Baccalauréat C Centres étrangers groupe 1

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Centres étrangers groupe 1 \ juin 1982 EXERCICE 1 4 points 1. DansQ, résoudre le système à l'inconnue (x, y, z) : { x +2y ?4z = ?1 3x + y ?2z = 2. 2. Dans le corps Z/5Z, dont les éléments sont notés 0,1, 2, 3, 4, résoudre le sys- tème à l'inconnue (x, y, z) : { x +2y ?4z = ?1 3x + y ?2z = 2. EXERCICE 2 4 points On donne un plan affine euclidien orienté P dont le plan vectoriel associé est noté P, un triangle A1A2A3 de P et une similitude S de P. On note B1B2B3 le triangle de P défini par ????A2B1 =S (????A2A3 ) , ????A3B2 =S (????A3A1 ) ????A1B3 =S (????A1A2 ) . 1. On désigne par G l'isobarycentre du triangle A1A2A3 (barycentre des sommets affectés de coefficients égaux). Montrer que G est aussi l'isobarycentre du tri- angle B1B2B3. 2. On rapporte le plan P à un repère orthonormal direct d'origine G. On appelle a1,a2,a3 les affixes deA1A2A3 et b1,b2,b3 les affixes deB1 , B2, B3. Ondésignera par s le nombre complexe associé à la similitude S c'est-à-dire que, si z est le nombre complexe associé à un vecteur ??v de P et z ? le nombre complexe associé au vecteur

• ?? ?1


• triangle b1b2b3


• barycentre des sommets affectés de coefficients égaux


• affixes deb1


• b1b2b3


• isobarycentre du tri- angle b1b2b3

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Centres étrangers groupe 1\ juin 1982

E X E R C IC E 1 1.DansQ, résoudre le système à l’inconnue (x,y,z) : ½ x+2y−4z= −1 3x+y−2z=2.

4 points

2.Dans le corpsZ/5Z1, 2, 3, 4, résoudre le sys, dont les éléments sont notés 0, tème à l’inconnue (x,y,z) : ½ x+2y−4z= −1 3x+y−2z=2.

E X E R C IC E points2 4 On donne un plan affine euclidien orientéPdont le plan vectoriel associé est noté P, un triangle A 1 A 2 A 3 dePet une similitudeSde P. On note B 1 B 2 B 3 le triangle de Pdéfini par ³ ´³ ´³ ´ −−−→−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→ A 2 B 1 =SA 2 A 3 , A 3 B 2 =SA 3 A 1 A 1 B 3 =SA 1 A 2 .

1.On désigne par G l’isobarycentre du triangle A 1 A 2 A 3 (barycentre des sommets affectés de coefficients égaux). Montrer que G est aussi l’isobarycentre du tri angle B 1 B 2 B 3 . 2.On rapporte le planPà un repère orthonormal direct d’origine G. On appelle a 1 ,a 2 ,a 3 les affixes de A 1 A 2 A 3 etb 1 ,b 2 ,b 3 les affixes de B 1 , B 2 , B 3 . On désignera parsle nombre complexe associé à la similitudeSc’estàdire que, sizest −→ ′ le nombre complexe associé à un vecteurvde P etzle nombre complexe −→ ′ ′ associé au vecteurvtransformé devparS, on az=s z. Montrer qu’il existe, en général, deux similitudesStelles que le triangle B 1 B 2 B 3 soit équilatéral et que cellesci sont indépendantes du choix du triangle A 1 A 2 A 3 . Quel est le cas d’exception ? 2π N.B.  On utilisera le nombre complexe j de module 1 et d’argument ∙ 3

P R O B L È M E

Partie préliminaire ⋆ 1.Pour toutn∈N, calculer l’intégrale Z π 2 B n =xsinn xdx. 0

12 points

Terminale C

2.Montrer que chacune des cinq fonctions numériques :

A. P. M. E. P.

x→7−x−sinx 2 x x−→−71+ +cosx 2 3 x x7→−−x+ +sinx 6 2 4 x x x7−→1− + −cosx 2 24 3 5 x x x→−7x−− +sinx 6 120 ne prend que des valeurs positives (au sens large) sur l’intervalle [0 ;+00[. i h π 3.Montrer que, pourx∈,0 ; 3 µ ¶ 1 11 g(x)= − xsinx x vérifie 1 (x2) 1 1 µ ¶ 2 1x1 1 1− 6 g(x) 6 . 2 6 206 x 1− 6 Partie A h i π 1.Montrer que, pour toutn∈N, il existe une application continuef n ;de 0 2 dansRvérifiant sin nx J nJ i i sinπxπ f n (0)=n,f n (x)=pour toutx∈0 ;. sinx2 ′ (0) Montrer que l’applicationf n est dérivable et calculerf n . On utilisera les résultats de la partie préliminaire 2. 2.Pourn > 1, on désigne parC n la représentation graphique def n par rapport à un repère orthonormal donné (unité graphique : 2 cm). Déterminer les abs cisses des points communs àC n etC n+1 . ConstruireC 1 ,C 2 ,C 3 . Interpréter en terme d’aire l’intégrale Z π n A n =f n (x) dx. (n > 2) 0 R π 3.On noteω=ϕ(t) dtoùϕest l’application continue deRdansRdéfinie par 0 sin t . sint ϕ(0)=1,ϕ(t)=sit6=0. t On admettra que l’intégraleω, que l’on ne cherchea pas à calculer, s’écrit pour ⋆ toutn∈N Z π n ω=ϕ n (x) dx 0 où la fonction continueϕ n est définie par sinn x ϕ n (0)=n,ϕ n (x)=six6=0. x Pourn > 2, justifier l’égalité

Centres étrangers groupe 1

2

juin 1982

Terminale C

Z π 2 A n −ω=xsinn x∙g(x) dx. 0 En déduire 7t ( 7t2 ) 7t 1 µ ¶ 2 π ππ1 1− 6 A n −ω 6 2 22 2 6n20n6n π 1− 2 6n ¡ ¢ 2 Trouver les limites des suites (A n ) etn ( A n −ω) . n > 2 n >2 Partie B

A. P. M. E. P.

Pour toutn∈N, on pose Z π 2 I n =f(x) dx. 0 1.CalculerI 0 ,I 1 ,I 2 . 2.ExprimerI n+2 −I n en fonction denet en déduire une expression deI n ne faisant intervenir aucun symbole d’intégration. N. B. On rappelle la formule

Centres étrangers groupe 1

p−q p+q sinp−sinq=2 sincos . 2 2

3

juin 1982