Baccalauréat C Étranger groupe 2 1

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Étranger groupe 2 1 \ septembre 1992 EXERCICE 1 4 points Soit (un ) et (vn) les suites définies pour tout entier naturel n par : u0 = 9, un+1 = 12un ?3 et vn = un +6. 1. a. Montrer que (vn) est une suite géométrique à termes positifs. b. Calculer la somme Sn = n ∑ k=0 vk en fonction de n et en déduire la somme S ?n = n ∑ k=0 uk en fonction de n. Déterminer lim n?+∞ Sn et limn?+∞S ? n . 2. On définit la suite (wn) par wn = lnvn pour tout entier n. Montrer que (wn) est une suite arithmétique. Calculer S ??n = n ∑ k=0 wk en fonction de n et déterminer limn?+∞S ?? n . 3. Calculer le produit Pn = v0 · v1 · · · ·vn en fonction de n. En déduire lim n?+∞ Pn . EXERCICE 2 4 points Dans un plan euclidien orienté, on considère quatre points A, B, C, D ne formant pas un trapèze. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I. les droites (AB) et (DC) se coupent en J.

• sin2 u2


• plan euclidien


• v0 ·


• cosx ?1


• limite de cosx ?1


• ??


• centre de la similitude directe

Sujets

• Plan euclidien

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 63

Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C Étranger groupe 2\ septembre 1992

E X E R C IC E 1 Soit (u n ) et (v n ) les suites définies pour tout entier naturelnpar : 1 u 0 =9,u n+1 =u n −3 etv n =u n +6. 2

4 points

1. a.Montrer que (v n ) est une suite géométrique à termes positifs. n X b.Calculer la sommeS n =v k en fonction denet en déduire la somme k=0 n X ′ S=u k en fonction den. n k=0 ′ S Déterminer limS n et lim n . n→+∞n→+∞ 2.On définit la suite (w n ) parw n =lnv n pour tout entiern. Montrer que (w n ) est une suite arithmétique. n X ′′ ′′ éterminer limS. CalculerS n =w k en fonction denet d n n→+∞ k=0 3.Calculer le produitP n =v 0 ∙v 1 ∙ ∙ ∙ ∙v n en fonction den. En déduirelimP n . n→+∞

E X E R C IC E points2 4 Dans un plan euclidien orienté, on considère quatre points A, B, C, D ne formant pas un trapèze. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I. les droites (AB) et (DC) se coupent en J. 1.Soit O le centre de la similitude plane directeStelle queS(A) = B etS(D) = C. ³ ´ −→−−→−→−→ a.OA , ODDémontrer que=(OB ,OC )+2kπ,k∈N. OC OD b.Demontrer que=. OB OA ′ ′ En déduire que O est le centre de la similitude directeStelle queS(A) = ′ D etS(B) = C. ′ 2.En utilisant les similitudesSetS, démontrer que les cercles circonscrits aux quatre triangles IAB, IDC, JAD et JBC ont le point O en commun.

P R O B L È M E

Partie 1 On désigne pargla fonction numérique définie sur [0 ;π] par

12 points

g(x)=xcosx−sinx. Étudierget dresser son tableau de variation. En déduire le signe deg(x) sur [0 ;π].

1. Algérie,Djibouti, Gabon, Mali, Maroc, Sénégal

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

Partie 2 Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie sur [0 ;π] par : ( f(0)=1 sinx f(x)=six∈]0 ;π] x 1.Démontrer quefest continue sur [0 ;π]. 2.Étudier les variations defsur ]0 ;π]. Tracer la courbe représentative defsur [0 ;π] dans le plan rapporté à un repère orthonormé. (On admettra que le nombre dérivé defen zéro est zéro.) h i π2 3.En déduire que pourxa; onde 0 6 f(x) 6 1. 2π Partie 3 On se propose d’étudier la fonction définie sur [0 ;π] par : Z π F(x)=f(t) dt. x (On ne cherchera pas à calculer une primitive def.) Z π 1.Justifier l’existence def(t) dt. 0 2. a.En utilisant la question II. 3., démontrer que pour 0<x 6 π, on a : Z µ¶ π 2 2xsint 2 − 6 2 dt. 2 x π πt 2 b.Calculer la valeur enπdes fonctions définies sur ]0 ;π] respectivement par : Z µ¶ Z π 2 π sint2u 2 2 x→−7dtetx→7−sin du, x 2 t x u2 2 puis calculer leur fonction dérivée. En déduire l’égalité des deux fonctions. c.Déduire de 2. a. et b. que : Z π 2 2x2uπ 2 − 6 sin du 6 . 2 2 π π x u2 2 3. a.En prenantt→7−1−costcomme primitive det7−→sintet en intégrant par parties, démontrer que pour toutxde ]0 ;π] : Z Z π π sint2 cosx−1 1−cost dt+= +dt. 2 x tπx x t cosx−1 b.lorsqueCalculer la limite dextend vers 0. x c.Démontrer que : Z Z π π 1−cost2t 2 dt=sin dt. 2 2 x t x t2 d.En déduire que : Z π 4 2xcosx−1 sintπ2 cosx−1 − + 6 dt 6 + +. 2 π πx x t2πx

Étranger groupe 2

2

septembre 1992

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

e.En déduire que : Z π 4 2π 6 f(t) dt 6 +. π 0 π2 4. a.Dresser le tableau de variations deFsur [0 ;π]. b.Donner l’allure de la courbe représentative de la fonctionFdans un plan rapporté à un repère orthonormé.

Étranger groupe 2

3

septembre 1992