Baccalauréat C Aix-Marseille juin 1976

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Aix-Marseille juin 1976 \ EXERCICE 1 points 1. Déterminer suivant les valeurs de n (n ?N), le reste de la division de 4n par 7. 2. Déterminer suivant les valeurs de n (n ?N), le reste de la division de A = 8513n +8512n +851n +2 par7. 3. On considère le nombre B qui dans le système à base quatre s'écrit : B = 2103211 Déterminer dans le système décimal, le reste de la division du nombre B par 7. EXERCICE 2 points Soit f la fonction de R dans R telle que f (x)= e x ex ?1 Étudier les variations de f et construire sa représentation graphique (C ) dans un repère orthonormé. Montrer que (C ) admet un centre de symétrie. x étant un réel strictement négatif, déterminer ∫x ?1 et et ?1 dt et étudier sa limite pour x tendant vers ?∞. PROBLÈME points Le plan affine euclidien (P) est rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . Partie A 1. On considère la courbe (H) d'équation : x2?2y2 = 1 (1). Quelle est la nature de cette courbe ? Déterminer ses sommets, ses asymptotes et la dessiner.

• composantes du vecteur vitesse


• fn?11 ?f1


• déterminer dans le système décimal


• équation de f?1


• vecteur ac


• célération ??? dans la base

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1976
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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C AixMarseille juin 1976\

E X E R C IC E 1 points n 1.Déterminer suivant les valeurs den(n∈Npar 7.), le reste de la division de 4 2.Déterminer suivant les valeurs den(n∈N), le reste de la division de

3n2n n A=851+851+851+7.2 par 3.On considère le nombreBqui dans le système à base quatre s’écrit :

B=2103211 Déterminer dans le système décimal, le reste de la division du nombreBpar 7.

E X E R C IC E 2 points Soitfla fonction deRdansRtelle que x e f(x)= x e−1 Étudier les variations defet construire sa représentation graphique (C) dans un repère orthonormé. Montrer que (C) admet un centre de symétrie. xétant un réel strictement négatif, déterminer Z x t e dt t −1 e−1 et étudier sa limite pourxtendant vers−∞.

P R O B L È M E points ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien (P) est rapporté à un repère orthonormé O,ı,.

Partie A 2 2 1.On considère la courbe (H) d’équation :x−2y=1 (1). Quelle est la nature de cette courbe ? Déterminer ses sommets, ses asymptotes et la dessiner. 2.On considère dans le plan (P) le mouvement du pointM(x;y) tel que  1   x= h h π cos(2t) oùt∈0 ; 1  4  y= ptg (2t) 2 2 a.récisera.Montrer que la trajectoire (T) est une partie de (H) que l’on p −−−−→ b.Déterminer les composantes du vecteur vitesset e x t Vet du vecteur ac ³ ´ −→ −→−→ célérationΓdans la baseı,. Vérifier que le mouvement est accé −−−→ léré, c’estàdire que la fonctiont→−7 ° V(t) ° est croissante. Partie B

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

On appelle E l’ensemble des applications affinesFde (P) dans (P) telles queF(O) = O etF(H) = H cette dernière condition exprimant que la courbe (H) est globalement invariante parF. µ ¶ a c On appellefl’application linéaire associée àFdans. la basede matrice b d ³ ´ −→−→ ı,.

1. a.Quelle peutêtre, par une application affine non bijective, l’image du plan (P) ? En déduire que tout élément de E est une bijection. b.Montrer que (E,◦) est un groupe. ¡ ¢ ′ ′′ ′ 2.SoitM(x;y) etM x;ytels queM=F(M). On aura ½ ′ x=a x+c y ′ y=b x+d y −1−1 Sachant queF∈E si et seulement siF∈E, écrire l’équation deF(H) en fonction de (a,b,c,d). En déduire que  2 2 a−2b=1  −1 2 2 F(H)=H⇐⇒ c−2d= −2  ac−2bd=0 p On pourra utiliser pour cela les points A(1 ; 0), B(3 ; 1), C(−3 ; 1), points qui appartiennent à la courbe (H). 3.En déduire queFest élément de E si et seulement si la matrice defest de µ ¶ a2ǫb 2 2 la formeavecǫ∈{−1 ;+1} eta−2b=1. bǫa Partie C ′ Soit Ele sousensemble des applicationsFde E telles queǫ= +1. ′ 1.Montrer que Eest stable pour◦. 2.Soit (L) l’ensemble des pointsM(x;y) tels que

2 22 x−2y=1 avec (x;y)∈N Vérifier queM 0 0) et(1 ;M 1 2) appartiennent à ((3 ;L). ′ SoitF 1 telle quel’application affine de Ea=3 etb=2. ¡ ¢ On considère la suite des pointsM n x n ;y n ,n∈N, telle que :

x 0 =1 ;y 0 =0 ;M n+1 =F 1 ( M n ) n2n n−1 Montrer queM n =F ( M 0 ) oùF=F 1 ◦F 1 etF=F◦F 1 . 1 11 1 Vérifier queM n est un élément de (L). 3.Établir par récurrence que

n (3+2 2)=x n +y n 2 n (3−2 2)=x n −y n 2 quel que soitnélément deN. En déduirex n ety n en fonction den.

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

4.On appelle (T) l’ensemble des pointsM(x;y) de (H) pour lesquelsxety appartiennent àR + et, pour toutn∈N, on appelleA n l’ensemble défini par :

A n = { M/M∈(T),x n 6 x<x n+1 } Montrer queA n+1 est l’image parF 1 deA n . En déduire que £ ¤ n −1 M∈A n ⇒F(M)∈A 0 1 −1 Montrer queM∈(L)∩A n+1 ⇒F(M)∈(L). 1 En déduire que tout point de (L) est un élément de la suite (M n ).

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