre et c’est donc bien une base deE. La matrice de
udans cette base est bien la matriceB. On peut conclure.

Exercice 4 :[énoncé]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d’une baseBetf∈ L(E)de
matriceAdansB.

On vérifiefn−16= 0etfn= 0.
Soitx ∈kerfn−1. Un telxexiste puisquefn−16= 0.
ConsidéronsB0= (fn−1(x)     f(x) x).
Supposons
λn−1fn−1(x) +∙ ∙ ∙+λ1f(x) +x= 0
En y appliquant successivementfn−1     fId on obtientλ0= 0     λn−2= 0
puisλn−1= 0carfn−1(x)6= 0.
B0est une famille libre formée den= dimEvecteurs, c’est donc une base deE.
La matrice defdans la baseB0est égale àBdoncAetBsont semblables.

3

Exercice 5 :[énoncé]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d’une baseBetf∈ L(E)de
matriceAdansB.
On observe que Imfetkerfsont supplémentaires dansE.
Dans une baseBadaptée à cette supplémentarité, la matrice defest de la forme
B=A0000

avecA0matrice de tailler. De plusr=rgA=rgB=rgA0doncA0est inversible.

Exercice 6 :[énoncé]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d’une baseBetf∈ L(E)de
matriceAdansB.
On observer=rgf,f6= 0etf2= 0de sorte que Imf⊂kerf.
Soit(e1     er)une base deImfcomplétée en(e1     en−r)base dekerf.
Pour touti∈ {1     r}, il existeen−r+ivecteur deEtel quef(en−r+i) =ei.
Montrons que(e1     en)est libre.
Supposons
λ1e1+∙ ∙ ∙+λrer+λr+1er+1+∙ ∙ ∙+λn−ren−r+λn−r+1en−r+1+∙ ∙ ∙+λnen= 0
(1).
En appliquantfà la relation (1), on obtientλn−r+1e1+∙ ∙ ∙+λner= 0et donc
λn−r+1=  =λn= 0car(e1     er)libre.
La relation (1) devientλ1e1+∙ ∙ ∙+λrer+λr+1er+1+∙ ∙