Epreuve spécifique 2004 Classe Prepa TPC Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Epreuve spécifique 2004. Retrouvez le corrigé Epreuve spécifique 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2004

´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TPC

´ MATHEMATIQUES Dur´ee:4heures

Les calculatrices sont interdites * * * * *

TPC005

N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’e´nonce´,illesignalera sursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilae´t´e amene´`aprendre.

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Danstoutleproble`me,E´denelsegiR-espace vectorielR[Xsed]moˆnylopes`acoefficientsr´eesl. Pour tout entier natureln, on noteE n le sous-espace deElrsee´apofmruae´degresdenˆompoly pluse´gala`n. Selonl’usage,onconvientd’identifierunpolynˆomeetlafonctionpolynomialeassoci´ee.   2n L’espaceE n est muni de sa base canoniqueB n = 1, X, X, . . ., X.   n! n Lescoefficientsbinomiauxsontnote´s=(06k6n). k k!(n−k)! ´ Partie A : Etude d’un endomorphisme ´ Etantdonn´eunpolynoˆmePdeEmeynˆonpolinut´dfie,noφ(P) par :   200 0 [φ(P)] (X) =X−1P(X) + 2XP(X). 1)semfieniunendaoamionrspihdi´efiqr’unoJsuitφdeE. 2)Montrer que, pour tout entier natureln, le sous-espace vectorielE n est stable parφ. Onnoterade´sormaisϕ n l’endomorphisme deE n induit parφsurE n : ∀P∈E n , ϕ n (P) =φ(P) 3)Dans cette question, on suppose quen´tgese.3laa` ´ a) Ecrirela matriceM 3 deϕ 3 dans la base canonique deE 3 . b) Justifierqueϕ 3 est diagonalisable. c)D´eterminerunebasedeE 3 diagonalisantϕ 3 ffieocedsemoˆnylopdeeem´or,fmi-tsdocien nantse´gauxa`1. 4)ldrane’uientatrnneivcuat´gsae´nenOerrulenquelconque. a) Montrerque la matriceM n deϕ n anecasabesueiqonlsnadeure´erietnaugttirsepualri pr´ecisersescoefficientsdiagonaux. b)Ende´duirequeϕ n distecepasrpteelbasilanogaesdimens´eciserlssuo-sseoisnedes propres. ´ PartieB:Etuded’unefamilledepolynoˆmes Pour tout entier naturelnfie´dno,oleptlnimeˆoynL n par n 1 P  2 n n −k k L n (X) =(X−1) (X.+ 1) n k 2 k=0 1)Cuclasrelsfoumeormpsifi´lismeˆoynolspleeeL 0 ,L 1 ,L 2 etL 3 . 2)CalculerL n (1) pour toutn∈N. 3)etmrDe´´egrdeerindeleL n en fonction den(n∈N) et donner son coefficient dominant sous la forme d’une somme. 4)En utilisant un changement d’indice, montrer queL n ueeqlaeˆmaapem´tirn. 5)muledeerV´erifi`,laa’didelefaroLeibniz, que : n   1 d n 2 ∀n∈N, L n (X) =X−1 . n n 2n! dX 6)tdomcientdeinanicilemeteltnffieocE´endirduxpeeL n , puis la relation   n P n 2   2n ∀n∈N,= . k n k=0 7)Montrer alors que   n   1 +|x| 2n ∀n∈N,∀x∈R,|L n (x)|6. n 2   n 2 8)luterreanuttotient,niurponOfie´dnpelol,meynˆoU n (X) =X−1 .

