Baccalaureat 2002 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

[BaccalauréatES2002\ L’intégraledeseptembre2001 àjuin2002 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2001 ..................... 3 Franceseptembre2001 ............................... 6 AmériqueduSudnovembre2001 ................... 10 Nouvelle-Calédonienovembre2001 .................14 Nouvelle-Calédonieavril2002 .......................18 Pondichérymars2002 ...............................21 AmériqueduNordjuin2002 .........................24 Antilles-Guyanejuin2002 ........................... 29 Asiejuin2002 ........................................35 Centresétrangersjuin2002 ..........................39 Francejuin2002 .....................................42 LaRéunionjuin2002 ................................46 Libanjuin2002 .......................................50 Polynésiejuin2002 .................................. 552[ BaccalauréatESAntilles–Guyane septembre2001\ EXERCICE 1 6points Communàtouslescandidats Letableausuivantdonnelepourcentagedeconscrits(jeunesgensayant18ansdans l’année)quisontensurpoidsouobèses. Année 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Rangde l’annéex 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10i Pourcentage y 11,5 11,7 12,5 13,5 13,3 14,5 15,8 15,5 15,6 16,5i (Enquêtedulaboratoireespace,santéetterritoire,universitédeParisX–Nanterre) −2Lesrésultatsdescalculsserontarrondisà10 près. −1Lescoordonnéesdespointsserontarrondiesà10 près. 1. ReprésenterlenuagedepointsM (x ; y )associéàlasériestatistiquedansuni i i repèreorthonormé.L’origine durepèrecorrespondaupoint decoordonnées (0;10). Gdésignelepointmoyendecenuage.Calculersescoordonnées(x et y ).0 0 Placercepointsurlegraphique. 2. a. Trouveruneéquationdeladroite(D)obtenueparlaméthodedesmoindres carrés. b. Tracercettedroite(D)surlegraphiqueprécédentetvérifierquelepoint Gappartientàcettedroite. cov(x ; y)−33. a. Calculerunevaleurapprochéeà10 prèsdunombreρ= . σ σx y b. Calculer la somme S des carrés des résidus correspondant à cet ajuste- ment. S c. Vérifierque =1−ρ.¡ ¢P 2 y −yi 0 4. En utilisant les résultats précédents donner une estimation du pourcentage dejeunesgensensurpoidsouobèsesayant18ansen2001. EXERCICE 2 4points Enseignementobligatoire erLe système éducatif français est composé du 1 degré (écoles maternelles et pri- emaires)etdu2 degré(collègesetlycées). Le personnel assurant le fonctionnement est composé de personnel enseignant et depersonnelnonenseignant(administration,service...). Àlarentrée1999,onalesinformationssuivantes: •64%dupersonnelestenseignant er•40%dupersonnelestdansle1 degré er•39%dupersonnelenseignantestdansle1 degré. Onutiliseralesnotationssuivantespourdésignerlesévènements : E:«êtreenseignant» E:«nepasêtreenseignant»BaccalauréatES L’intégrale2002 erD1:«êtredansle1 degré» eD2:«êtredansle2 degré» Onchoisit auhasard une personne; après justification, les résultats descalculs se- −2rontdonnéssousformedécimaleà10 près. er1. Quelleestlaprobabilitépourunenseignantd’êtredansle1 degré? e2. Quelleestlaprobabilitépourunenseignantd’êtredansle2 degré? 3. Quelleestlaprobabilitépourunepersonnedusystèmeéducatifd’êtreensei- ergnantdu1 degré? 4. Quelleestlaprobabilitépourunepersonned’êtreenseignante,sachantqu’elle erestemployéedansle1 degré? 