Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2009–2010 Corrigé du devoir surveillé du 19 novembre 2009 Ex 1. Vrai faux ? (4 points) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez si vous la pensez vraie ou fausse en argumentant votre réponse. Si vous répondez « vrai », proposez une démonstration ou une référence à un résultat du cours. Si vous répondez « faux », il suffit de proposer un contre exemple. Seules les réponses argumentées seront prises en compte par les correcteurs. 1) S'il existe une surjection d'un ensemble E dans N alors E est dénombrable. Faux. Contre-exemple : E = R et l'application de ? de E dans N définie par ?(x) = |[x]| (où [x] désigne la partie entière du réel x) est clairement surjective et pourtant E est infini non dénombrable. 2) S'il existe une injection de N dans un ensemble E alors E est au plus dénom- brable. Faux. Contre-exemple : E = R et l'application ? de N dans E définie par ?(x) = x est clairement injective et pourtant E est infini non dénombrable. Remarque : l'existence d'une injection de N dans un ensemble E permet juste d'affirmer que E est infini.
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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2009–2010 Corrigé du devoir surveillé du 19 novembre 2009 Ex 1. Vrai faux ? (4 points) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez si vous la pensez vraie ou fausse en argumentant votre réponse. Si vous répondez « vrai », proposez une démonstration ou une référence à un résultat du cours. Si vous répondez « faux », il suffit de proposer un contre exemple. Seules les réponses argumentées seront prises en compte par les correcteurs. 1) S'il existe une surjection d'un ensemble E dans N alors E est dénombrable. Faux. Contre-exemple : E = R et l'application de ? de E dans N définie par ?(x) = |[x]| (où [x] désigne la partie entière du réel x) est clairement surjective et pourtant E est infini non dénombrable. 2) S'il existe une injection de N dans un ensemble E alors E est au plus dénom- brable. Faux. Contre-exemple : E = R et l'application ? de N dans E définie par ?(x) = x est clairement injective et pourtant E est infini non dénombrable. Remarque : l'existence d'une injection de N dans un ensemble E permet juste d'affirmer que E est infini.
- lim n?n?
- limite de probabilité d'événements
- boules vertes
- probabilité
- cn?1 ?
- propriété de continuité séquentielle
- intersection finie d'événements
Université U.F.R. de
IPE Math 306
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Année 2009–2010
Corrigé du devoir surveillé du 19 novembre 2009
Ex 1. Vraifaux ?(4 points) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez si vous la pensez vraie ou fausse en argumentant votre réponse. Si vous répondez «vrai »,proposez une démonstration ou une référence à un résultat du cours. Si vous répondez «faux »,il suffit de proposer un contre exemple. Seules les réponses argumentées seront prises en compte par les correcteurs. 1)S’il existe une surjection d’un ensembleEdansNalorsEest dénombrable. Faux. Contre-exemple :E=Ret l’application deφdeEdansNdéfinie parφ(x) =|[x]| (où[x]désigne la partie entière du réelx) est clairement surjective et pourtantEest infini non dénombrable. 2)S’il existe une injection deNdans un ensembleEalorsEest au plus dénom-brable. Faux. Contre-exemple :E=Ret l’applicationφdeNdansEdéfinie parφ(x) =xest clairement injective et pourtantEest infini non dénombrable. Remarque : l’existence d’une injection deNdans un ensembleEpermet juste d’affirmer queEest infini. 3)Une intersection quelconque d’ensembles au plus dénombrables est au plus dé-nombrable. Vrai. Preuve : soitIun ensemble quelconque d’indices et pouri∈I,Aiun ensemble au plus dénombrable, on pose alorsA=∩i∈IAi. SiI=∅alors par conventionA=∅ est au plus dénombrable (il est fini), sinon il existei0∈IetA⊂Ai0et doncAest au plus dénombrable (comme sous-ensemble d’un ensemble au plus dénombrable). 4)SiPest la probabilité uniforme sur[0,1]alorsP(Q) = 0. Vrai. Preuve : L’ensembleQest dénombrable et donc, X P(Q) =P({x}). x∈Q Or la probabilitéPuniforme sur[0,1]est une mesure continue (ou diffuse) surRdonc P({x}) = 0pour tout réelxet on conclut queP(Q) = 0. Commentaires : – Ily a plein d’autres contre-exemples à donner. Dire qu’une proposition est fausse en donnant une définition ou une autre proposition juste ne démontre rien. – Lorsqu’on définit une application, il faut donner l’ensemble de départ et l’en-semble d’arrivée (cela fait partie entièrement de la définition de l’application). Ex 2. Fonctionde répartition(4 points) Tracer le graphe des fonctions suivantes. Pour chacune de ces fonctions, préciser s’il s’agit de la fonction de répartition d’une variable aléatoire. Si oui,
