Baccalauréat C Benin Étranger groupe II

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Benin Étranger groupe II \ juin 1991 EXERCICE 1 4 points 1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R+ par : ? ? ? ? ? f (x) = e 1lnx si x 6= 0et x 6= 1 f (0) = 1 f (1) = 0 a. Étudier la continuité de f en 0 et en 1. b. Déterminer les limites suivantes : lim x?+∞ f (x) ; lim x?0 x>0 f (x)?1 x ; lim x?1 x<1 f (x) x?1 . c. Étudier les variations de f et dresser le tableau de ces variations. d. Représenter f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . 2. À l'aide de la question précédente, représenter dans le plan rapporté à un re- père orthonormal l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que ln |x| · ln |y | = 1. EXERCICE 2 4 points Soit, dans le plan orienté, un triangle (A, B, C) équilatéral direct de centre O. On pose AB = d (d > 0).

• repère orthonormal


• don- nera


• équation de la tangente


• lim t?


• milieu de segment


• paramétriquement dans le plan

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1991
• Nombre de lectures: 37

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Benin Étranger groupe II\ juin 1991

E X E R C IC E 1 4points 1.Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie surR + par :  1  lnx  f(x)=e six6=0 etx6=1 f(0)=1   f(1)=0 a.Étudier la continuité defen 0 et en 1. b.Déterminer les limites suivantes : f(x)−1f(x) limf(x) ;lim ;lim . x→0x→1 x→+∞ x x−1 x>0x<1 c.Étudier les variations defet dresser le tableau de ces variations. ³ ´ −→−→ d.ReprésenterfO,dans le plan rapporté à un repère orthonormalı,. 2.À l’aide de la question précédente, représenter dans le plan rapporté à un re père orthonormal l’ensemble des pointsMde coordonnées (x;y) tels que ln|x| ∙ln|y| =1.

E X E R C IC E 2 4points Soit, dans le plan orienté, un triangle (A, B, C) équilatéral direct de centre O. On pose AB=d(d>0).

1. a.Démontrer que l’ensemble (Δ) des pointsMdu plan tels que −→−−→ 1 2 OC∙OM=dest une droite que l’on déterminera avec précision. 3 b.Déterminer le réelkafin que l’ensemble (δ) des points du plan tels que −→−−→ OC∙DM=kpasse par le milieu du segment [BC]. 2 2 c.Démontrer que l’ensemble (Γ) des pointsMdu plan tels queMA+MB+ 2 2 MC=2dest un cercle que l’on déterminera avec précision. d.Justifier que (Δ) est tangente à (Γ). ′ 2.À tout pointMdu plan on associe le pointMdéfini par :

′ M=S (AC) ◦S (AO) (M) oùS (AO) etS (AC) désignent les symétries orthogonales par rapport aux droites (AO) et (AC). ′ a.Démontrer queMest l’image deMpar une rotationrdont on donnera les éléments caractéristiques. b.Quelle est l’image, parr, de la droite (BC) ? ′ c.Démontrer que O=r(O) est un point de (Γ). ′′ 3.À tout pointMde la droite (BC) on associe le pointMintersection de la droite ′ (AM) et de (δ). ′ Mest le point défini en 2.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

′′ a.Démontrer queMest l’image deMpar une similitudesdont on préci sera les éléments caractéristiques. ′′ b.Construire l’image (Γ) de (Γ) pars. ′ ′′′ 4.SoitNun point de (Γ) distinct de A et de O . La droite (NO ) coupe (Γ) enQ. a.Démontrer que

P R O B L È M E 12 points ³ ´ −→−→ Dans tout le problème le plan est rapporté au repère orthonormal O,ı,.

Partie A Soit E l’ensemble des pointsM, du planP, de coordonnées (x;y) tels que

2 2 x−x−y=0.

i. Démontrerque E est une hyperbole équilatère dont on précisera le centre, les asymptotes et les sommets. ii. DessinerE. Déterminer les foyers et les directrices de E et les placer sur le dessin. iii. SoitMun point de E d’abscisse strictement positive. On désigne par ³ ´i h −→−−→ π π θla mesure de l’angleı, OMappartenant à−; . 2 2 Exprimer OMen fonction deθpuis déterminerθafin que l’on ait OM=3. iv. Déterminertous les pointsMde E dont les coordonnées (x;y) sont deux entiers relatifs. Partie B On considère l’applicationfdeCdansCdéfinie par : ( 1 f(z)=siz6=0 z f(0)=0 et l’on désigne pargl’application dePdansPqui à tout pointMd’affixezassocie g(M) d’affixef(z). i. Démontrerquefest involutive. ii. Soitz=x+iy(x;yréels). Déterminer en fonction dexet deyla partie réelle et la partie imaginaire def(z). iii. Déterminerune équation cartésienne de la transformée de la courbe ′ E pargcette courbe.. On désigne par E iv. SoitΔla droite d’équationy=t xoùtdésigne un paramètre réel. ′ Démontrer queΔcoupe Een deux points dont l’un est O et l’autre Mdont on donnera les coordonnées en fonction det. Partie C Soit (C) la courbe définie paramétriquement dans le plan par : 2 1−t1−t3 x(t)=y(t)=(t∈R). 2 2 1+t1+t On noteM(t) le point de coordonnées (x(t) ;y(t)).

Étranger

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Baccalauréat C

Étranger

A. P. M. E. P.

i. Comparerx(−t) etx(t) puisy(−t) ety(tque peuton en déduire) ; pour (C) ? ′ ii. Soit(C) la partie de la courbe (C) correspondant àt > 0. x:R + →Ry:R + →R A. Étudierles fonctionset t→−7x(t)t−→7y(t) ′ ′ (fonction dérivée, signe dex(t) ety(t)). On démontrera en par ′ ticulier quey(t) s’annule pour une valeurt 0 et on donnera les −1 valeurs exactes puis approchées à 10dex ( t 0 ) ety ( t 0 ). B. Déterminerles limites suivantes :limx(t) etlimy(t). t→+∞t→+∞ Que peuton en déduire pour (C). C. Démontrerque (C) possède enM(0) une tangente dont on don nera une équation. D. Donnerl’équation de la tangente à (C) au pointM(1). E. Résumerl’étude précédente par un tableau. ′ F. Tracer(C) puis (C).

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