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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 66 |
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En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Matrices semblables
Exercice 1[ 00719 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionn∈N?etf∈ L(E)tel quef
etfn−16= 0.
Montrer qu’il existe une baseBdeEpour laquelle :
00 1
. .
. .
MatB(f) =. .
0...01
Exercice 2[ 00720 ][correction]
Soitf∈ L(E)tel quef2= 0.
Montrer qu’il existe une baseBtelle que la matrice defdansBsoit
00I0r
Exercice 3[ 00721 ][correction]
SoitA∈ M3(R)vérifiantA2= 0etA6= 0.
Etablir queAest semblable à la matrice
0 0
B=0 0
1 0
Exercice 4[ 00722 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)vérifiant
000
An−16=OnetAn=On
Etablir queAest semblable à la matrice
0
B=
(0)
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(0)
10
Enoncés
n= 0
Exercice 5[ 00723 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice non nulle telle que les espaces ImAetkerAsoient
supplémentaires.
Montrer que la matriceAest semblable à une matrice de la forme
A0000avecA0∈GLr(K)
Exercice 6[ 00724 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice non nulle telle queA2= 0.
Montrer queAest semblable à
B=00I0r
avecr=rgA.
Exercice 7[ 00725 ][correction]
SoitA∈ M3(R)non nulle vérifiant
A3+A=O3
Montrer queAest semblable à la matrice
000001−00
1
Exercice 8[ 00726 ][correction]
SoitM∈ M4(R)telle queM2+I= 0.
Montrer queMest semblable à la matrice
0−1 0 0
1 0 0 0
00010−10
0
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Exercice 9[ 00728 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)de trace nulle.
Montrer queAest semblable à une matrice de la forme
0?...?0
Enoncés
Exercice 10[ 03136 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice de rang 1.
a) Montrer queAest semblable à une matrice dont lesn−1premières colonnes
sont nulles.
b) En déduire
2
A=tr(A)Aetdet(In+A) = 1 +trA
Exercice 11Centrale MP[ 02382 ][correction]
Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordrenqui commutent avec
diag(12 n) ?et lui sont semblables
Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02691 ][correction]
SoitAetBdansMn(R)semblables surC. Montrer queAetBsont semblables
surR.
Exercice 13X MP[ 03032 ][correction]
Soitf:Mn(C)→Cnon constante telle que :
∀(A B)∈ Mn(C)2 f(AB) =f(A)f(B)
PourA∈ Mn(C), prouver l’équivalence :
Ainversible⇔f(A)6= 0
Exercice 14Centrale MP[ 01322 ][correction]
SoitA∈ M3(R)non nulle vérifiantA2=O3.
Déterminer la dimension de l’espace
C={M∈ M3(R)AM−M A=O3}
Exercice 15[ 03778 ][correction]
Les matrices suivantes sont-elles semblables ?
−31−66−55−−22
A=−10−−10832−30etB=
1
0
0
0
2
2
0
0
6
2
3
0
21
5
2
5
Exercice 16[ 02541 ][correction]
SoitGune partie deMn(R)non réduite à la matrice nulle.
On suppose que(G×)est un groupe. Montrer qu’il exister∈N?tel que le
groupe(G×)soit isomorphe à un sous-groupe de (GLr(R)×).
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Soitx∈kerfn−1. Un telxexiste puisquefn−16= 0.
ConsidéronsB= (fn−1(x) f(x) x).
Supposonsλn−1fn−1(x) +∙ ∙ ∙+λ1f(x) +x= 0.
En y appliquant successivementfn−1 fId on obtientλ0= 0 λn−2= 0
puisλn−1= 0carfn−1(x)6= 0.
Best une famille libre formée den= dimEvecteurs, c’est donc une base deE.
De plus MatB(f)est de la forme convenable.
Exercice 2 :[énoncé]
Posonsr=rgfet(f(e1) f(er))une base de Imf.
Puisquef2= 0, la familleB= (f(e1) f(er))est formée de vecteurs dekerf,
de plus elle est libre, on peut donc la compléter en une base de la forme
B0= (f(e1) f(er) εr+1 εp)avecp ker= dimf.
ConsidéronsC= (f(e1) f(er) εr+1 εp e1 er).
En vertu du théorème du rang, cette famille est formée dedimEvecteurs.
De plus si l’on dispose d’une combinaison linéaire nulle des vecteurs deC, en
appliquantfet en exploitant la liberté deB, on justifie que les coefficients devant
lese1 ersont nuls. Ensuite, sachantB0libre, on conclut que les autres
coefficients sont nuls. La familleBest une base et la matrice defdansCest de la
forme voulue.
Exercice 3 :[énoncé]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseBetu
l’endomorphisme deEreprésenté par la matriceAdansB. On au2= 0etu6= 0.
Notons que cela entraînedimImu= 1etdim keru= 2
.
Cherchons une baseB0= (ε1 ε2 ε3)telle que MatB0(u) =B. Après analyse du
problème : Considéronsε1∈ker(u)etε2=u(ε1).ε2est un vecteur non nul de
keruqui peut tre complétée en une base(ε2 ε3)dekeru. Formons
B0= (ε1 ε2 ε3). Siλ1ε1+λ2ε2+λ3ε3= 0alors en appliquantu,λ1u(ε1) = 0
doncλ1= 0puisλ2ε2+λ3ε3= 0entraîneλ2=λ3= 0puisque(ε2 ε3)est libre.
Finalement la familleB0est libre et c’est donc bien une base deE. La matrice de
udans cette base est bien la matriceB. On peut conclure.
Exercice 4 :[énoncé]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d’une baseBetf∈ L(E)de
matriceAdansB.
On vérifiefn−16= 0etfn= 0.
Soitx ∈kerfn−1. Un telxexiste puisquefn−16= 0.
ConsidéronsB0= (fn−1(x) f(x) x).
Supposons
λn−1fn−1(x) +∙ ∙ ∙+λ1f(x) +x= 0
En y appliquant successivementfn−1 fId on obtientλ0= 0 λn−2= 0
puisλn−1= 0carfn−1(x)6= 0.
B0est une famille libre formée den= dimEvecteurs, c’est donc une base deE.
La matrice defdans la baseB0est égale àBdoncAetBsont semblables.
3
Exercice 5 :[énoncé]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d’une baseBetf∈ L(E)de
matriceAdansB.
On observe que Imfetkerfsont supplémentaires dansE.
Dans une baseBadaptée à cette supplémentarité, la matrice defest de la forme
B=A0000
avecA0matrice de tailler. De plusr=rgA=rgB=rgA0doncA0est inversible.
Exercice 6 :[énoncé]
SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnmuni d’une baseBetf∈ L(E)de
matriceAdansB.
On observer=rgf,f6= 0etf2= 0de sorte que Imf⊂kerf.
Soit(e1 er)une base deImfcomplétée en(e1 en−r)base dekerf.
Pour touti∈ {1 r}, il existeen−r+ivecteur deEtel quef(en−r+i) =ei.
Montrons que(e1 en)est libre.
Supposons
λ1e1+∙ ∙ ∙+λrer+λr+1er+1+∙ ∙ ∙+λn−ren−r+λn−r+1en−r+1+∙ ∙ ∙+λnen= 0
(1).
En appliquantfà la relation (1), on obtientλn−r+1e1+∙ ∙ ∙+λner= 0et donc
λn−r+1= =λn= 0car(e1 er)libre.
La relation (1) devientλ1e1+∙ ∙ ∙+λrer+λr+1er+1+∙ ∙