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a)Ve´rifierque:   20 X−1 U n (X) = 2nXU n (X). b)End´erivantn+ 1fois cette relation, montrer que ∀n∈N, φ(L n ) =n(n+ 1)L n . PartieC:D´efinitiond’unproduitscalaire On pose Z 1 2 ∀(P, Q)∈E ,hP, Qi=P(x)Q(x) dx. −1 1)lairesuritefiJsuinaad´siuerqonl’iudoacstinfierpnuE. Danstoutelasuiteduproble`me,l’espaceEet ses sous-espacesE n (n∈N) serontsyst´ematiquementmunisdeceproduitscalaire. 2)quea) Montrer Z 1 2 20 0 ∀(P, Q)∈E ,hφ(P), Qi= (1−x)P(x)Q(x) dx. −1 b)Quepeut-ondirede´duirepourlesendomorphismesϕ n (n∈N) ? c)End´eduire,`al’aided’unr´esultatdelapartieBeseselqu,omnˆlypoL p (p∈N) sont deux`adeuxorthogonaux. 3)Soitnun entier naturel. ´ a)Etablirparr´ecurrencesurkque Z k 1 k n−k   (−d1) d 2n ∀k∈[|0, n|],hQ, L n i= [Q(x)] (x−1) dx. n kn−k 2n! dxdx −1 ∗ b)Ende´duireque,poourtoutn∈N,L n a`lanogestorthoE n−1 . c)RetrouverainsiquelespolynˆomesL p (p∈Nontd)sadeueux`uxna.rtxogoho 2 ` 4)a) Al’aide deC.3)a), exprimer, pour tout entier natureln,kL n ken fonction de Z 1 2n I n = (x−1) dx. −1 ` b)Al’aided’uneinte´grationparparties,montrerque 2n+ 2 ∀n∈N, I n+1 =−I n . 2n+ 3 c)End´eduire,pourtoutn∈N, une expression deI n faisant intervenir des factorielles. d)End´eduireque r 2 ∀n∈N,kL n k= . 2n+ 1 5)Donner, pour tout entier naturelndeonorm´eehtroesabenu,E n . PartieD:Unerelationder´ecurrence Soitnun entier naturel non nul. n+1 1)Calculer le coefficient deXdans (n+ 1)L n+1 (X)−(2n+ 1)XL n (X). 2)stxiceenl’eticunEe´dnriude’letie´edn+r1e´lesα k tels que n P (n+ 1)L n+1 (X)−(2n+ 1)XL n (X) =α k L k (X). k=0 hXL n , L k i 3)Montrer que∀k∈[|0, n|], α k =−(2n+ 1). 2 kL k k 4)Pour toutk∈[|0, n−2|ifierque],v´erhXL n , L k i=hL n , XL k ipuis montrer queα k = 0. 5)edsnirapre´doitarqreuee,t´ntmodesconsiParα n = 0.

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6)naltlisiuedrvalalynˆespoutEnomesL k niopd,1tete´nimralersorauα n−1 . ∗ 7)´ddeiueruqeEn∀n∈N,(n+ 1)L n+1 (X)−(2n+ 1)XL n (X) +nL n−1 (X) = 0. PartieE:Fonctionge´n´eratrice P n Onfixeunre´elt`eidlareonetnscoe`iterre´sneeiL n (t)x,delavaeelleirbael´rx. n∈N   n   P 1 +|t| 2n n 1)reneeie`italedre´svergenceyondeconnireelarDe´etmrx. n 2 n∈N P n 2)ecnegrevnondecrayoueleireqe´udEdnR t re`etienieers´aledL n (t)xest strictement n∈N positif. On donnera une minoration deR t am,nosiclluelacre.erchnechas`aerap +∞ P n On noteS t eeire´se:ere`itnomaslttcedeme∀x∈]−R t , R t [, S t (x) =L n (t)x n=0 3)astnel´rEunitileesultatdD.7), montrer queS t est solution sur ]−R t , R t ntaoie´uqed’l[ diff´erentiellesuivante,d’inconnueyfonction dex: 20 (E t ) (1−2tx+x)y(x) + (x−t)y(x) = 0 4)Pour|t|<en1,reuiedd´serpxe’lednoisS t (x) en fonction dex. Partie F : Projection orthogonale, calcul de distance 1)Calculer, pour tout entier naturelkrglael,i’tne´ Z 1 k J k =xdx. −1 ´ 2)selEtansneruratxueditnenodtse´nnetr, tels que 06r6n, on notep r la projection ortho- gonale deE n sur son sous-espace vectorielE r . Donneruneexpressiong´ene´raledep r (Puop,erialacstiudmeˆoynoltpourttu)sililtnaorpeP deE n . 3 3)sodeusppnOsrmai´eson= 3 etP=X. a)De´terminerp 0 (P),p 1 (P) etp 2 (P). b) Calculerles distancesd(P, E k ) dePaux sous-espaces vectorielsE k pour tout entierk tel que 06k62. 4)On noteGl’seenlembspdenyloemoˆdeds´rgee3etdecoefficientdmonina´tgelaa`.1 Montrer l’existence de Z 1 2 m(= minQ(x)) dx Q∈G −1 etpr´ecisersavaleur,ainsiquelespolynoˆmesre´alisantceminimum.

Findel’´enonce´

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