Baccalauréat C 1982 Amiens

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C 1982 Amiens \ EXERCICE 1 4 points Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et B = (?? e1 , ??e2 , ??e3 ) une base orthonormée de E. Soit ? l'endormorphisme de E défini analytiquement par : ? ? ? ? ? ? ? ? ? x? = 1 2 ( ?x+ z p3) y ? = ?y z ? = 1 2 ( ?x p3? z) 1. Montrer que ? est une isométrie de E. 2. a. Chercher le sous-espace vectoriel U de E des vecteurs transformés par ? en leurs opposés. On en donnera une base. b. Montrer que les sous-espace U? orthogonal de U est globalement inva- riant par ?. On en donnera une base. c. Le plan engendré par les vecteurs ??e1 et ??e2 étant supposé orienté par la base directe (?? e3 , ??e1 ) , préciser la restriction de ? à cette base. 3. En conclure qu'il existe deux isométries ?1 et ?2 de E que l'on caractérisera avec précision telles que ?=?1 ??2 =?2 ??1. EXERCICE 2 4 points 1. Soit ? l'application de R? dans R définie par : ?x ?R?, ?(x)= ( 1+ 1 x ) e 1x +1.

• distances ?0?a


• som- mets de l'hyperbole


• points d'intersection de l'hyperbole


• hyperbole équilatère


• relation de récurrence


• exclusion de points


• signe de ?

Sujets

• Relation de récurrence

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C 1982 Amiens\

E X E R C IC E 1 4points ³ ´ −→−→−→ Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 etB=e 1 ,e 2 ,e 3 une base orthonormée de E. Soitϕl’endormorphisme de E défini analytiquement par :  1 ¡ ¢ ′ x= −x+z3   2 ′ y= −y 1 ¡ ¢  ′  z= −x3−z 2 1.Montrer queϕest une isométrie de E. 2. a.Chercher le sousespace vectoriel U de E des vecteurs transformés parϕ en leurs opposés. On en donnera une base. ′ b.orthogonal de U est globalement invaMontrer que les sousespace U riant parϕ. On en donnera une base. −→−→ c.Le plan engendré par les vecteurse 1 ete 2 étant supposé orienté par la ³ ´ −→−→ base directee 3 ,e 1 , préciser la restriction deϕà cette base. 3.En conclure qu’il existe deux isométriesϕ 1 etϕ 2 de E que l’on caractérisera avec précision telles que

ϕ=ϕ 1 ◦ϕ 2 =ϕ 2 ◦ϕ 1 .

E X E R C IC E points2 4 ⋆ 1.Soitϕl’application deRdansRdéfinie par : µ ¶ 1 1 ⋆ x ∀x∈R,ϕ(x)=1+e+1. x ⋆ Déduire de l’étude des variations deϕdansR, celle du signe deϕ(x) dans ⋆ R. 2.Soitfl’application deRdansRdéfinie par :   f(0)=0 x ⋆ f(x)=,∀x∈R  1 x 1+e a.Étudier la continuité et la dérivabilité defen zéro. b.Déterminer le tableau de variations complet defdansR(on utilisera le ′ 1 pour trouver le signe def(x). ³ ´ −→−→ c.Soit (C) la courbe représentative defdans un repère orthonorméO,ı, d’un plan affine euclidien. x Étudier la limite def(x)−quandxtend vers+∞et quandxtend vers 2 −∞. Montrer que (C) admet une asymptote et construire (C) dans le ³ ´ −→−→ repère O,ı,. On représentera la courbe en choisissant, une unité de longueur égale à 5 cm).

Terminale C

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 12 points Partie préliminaire ³ ´ −→−→ 1.(P) est un plan affine euclidien muni d’un repère orthonorméO,ı,. Soitϕl’application de (P) dans (P) définie analytiquement par : ½ ′ x=y−4 ′ y=x+4. Montrer queϕest une isométrie affine de (P) que l’on précisera. 2.On appellef a la fonction numérique de la variable réellexdéfinie par : (a+2)x f a (x)=, x+2−a aétant un paramètre réel appartenant àR−{−2 ;+2} et on appelle (C a ) la ³ ´ −→−→ courbe représentative def a dans le repèreO,ı,de (P). a.Montrer que, pour toutadeR−{−2 ;+2}, (C a ) est globalement inva riante parϕ. b.Montrer que toutes les courbes (C a ) passent par deux points indépen dants de a. ³ ´ −→−→ c.Étudier les variations def a O,et construire dans le repèreı,les ³ ´ courbes (C −1 ) etC. (On utilisera pour la représentation graphique 3 2 une unité de longueur égale à 2 cm.) Partie A ³ ´ −→−→ Soitω a le point de coordonnées (a−2 ;a+O,2) dans le repèreı,de (P) et les vecteurs :1 + ³ ´³ ´ −→ 1 −→ −→−→ 1 −→→− I=ı−etJ=ı+. 2 2 ³ ´ −→−→ 1.Montrer queω a ,I,Jest un repère orthonormé de (P). ³ ´ −→−→ 2.Déterminer une équation de (C a ) dans le repèreω a ,I,J. ′ En déduire que (C a les points) est une hyperbole équilatère (on notera A et A d’intersection de l’hyperbole avec ses axes de symétrie; points appelés som mets de l’hyperbole). ³ ´ −→−→ 3. a.Soit D la droite d’équationy=x+4 dans le repèreO,ı,. Montrer que par tout pointMde D, à l’exclusion de points que l’on précisera, passe une courbe (C a ) unique. b.Montrer que (C a ) a ses sommets sur D si et seulement si|a| >2. ′ c.En déduire l’ensemble des points A et Alorsqueavarie dans ]−∞;−2[∪]2 ;+∞[. 4.On suppose ici|a| <2. Évaluer en fonction deales distancesω 0 ω a etω a A ;en déduire la distance ′ ω 0 lorsqueA. Déterminer l’ensemble des points A et Aavarie dans ]−2 ; 2[.

Partie B Dans cette partie on supposeaélément de l’intervalle I = [0 ; 2[. Soit (U n suite numérique définie par) laU 0 et la relation de récurrence : n∈N

∀n∈N,U n+1 =f ( U n ) . On suppose queU 0 ∈[0 ; 2a].

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Terminale C

A. P. M. E. P.

1.Montrer que∀n∈N,U n+1 =f a ( U n ). On suppose queU 0 ∈[0 ;2a]. est par En déduire que la suite (U n ) n∈N tout définie dansN. Que peuton dire deU 0 =0 ou siU 0 =2a? la suite (U n ) n si ∈N 2.On suppose queU 0 est différent de 0 et 2a(par suiteaest différent de 0). a.Montrer que :∀n∈N, (U n 6=0 etU n 6=2a). b.Soit (V) lasuite définie par : n n ∈N

U n ∀n∈N,V n = U n −2a Montr nesuite géométrique dont on préciser er que (V n ) n∈N a la raiest u son en fonction dea. Étudier l’existence et la valeur de la limite de (V n ) ,en déduire l’exis n∈N e de tence et la valeur de la limit ( U n ) n ∈N

N.B. Les parties A et B sont indépendantes.

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