5. Quelle est la probabilité pour une personne de ne pas être enseignante, sa- echantqu’elleestemployéedansle2 degré? EXERCICE 2 4points Enseignementdespécialité Uncoupledéposeaupremierjanvierdel’an2000,unesommede5000eurossurun compterémunéréautauxannuelde6%. Par la suite, ce couple possède une capacité d’épargne annuelle de 3 000 euros, erépargneverséetousles1 janviersurlecompteprécédent. Lesintérêtssontcapitalisésau31décembredechaqueannée. erOnnoteS lasommedontlecoupledisposeau1 janvierdel’année(2000+n).n 1. CalculerlesvaleursdeS , S , S .0 1 2 2. Montrerquel’expressiondeS ,enfonctiondeS estdonnéeparlarelation:n+1 n S =(1,06)S +3000.n+1 n 3. OnposeT =S +50 000.n n a. Montrerque(T )estunesuitegéométriquederaison1,06.n b. ExprimerT puisS enfonctionden.n n erc. Au 1 janvier de quelle année le couple possédera-t-il une épargne su- périeureà50 000euros? PROBLÈME 10points Uneentreprisefabriqueunproduitenquantité x. Lecoûttotaldeceproduitestdonnépar 2x 9 C (x)= + ln(x+1) pour x∈[0; 5].T 4 2 Lescoûtssontexprimésenmillionsd’eurosetx estexpriméeenmilliersdetonnes. PartieI-Étuded’unefonctionauxiliaire f Onconsidèrelafonction f définiesur[0;5]par 2x 9x f(x)= + −9ln(x+1). 2 x+1 ′1. Calculer f (x)etvérifierquel’onpeutécrire x(x−2)(x+4)′f (x)= . 2(x+1) ′Lesdétailsducalculde f devrontfigurersurlacopie. Antilles-Guyane 4 septembre2001BaccalauréatES L’intégrale2002 2. Établirletableaudevariationsde f sur[0;5]. 3. Endéduireque f s’annulesur[0;5]pourunevaleuruniqueα. −34. Déterminerunencadrementà10 prèsdeα.(Onpréciseralaméthodeutili- sée.) 5. Déduiredesrésultatsprécédentslesignede f sur[0;5]. PartieII–Étudeducoûtmoyen LafonctioncoûtmoyenC estdéfiniesur[0;5]par:m C (x) x 9 ln(x+1)T C (x)= = + × .m x 4 2 x f(x)′ ′1. CalculerC (x)etvérifierquel’onpeutécrireC (x)= où f estlafonctionm m 22x auxiliairedelaquestion1delapartieI. ′Lesdétailsducalculde C devrontfigurersurlacopie.m 2. ÉtudierlesensdevariationdeC sur[0;5].m 3. Pourquelle production,exprimée entonnes, àuneunité près,lecoûtmoyen est-ilminimal? Quelestalorscecoût? Antilles-Guyane 5 septembre2001[BaccalauréatESFranceseptembre2001\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats Sur une portion de 6 kilomètres de boulevard périphérique, le trafic peut être per- turbéentre7het11hdumatin. Audébutdecette portion, unpanneau indique, à chaque instant, le temps depar- coursd’unvéhiculesurces6kilomètres. Onmodélisel’évolutiondutraficàl’aidedelafonction f définiesur[1;5]par lnt f(t)=8e +4 oùeestégalàexp(1). t Lenombre f(t)estalorsletempsdeparcoursindiquésurlepanneauetexpriméen minute,àuninstant t expriméenheure.Ilest7hdumatinàl’instant t=1. Lepanneauindique«traficfluide»s’ilfautmoinsde6minutespourparcourirles6 kilomètres,Ilindique«traficperturbé»s’ilfautplusde11minutes. 1. a. Étudierlesvariationsde f sur[1;5]etdressersontableaudevariations. b. Endéduirequeletraficn’estpasfluideà7h10minetqu’ilnel’est plus jusqu’à11h. 2. Soitg lafonctiondéfiniesur[1;5]par 2g(t)=(lnt) . ′a. Calculer g (t)etendéduireuneprimitivede f sur[1;5]. b. Déterminer, àune minute près, lavaleur moyennedutemps nécessaire pourparcourirles6kilomètres,entre7het11hdumatin. EXERCICE 2 5points Enseignementobligatoire Une personne qui dispose de20 € souhaite miser sur «pair» ou «impair» avantle lancerd’undé. Lamiseestdoubléesiongagne,sinonelleestperdue. Au premier lancer, elle mise 10 € sur «impair», et on suppose que la probabilité d’obtenir«pair»estlamêmequecelled’obtenir«impair». Enrevanche,auxlancerssuivants,ellemisetoutelasommequiluiresteous’arrête s’ilneluiresteplusrien.Elledécidedejoueraumaximumtroisfois. 