HEC 2003 concours Maths 2

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HEC 2003 concours Maths 2

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• Publié par: porthos
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Extrait

HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.

Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´finiessurunmeˆme espaceprobabilis´e(Ω,B, Plee´.selelavrsru)et`a L’espe´ranced’unevariableale´atoireXeot´eestnE(X). SiAent´onne´ve´nutselibibaroeptdenem nulle on noteP(E/Al)orpaibabllsecaahtnlit´econditionneAdle´’mene´eevntE. Sinest un entier naturel non nul et six 1 , . . . , x n sontnleosre´(tonnnimex 1 , . . . , x n ) ouminx i 16i6n le plus petit d’entre eux. Onrappellequedeuxvariablesale´atoiresXetYprenant des valeurs positives ou nulles sont ind´ependantessietseulementsi,pourtoutcouple(a, bitifsounuls,ona:red)sopslee´ P([X6a]∩[Y6b]) =P([X6a])P([Y6b]) Onrappellequ’unevariableal´eatoireXprenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentiellesietseulementsielleve´rifielaproprie´t´e,dited’absencedeme´moire: 2 ∀(x, y)∈R + P([X > x+y]/[X > x]) =P([X > y]) L’objetduproble`meestl’obtentiondediversescaracte´risationsdelaloiexponentielle.

PartieI:Unre´sultatd’analyse Onconside`reunefonctionr´eelleϕcontinue sur [0,1]. On noteMle maximum de la fonction|ϕ| sur [0,1]. Pour tout entier naturelnnonnuletlottu´reevde [0,1], on noteY n,v evuneae´lriotairaaelb suivantlaloibinomialedeparam`etresnetv. 1)Soitnun entier naturel non nul,x0nu´reedl]e,1[,εunr´eelstretcitnemisopvfitri´entfiasle ine´galite´s 0< x−ε < x < x+ε <1 a)rtuotruolee´Coer,pmparvde [x+ε,,l1]eennevm´[´etessY n,v 6nx] et [|Y n,v −nv|>n(v−x)] etend´eduirelesine´galit´es: v(1−v) 1 P([Y n,v 6nx])6 6 2 2 nε4nε b)suJe´rtletruop,uogoeunala¸connefard’utifievde [0, x−ε’i,legn´ital:´e] 1 P([Y n,v > nx])6 2 4nε ´ c)Etablirlesin´tilage´:se Z Z 1x−ε   M(1−x)M x ϕ(v)P([Y n,v 6nx]) dv6etϕ(v) 1−P([Y n,v 6nx]) dv6   2   2 2nε2nε x+ε0 d)’ielirdu´endE:e´tilage´n Z Z x1   1 ϕ(v) dv−ϕ(v)P([Y n,v 6nx]) dv6+ 2ε M   2 4nε 0 0 ´ 2)´reeottul,euqruopatErilbxde ]0,1[, on a, pour tout entier naturelntie´:essa,lndrazgalegn´’i Z Z x1 9M ϕ(v) dv−ϕ(v)P([Y n,v 6nx]) dv6 √   3 4n 0 0 3)On suppose maintenant que la fonctionϕop,efiire´verlnatutierutenurton, Z 1 n ϕ(v)vdv= 0 0 Z 1 a)oˆnyemuotrlopterifiou,pstJuPtie´`:l,´’gelantr´eelsacoefficieϕ(v)P(v) dv= 0. 0