Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit O un point fixe du plan orienté. L'exercice propose d'étudier une famille F de cercles de rayons non nuls du plan tels qu'on puisse leur mener, depuis O, deux tangentes orthogonales. Si C est un cercle de la famille F , on note UC et TC les points de contact des tan- gentes àC issues de O. Question préliminaire : pour un cercle C de F , de centre I, indiquer la nature du quadrilatère OUCITC. 1. Étude d'une propriété caractéristique de la famille F Soit C un cercle du plan de rayon r (r 6= 0) et de centre I. On pose OI = d . Démontrer que : C appartient à la famille F si et seulement si d = rp2. 2. Étude de la famille FAdes cercles de la famille Fpassant par un point A du plan Soit A 6=O un point du plan. a. Démontrer qu'un cercle C de centre I appartient à la famille FA si et seulement si C passe par A et OI = AIp2. b. Déterminer le lieu L des centres des cercles de la famille FA. Préciser les points E et F d'intersection de L avec la droite (OA). c. Représenter sur une figure deux cercles de la famille FA ainsi que L .

• origine du repère


• repère orthonormé direct


• cercles de la famille f∆


• centre de g1


• similitude directe


• points a?1

Sujets

• Similitude (géométrie)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 1991
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991\

E X E R C IC E 1 4points Soit O un point fixe du plan orienté. L’exercice propose d’étudier une familleFde cercles de rayons non nuls du plan tels qu’on puisse leur mener, depuis O, deux tangentes orthogonales. SiCest un cercle de la familleF, on note U C et T C les points de contact des tan gentes àCissues de O. Question préliminaire :pour un cercleCdeF, de centre I, indiquer la nature du quadrilatère OU C IT C . 1. Étuded’une propriété caractéristique de la familleF SoitCun cercle du plan de rayonr(r6=0) et de centre I. On pose OI =d. Démontrer que : p Cappartient à la familleFsi et seulement sid=r2. 2. Étudede la familleF A des cercles de la familleFpassant par un point A du plan Soit A6=O un point du plan. a.Démontrer qu’un cercleCde centre I appartient à la familleF A si et seulement si C passe par A et OI = AI2. b.Déterminer le lieuLdes centres des cercles de la familleF A . Préciser les points E et F d’intersection deLavec la droite (OA). c.Représenter sur une figure deux cercles de la familleF A ainsi queL. 3. Étudede la familleF Δ des cercles de la familleFcentrés sur une droiteΔ donnée ne passant pas par O SoitΔune droite donnée du plan ne passant pas par O. a.Démontrer que les points de contact U C et T C des tangentes issues de O aux cerclesCde la familleF Δ décrivent deux droitesΔ 1 etΔ 2 . b.Représenter sur une figure deux cercles de la familleF Δ ainsi que les droitesΔ,Δ 1 ,Δ 2 .

E X E R C IC E points2 5 ³ ´ −→−→ Soit P un pun plan orienté rapporté à un repère orthonormé directR=O,ı,. On rappelle que l’affixe d’un pointMde coordonnées (x;y) est le nombre complexe z=x+iy. 5π On donne des réelsretαavecr>0 etα=et on noteule nombre complexe de 4 moduler, d’argumentα. 1.On construit les pointsA n de P répondant aux conditions : •A 0 est l’origine du repère ; •A 1 est le point d’affixe i ; •pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, le pointA n est l’image deA n−2 par la similitude directe de centreA n−1 , de rapportr, dont une mesure de l’angle estα. On notez n l’affixe du pointA n .

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A. P. M. E. P.

a.Écrire pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 une relation entrez n ,z n−1 etz n−2 . b.Montrer que pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a

n−1 z n −z n−1 =(−u) i. c.Déterminer l’expression de l’affixez n deA n en fonction denetu. 2. a.Montrer qu’il existe une similitude directeS, et une seule, telle que

A 1 =S ( A 0 ) etA 2 =S ( A 1 ) . Préciser les éléments caractéristiques deS. b.Montrer que pour tout entier natureln, on aA n+1 =S ( A n ). 0 On noteSl’application identique de P, et pour tout entier natureln, on n+1n poseS=S◦S. Soitp∈N; montrer que ¡ ¢ n+p n pour toutndeN,A=S A p . 4 c.Montrer queSest une homothétie. d.En déduire que les pointsA n sont éléments d’un ensemble formé par la réunion de quatre droites que l’on précisera. 2 3.On suppose maintenantr=. On appelleΩle centre de la similitudeS. 2 −−−−−→−−−−−−→ a.Démontrer que pour tout entier natureln, les vecteursΩA n+1 etA n A n+1 sont orthogonaux. b.Représenter graphiquement les pointsA 0 ,A 1 ,A 2 ,∙ ∙ ∙,A 9 dans le repère ³ ´ −→−→ orthonorméΩ;ı,(unité : 4 cm). −−−−−→ −−−→−−−−−→ c.Calculer ° ΩA n+1 ° en fonction denet de ° ΩA 0 ° lim. En déduire ° ΩA n+1 ° . n→+∞ d.Pour tout entier natureln, calculer

n X −−−−−→ L n = ° A i A i+1 ° . i=0 Étudier la limite de la suite (L n ) quandntend vers+∞. n∈N

E X E R C IC E 2 5points ³ ´ −→ á −→ π Dans le plan orienté on considère un carré ABCD de centre I tel queAB ,AD=. 2 On noteCle cercle passant par A, B, C et D. Faire une figure. (On choisira AB = 4 cm). On note : −→ tla translation de vecteur DA , π r D ,la rotation de centre D d’angle 2 π r 1 la rotation de centre A d’angle−, 4 3π r 2 .la rotation de centre A d’angle 4 On désire caractériser les transformations :

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f=t◦r D g 1 =r 1 ◦f g 2 =r 2 ◦f.

