EXERCICE 1 2 0 0æ öæ - 5 6 3ö æ 1 0 0ö æ1 1 1 öç ÷1 ç ÷ ç ÷ ç ÷On donne les matrices : A = - 3 4 3 , I = 0 1 0 , D = 0 -1 0 et P = 1 0 1 . ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- 3 6 1 0 0 1 1 1 -1Ł ł Ł ł 0 0 -1 Ł łŁ łPartie A -1æ öæ 1 ö ç 2 ÷ç ÷-1 ç ÷1. Montrer que la matrice P est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que P 0 = 1 . ç ÷ç ÷ç ÷ 1ç ÷0Ł ł Ł 2 łn2. (a) Donner D en fonction de n pour tout entier naturel n. 1æ öç ÷n -1 (b) En déduire l'expression de D P 0 en fonction de n. ç ÷ç ÷0Ł ł-1 n n -13. (a) Vérifier que A = PDP puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : A = PD P . 1æ öç ÷n(b) En déduire l’expression de A 0 en fonction de n pour tout entier naturel n. ç ÷ç ÷0Ł ł Partie B Les suites ( x ), ( y ) et ( z ) sont définies par les conditions initiales x = 1, y = 1 et z = 0 n n n 0 005 3ì x = - x + 3y + z - 3n +1 n n nï 2 2ï 3 3et par les égalités : pour tout entier naturel n. y = - x + 2y + z - 1í n +1 n n n2 2ï3 1ï z = - x + 3y + z - 3n +1 n n nî 2 2æ öæ - 3ö xnç ÷ç ÷On pose B = -1 et pour tout entier naturel n : X = ç y ÷ . ç ÷ n nç ÷ç ÷- 3 zŁ ł Ł n ł 1. Justifier pour tout entier naturel n l’égalité : X = AX + B relation (1) n +1 n 2. On se propose de trouver la matrice colonne U ˛ (IR) telle que : U = AU + B relation (2) 3,1 (a) Montrer que la relation (2) équivaut à (I - A)U = B . 0æ öç ÷ (b) Calculer la matrice A(I - A) . En déduire ...