Baccalauréat C Amiens juin 1976

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amiens juin 1976 \ EXERCICE 1 points Soit f l'application de R vers R définie par : ? ? ? f (x) = xp x2+1 si x 6 0 f (x) = x2Log x si x > 0 (Log désigne la fonction logarithme népérien). 1. Étudier la continuité de f . 2. Étudier la dérivabilité de f . 3. Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative (C ) dans un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 4. Calculer l'aire A? du domaine plan limité par la courbe (C ) et les droites d'équations respectives y =?1 , x = 0 et x = 1 avec 0

• table de pythagore de la loi


• ti- rages équiprobables


• repère


• loi ? de composition des applica- tions

Sujets

• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1976
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Amiens juin 1976\

E X E R C IC E 1 points Soitfl’application deRversRdéfinie par :  x  f(x)=six 6 0 2 x+1  2 f(x)=xLogxsix>0 (Log désigne la fonction logarithme népérien). 1.Étudier la continuité def. 2.Étudier la dérivabilité def. 3.Étudier le sens de variation defet tracer sa courbe représentative (C) dans ³ ´ −→−→ un plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,. 4.Calculer l’aireA α du domaine plan limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectivesy= −1 ,x=0 etx=1 avec 0<α<1. Quelle est la limite deA α lorsqueαtend vers 0 ?

E X E R C IC E 2 points Un paquet de treize cartes à jouer comprend six as, trois rois et quatre dames. Les valeurs des cartes sont les suivantes : – unas quelconque : + 5 – unroi quelconque :+ 2 – unedame quelconque :−1 L’épreuve consiste à tirer simultanément deux cartes de ce jeu. On suppose les ti rages équiprobables. 1.Combien y atil de tirages possibles ? 2.On considère la variable aléatoire X qui à tout tirage fait correspondre la somme des valeurs des cartes tirées. a.Quelle est la loi de probabilité de X ? b.Calculer son espérance mathématique, sa variance et son écarttype.

P R O B L È M E points 2 On rappelle queRmuni de l’addition et de la multiplication par un réel est un es pace vectoriel. 2 On note⋆la loi définie surRpar : ¡ ¢¡ ¢ 2′ ′2′ ′′ ′′ ′ ∀(a;b)∈R,∀a;b∈R, (a;b)⋆(a;b)=a a+αbb;ab+a b oùαest un réel donné. On poseγ=(1 ;0),w=(0 ; 1) et 0=(0 ; 0). ⋆ NdésigneN−{0}.

Partie A ¡ ¢ 2 1.Montrer que, pour toutαréel,R,+,⋆est un anneau commutatif unitaire. ¡ ¢ 2 2.Préciser l’ensemble des réelsαtels que pour chacun d’euxR,+,⋆soit un corps.

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3.SoitM α l’ensemble des matrices à coefficients réels de la forme µ ¶ aαb oùαest un réel donné. b a

A. P. M. E. P.

On note µ ¶µ ¶ 1 00 0 I=, O= 0 10 0 ¡ ¢ 2 Montrer que (M α ,+,×) est isomorphe àR,+,⋆. 4.Dans cette question, on considère le casα=0 µ ¶ a0 2 a.SoitA=. FormerA. b a 2 2 Montrer que :A−2a A+aI=O. n Pour toutn, exprimerAen fonction dea,betn. 2 Montrer qu’il existe (a;b)6=0) tel que(0 ;A=O. Que confirme ce der nier résultat ? 1 b.Soitu=(a;b). On poseu=uet pour tout entier naturel n n−1 n > 2,u=u⋆u. Utiliser a. pour exprimeruen fonction dea,betn. ¡ ¢ 2 c.Résoudre dansR,+,⋆les équations :

2 u+2u=0 2 u+u+γ=0

d.Résoudre dans (M 0 ,+,×) les équations :

2 A+2A=O

2 A+A+I=O 4 © ª 2 5.On supposeα=. Déterminer alors les éléments (a;b) deR−les0 pour 9 quels l’équation :

(a;b)⋆(x;y)=0 2 admet, dansR, des solutions (x;y) différentes de 0. Partie B SoitEun espace vectoriel euclidien de dimension 2 muni d’une base orthonormée ³ ´ −→−→ B=ı,. On appelleF α l’ensemble des endomorphismes deEdont la matrice dansBappartient àM α ,αétant un réel donné. 1.Dans cette question on considère le cas oùα=1. a.Déterminer l’ensemblePdes éléments deF 1 qui sont des projections vectorielles deEsur des droites vectorielles. Caractériser avec précision chaque élément deP. Déterminer l’ensembleJdes éléments deF 1 qui sont des involutions deE. Caractériser avec précision chaque élément deJ. b.Montrer que l’ensembleJmuni de la loi◦de composition des applica tions est un groupe commutatif. (On pourra établir la table de Pythagore de la loi). 2.On considère maintenant le casα= −1

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A. P. M. E. P.

2 2 a.Quels sont les éléments deF −1 tels quea+b=1 ? p p 2 2 b.Soitϕl’élément deF −1 défini para=etb=. On désigne par E un 2 2 ³ ´ −→−→ espace affine associé à l’espace vectorielE, et parO,ı,un repère orthonormé de E. Soitfl’application affine de E dans E associée àϕet telle quef(O) = O et (Γ) l’ensemble des points du plan dont les coordonnées dans le repère ³ ´ −→−→ O,ı,vérifient l’équation :

2 2 5x+5y+6x y−8=0 ³ ´ −→−→ Déterminer une équation def(Γ) dans le repèreO,ı,. En déduire la nature def(Γ) et représenter graphiquement cet ensemble. c.En utilisant la définition bifocale d’une conique à centre, montrer que ³ ´ −→−→ (ΓO,) est une ellipse que l’on tracera dans le repèreı,. ³ ´ −→−→ d.O,On considère dans le plan E rapporté au repèreı,le mouvement du pointmde coordonnées (x;y) définies par l’application suivante de Rvers E :  2   x=(2 cos 2t+sin 2t) 2 2   y=(sin 2t−2 cos 2t) 2 Montrer que le mouvement est périodique. Trouver la relation, indépendante det, liantxety. Que peuton en dé duire pour la trajectoire ? Préciser sur une période les intervalles de temps où le mouvement est accéléré ou retardé.

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