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A. P. M. E. P.

1.Démontrer quef,g 1 etg 2 sont des rotations dont on précisera l’angle. (On ne demande pas les centres). 2. a.Déterminerf(D) etf(A). Quel est le centre def? b.Déterminerg 1 (D) etg 2 (D). ′ ′ 3.Soit A=g 1 (A) et A=g 2 (A). 1 2 −1′ ′ a.Montrer, en utilisantg 2 ◦g, que A est le milieu du segment [AA ]. 1 12 ³ ´ −→ á −→ ′ b.Montrer, en calculantque Aest sur la tangente àAD ,AN ,Cen A. 1 4. a.Soit J le centre deg 1 et K celui deg 2 . Montrer que J et K appartiennent àCet qu’ils sont diamétralement op posés. Placer J et K sur la figure. ′ b.est sur la droite (JB).Montrer que A 1 ′ ′ Placer les points Aet Asur la figure. 1 2

P R O B L È M E 12 points À tout entier natureln > 1 on associe la fonction numériquef n définie sur l’inter valle I = [1 ;+∞[ par : n 1 (lnx) f n (x)= 2 n!x ³ ´ −→−→ On noteC n la courbe représentative def n O,dans un repère orthogonalı,du ′ ′ plan. (Choisir comme unités graphiques 1 cm surx xet 10 cm sury y.) La première partie propose l’étude def 1 Dans les parties II et III on précise certains comportements des fonctionsf n et des primitives de ces fonctions. I. Étude def 1

1.Déterminer la limite def 1 en+∞. Étudier les variations def 1 . 2.Tracer la tangente àC n au point d’abscisse 1 puis tracer la courbeC 1 . 3.À l’aide d’une intégration par parties, calculer, pourxélément de I : Z x I 1 (x)=f 1 (t) dt. 1

II. Comportement des fonctionsf n pourn > 1 · ¸ n n (lnx) (lnx) 1.En remarquant que=, déterminer la limite def n en+∞. 2 2/ n x x ′ ′ 2. a.Calculerf(x) et vérifier quef=0. n n/2 ( ) ne ′ Donner le tableau de variations def. n b.Vérifier que la valeur maximale def n sur I est : 1 (n)" ³ ´ n 1n y n =. n! 2e 3. a.Soitx∈I. Étudier, suivant les valeurs dex, le signe def 2 (x)−f 1 (x). b.Déterminer la tangente àC 2 au point d’abscisse 1. Préciser les positions relatives deC 1 etC 2 . ¡ ¢ 4.On se propose d’étudier la suitey n . n > 1 Soitnun entier strictement positif.

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f n+1 (x) a.Calculer, pourx > 1, . f n (x) ³ ´ 1 n+1 1 b.Montrer quey n+1 =f n quee ety n+1 6 y n . 2 2 2 1 1 c.En déduire quey n 6 . n e 2 ¡ ¢ Quelle est la limite de la suitey n ? n > 1

III. Étude de primitives def n sur I À tout entiern > 1 et à tout nombre réelxde I, on associe l’intégrale Z x I n (x)=f n (t) dt. 1 1. a.Soitk > 1 un entier. Grâce à une intégration par parties démontrer la relation :

k+1 1 (lnx) I k+1 (x)=I k (x)− . (k+1)!x b.En déduire que pour tout entiern > 1 :

A. P. M. E. P.

2n−1n 1 lnx(lnx) (lnx) (lnx) I n (x)=1− ∙ ∙ ∙ −−− − x x2!x(n−1)!x n!x 2.Soitα > 1 un nombre réel fixé. a.Montrer que 0 6 I n (α) 6 (α−1)y n (y n a été défini dans II. 2. b. b.limEn déduireI n (α). (On utilisera II. 4. c.). n→+∞ 3.Pourn > 1 etx > 1 on pose :

2n lnx(lnx) (lnx) W n (x)=1+ ++ ∙ ∙ ∙ + 1! 2!n! a.ExprimerW n (x) en fonction deI n (x). b.α > lim1 étant un nombre réel fixé, déterminerW n (α). n→+∞ c.En déduire l a limiteγde la suite (U n ) n∈N de terme général :

1 11 U n =1∙ ∙ ∙ ++ + +. 1! 2!n! En s’aidant de la calculatrice donner une valeur décimale approchée de −4 U 6 près. Comparer cette valeur àà 10γ.

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