Baccalauréat C Grenoble septembre 1975

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Grenoble septembre 1975 \ EXERCICE 1 Soit B = (?? ı , ??? ) une base orthonormée d'un plan vectoriel euclidien P . Partie A 1. On pose ??u = ??ı +2??? et ??v = 2??ı ???? et on appelle ? l'application linéaire de P dans P telle que ? ? ? ? ? ? (?? u ) = 1 2 ?? u ? (?? v ) =? 1 2 ?? v Montrer que B? = (?? u , ??v ) est une base orthogonale de P . En déduire que l'application linéaire ? est entièrement déterminée et écrire sa matrice B dans la base B?. 2. Montrer que ? est la composée d'une homothétie vectorielle et d'une isomé- trie vectorielle de P que l'on précisera. 3. Calculer Bn =Bn?1?B, n ?N?. En déduire lamatrice An de?n =?n?1?? dans la base B. Expliciter lamatrice A1 que l'on notera A. Partie B Soit R = (O, B) un repère orthonormé d'un plan affine euclidien P associé à P . On appelle f l'application affine de P associée à l'application linéaire ? et telle que O? = f (O) ait pour coordonnées (1 ; 2) dans R.

• réel


• droite d'équa


• couple unique de réels


• points mn


• figure indiquant la construction


• distance euclidienne des points ?


• homothétie vectorielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1975
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Grenoble septembre 1975\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ SoitB=ı,une base orthonormée d’un plan vectoriel euclidienP. Partie A −→−→−→−→−→−→ 1.On poseu=ı+2etv=2ı−et on appelleϕl’application linéaire de PdansPtelle que  ³ ´ −→ 1 −→   ϕu=u 2 ³ ´ −→ 1 −→   ϕv= −v 2 ³ ´ −→−→ ′ Montrer queB=u,vest une base orthogonale deP. En déduire que l’application linéaireϕest entièrement déterminée et écrire ′ sa matriceBdans la baseB. 2.Montrer queϕest la composée d’une homothétie vectorielle et d’une isomé trie vectorielle dePque l’on précisera. n n−1⋆ 3.CalculerB=B×B,n∈N. n n−1 En déduire la matriceA n deϕ=ϕ◦ϕdans la baseB. Expliciter la matrice A 1 que l’on noteraA. Partie B SoitR=(O,B) un repère orthonormé d’un plan affine euclidien P associé àP. On appellefl’application affine de P associée à l’application linéaireϕet telle que ′ O=f(O) ait pour coordonnées (1 ; 2) dansR. ¡ ¢ ′ ′′ 1.Montrer que les coordonnéesx;ydu pointM=f(M) s’expriment en fonction des coordonnées (x;y) du pointMpar les relations :  −3x+4y  ′  x= +1 10 4x+3y  ′  y= +2 10 2.Quel est l’ensemble des points invariants parf? Montrer qu’il existe une ho mothétie ponctuelleHet une isométrie affineStelles que :

f=H◦S=S◦H. Reconnaître la transformationf. Préciser ses éléments caractéristiques et faire une figure indiquant la construction du transformé d’un point parf. 3.Quelle est l’image parfde la droite (D) d’équation

3x−4y+10=0 ? Plus généralement, quelle est l’image parfd’une droite d’équation

a x+b y+c=0 ? Existetil des droites globalement invariantes parf? Pouvaiton prévoir le résultat ?

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

4.SoitΩle point de coordonnées (2; 4) etMle point de coordonnées (x;y) (M6=Ω). On définit la suite de points :

M 0 =M;M 1 =f ( M 0 ) ;M 2 =f ( M 1 . . . ;) ;M n =f ( M n−1 ) ; . . . En utilisant les résultats du B 2., montrer que les pointsM n appartiennent, suivant la parité den, à l’une ou l’autre de deux droites que l’on précisera. −−−→ 5.Calculer les composantes (X n ;Y n ) du vecteurΩM n dans la baseB, en fonc tion dexety. Quelle est la position limite du pointM n lorsquenaugmente indéfiniment ? µ ¶ 1 19 6.On choisit (x;y)=; . 2 4 Montrer que, si l’on poseZ n =d ( Ω,M n ) (Z n est la distance euclidienne des pointsΩetM n ). Z n est le terme général d’une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Quelle est la plus petite valeur dentelle qued ( Ω,M n ) <0, 001 ?

E X E R C IC E 2 Soitfla fonction réelle de la variable réelle définie par : x−1 f(x)=Log x+1 1.Étudier la fonctionf, et tracer sa courbe représentative (C) dans le plan affine ³ ´ −→−→ euclidien P rapporté à un repère orthonorméO,ı,. 2.Montrer que la fonctionfest intégrable sur [2; 3]. Calculer l’aireAdu , do ³ ´ −→ maine plan délimité par la courbeCO,, la droiteı, et les droites d’équa tionsx=2 etx=3 (on pourra songer â faire une intégration par parties). 3.On appelleg, la restriction defà ]1 ;+∞[. Montrer quegest une bijection de −1 ]1 ;+∞[ sur ]− ∞; 0[. Déterminerg.

E X E R C IC E 3 On rappelle que l’ensembleSdes suites réelles muni de l’addition des suites et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel surR. On note (u n ) une suite etu n (n∈N) le terme de rangnde la suite (u n ). On considère l’ensembleEdes suites (u n ) vérifiant la relation :

u n =4 (u n−1 −u n−2 ) ,n∈N−{0 ; 1}.

1.Montrer queEmuni de l’addition et de la multiplication par un réel est un sousespace vectoriel deS. ⋆n 2.Déterminerr(r∈R) pour que la suite géométrique (r) soit élément deE. n On désignera para 0 ,a 1 , . . . ,a n les termes de rang 1, 2, . . . ,n+1 de la suite (r). n Montrer que la suite (nr) est élément deE. On désignera parb 0 ,b 1 , . . . ,b n les n termes de rang 1, 2,. . . ,n+1 de cette suite (nr). 3.Soit (u n ) un élément quelconque deE. Montrer qu’il existe un couple unique de réels (λ,µ) tel que :

Grenoble

u 0 =λa 0 +µb 0 u 1 =λa 1 +µb 1 .

2

septembre 1975

Baccalauréat C

Montrer que, quel que soitn,n∈N,u n est de la forme :

A. P. M. E. P.

u n =λa n +µb n En déduire une base pourEet l’expression en fonction deu 0 ,u 1 etn, du terme généralu n d’un élément quelconque (u n ) deE.

Grenoble

3

septembre 1975