EML 2004 mathematiques classe prepa hec (ece)

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MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004PREMIER EXERCICEOn consid`ere l’application f :R→R d´efinie, pour tout t∈R par :t2ef (t) =√21+t1. Dresser le tableau de variation de f surR comprenant les limites de f en−∞ et en +∞.√t 2 2´2. a) Etablir, pour tout t∈ [0,+∞[ : 2e −t−t > 0 et 1+t≥ 1+tb) En d´eduire:∀t∈ [0,+∞[, f (t)>t3. On consid`ere la suite r´eelle (u ) d´efinie par u = 1 et, pour tout n∈N :n 0n≥0u =f (u )n+1 n´a) Etablir que u tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.n6´b) Ecrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier n tel que u > 10n4. On consid`ere l’application G :R→R d´efinie, pour tout x∈R par :Z +xG(x) = f (t)dt−xa) Montrer que G est impaire.1 0b) Montrer que G est de classe C surR et calculer G (x) pour tout x∈R.c) Quelle est la limite de G(x) lorsque x tend vers +∞ ?´d) Etudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G surR comprenant leslimites de G en−∞ et en +∞.`DEUXIEME EXERCICEOn note M (R) l’espace vectoriel r´eel des matrices carr´ees d’ordre trois a` ´el´ements r´eels, I la matrice3identit´e deM (R), 0 la matrice nulle deM (R).3 3On consid`ere, pour toute matrice A deM (R), les ensembles E (A) et E (A) suivants :3 1 2E (A) = {M∈M (R);AM =M}1 3 2E (A) = M∈M (R);A M =AM2 3Partie I1. Montrer que E (A) est un sous-espace vectoriel deM (R)1 3On admettra que E (A) est aussi un sous-espace vectoriel deM (R)2 3´2. a) Etablir : E (A)⊂E (A)1 2b) Montrer que, si A est inversible, ...

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MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004

PREMIER EXERCICE Onconside`rel’applicationf:R→R,eopfieintud´ruott∈Rpar : t 2e f(t) = √ 2 1 +t 1. Dresserle tableau de variation defsurRcomprenant les limites defen−∞et en +∞. √ ´ t2 2 2. a)Etablir, pour toutt∈[0,+∞[ :2e−t−t >1 +0 ett≥1 +t b)End´eduire: ∀t∈[0,+∞[, f(t)> t 3.Onconside`relasuitere´elle(u n eiapr)d´efinu 0 = 1 et, pour toutn∈N: n≥0 u n+1 =f(u n ) ´ a) Etablirqueu n tend vers +∞lorsquentend vers +∞. 6 ´ b) Ecrireun programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entierntel queu n >10 4.Onconside`rel’applicationG:R→Rtrtou,pounfieide´x∈Rpar : Z +x G(x) =f(t)dt −x a) MontrerqueGest impaire. 10 b) MontrerqueGest de classeCsurRet calculerG(x) pour toutx∈R. c) Quelleest la limite deG(x) lorsquextend vers +∞? ´ d) Etudierle sens de variation deGet dresser le tableau de variation deGsurRcomprenant les limites deGen−∞et en +∞. ` DEUXIEME EXERCICE On noteM 3 (Rse’drre´teorrordesmaeeldescatriccevecaps´rleirot’e)lslee,`aisl´´eenemr´tsIla matrice identit´edeM 3 (R),0 la matrice nulle deM 3 (R). Onconside`re,pourtoutematriceAdeM 3 (R), les ensemblesE 1 (A) etE 2 (A) suivants : E 1 (A) ={M∈ M 3 (R) ;A M=M}   2 E 2 (A) =M∈ M 3 (R) ;A M=AM Partie I 1. MontrerqueE 1 (A) est un sous-espace vectoriel deM 3 (R) On admettra queE 2 (A) est aussi un sous-espace vectoriel deM 3 (R) ´ 2. a)Etablir :E 1 (A)⊂E 2 (A) b) Montrerque, siAest inversible, alorsE 1 (A) =E 2 (A) EML-2004-e Page1/ 3