1. Dans cette question, on suppose que la personne mise chaque fois sur «im- pair»etqu’àchaquefoislaprobabilitéd’obtenir«pair»estégaleàcelled’ob- tenir«impair». Onnote X lasommequiluiresteàlafin. a. Illustrerlasituationparunarbrepondéré. b. Déterminerlaloideprobabilitéassociéeàl’ensemble desvaleursprises par X ainsiquel’espérancedecetteloi. 2. Pour cette question, on a constaté après une étude statistique qu’après un «impair»,laprobabilitéd’obtenirdenouveauun«impair»estde0,4,etqu’après un«pair»,laprobabilitéd’obtenirdenouveauun«pair»estde0,45. Le sachant, la personne mise, à partir du deuxième lancer, sur la solution la plusprobable. OnnoteY lasommequiluiresteàlafin.BaccalauréatES L’intégrale2002 a. Illustrerlasituationparunarbrepondéré. b. Déterminerlaloideprobabilitéassociéeàl’ensemble desvaleursprises parY ainsiquel’espérancedecetteloi. Remarque:Dansles deuxcasdécritspar lesdeux questions, lepremier niveaudel’arbrepondéréestdonclesuivantoùlasomme quiresteàla personneestmiseentreparenthèses: Pair(10) 0,5 0,5 Impair(30) EXERCICE 2 5points Enseignementdespécialité Lasuite(u )estdéfinieparu =7et,pourtoutentiernatureln,par:n 0 2u +6n u = .n+1 5 1. Calculeru , u , u .1 2 3 2. Onconsidèrelasuite(v )définie,pourtoutentiernatureln,par:n v =u −2.n n a. Montrerquelasuite(v )estunesuitegéométriquedontonpréciseralan raisonetlepremierterme. b. Exprimer v enfonctionden,etendéduireque:n à !n2 u =5× +2.n 5 c. Quelleestlalimitedelasuite(u )?n 3. Illustrationgraphique ³ ´→− →− Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  (unité graphique : 2cm). ∗Soit f lafonctiondéfiniesurR par 2x+6 f(x)= . 5 a. Tracerla représentation graphique Dde f,ainsiquela droiteΔd’équa- tion y=x. b. Placer, sur l’axe des abscisses, le point P d’abscisse u . En utilisant les0 0³ ´→− droitesDetΔ,construirelespointsP , P ,P del’axe O, ı d’abscisses1 2 3 respectivesu , u , u .1 2 3 À quoi correspond, sur ce graphique, l’abscisse du point d’intersection desdeuxdroitesDetΔ? France 7 septembre2001BaccalauréatES L’intégrale2002 PROBLÈME 10points Premièrepartie Dansunecommuneleshabitantspaientunimpôtenfonctiondeleursrevenus. Lapopulationestalorsclasséeduplusfaibleimpôtauplusfort. Letableausuivantindiqueque(100y)%delarecettefiscaledueàcetimpôtestpayée par(100x)%delapopulation. Ainsi le couple (0,7; 0,25) signifie que 70% dela population paie 25% de la recette fiscale. x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1i y 0 0,025 0,04 0,06 0,1 0,16 0,25 0,4 0,65 1i 1. a. Représenterlenuagedepoints M (x , y ).i i i Vousprendrezunrepèreorthonormald’unitégraphique10cm. b. Unajustement affineentrelesvariablesstatistiques x et y vousparaît-il approprié? 2. Danscettequestionledétaildescalculsn’estpasdemandé. Onconsidèrelavariablestatistique z=ln(y)pourlesvaleursde y strictement positives. a. Recopieretcompléterletableausuivantoùz seraarrondià0,01.i x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1i z = −3,69i lnyi b. Donneruneéquationdeladroiteobtenuecommeajustementaffinepar laméthodedesmoindrescarréssouslaformez=ax+b oùaetb seront arrondisà0,1. c. Endéduireunerelation entre y et x dela forme y=αexp(ax) oùαsera arrondià0,01. d. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant desvaleurs arron- diesà0,01. x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1i αexp(ax )i Compareravecletableauinitialetdonnerunbrefcommen