Baccalauréat C juin 1975 Paris

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1975 Paris \ EXERCICE 1 1. Soit F la fonction numérique définie sur R par F (x)= ∫1+x2 1 Log t dt . (le symbole Log désignant le logarithme népérien). Calculer la dérivée F ?(x) de F au point x, en considérant F comme la fonc- tion composée de la fonction g : x 7?? 1+ x2 et de la fonction h : X 7?? ∫X 1 Log t dt (X > 0). 2. Calculer, en intégrant par parties, l'intégrale ∫X 1 Log t dt . Exprimer alors F (x) sans utiliser le signe d'intégration, et retrouver l'expres- sion de F ?(x). EXERCICE 2 Dans le plan affine P rapporté à un repère ( O, ??ı , ??? ) , on donne les points A et B définis par ???OA =??ı , ???OB =??? . Tout point M du plan P a deux coordonnées, notées x et y , dans le repère ( O, ??ı , ??? ) . 1. Comment choisir le point M pour que les points A, B, M , affectés respective- ment des coefficients x, y, xy , admettent un barycentre ? Dessiner l'ensemble H des points M qui ne conviennent pas.

• joueur a?


• supposée indépendante du rang


• probabilité de ruine du joueur a?


• application numérique


• espace de probabilité relatif

Sujets

• Application numérique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1975
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1975 Paris\

E X E R C IC E 1 1.SoitFla fonction numérique définie surRpar Z 2 1+x F(x)=Logtdt. 1 (le symbole Log désignant le logarithme népérien). ′ Calculer la dérivéeF(x) deFau pointx, en considérantFcomme la fonc 2 tion composée de la fonctiong:x7−→1+xet de la fonctionh:X7−→ Z X Logtdt(X>0). 1 Z X 2.LogCalculer, en intégrant par parties, l’intégraletdt. 1 Exprimer alorsF(x) sans utiliser le signe d’intégration, et retrouver l’expres ′ sion deF(x).

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Dans le plan affine P rapporté à un repèreO,ı,, on donne les points A et B −−→→−−→→ définis par OA=ı, OB=. ³ ´ −→−→ Tout pointMdu plan P a deux coordonnées, notéesxetyO,, dans le repèreı,.

1.Comment choisir le pointMpour que les points A, B,M, affectés respective ment des coefficientsx,y,x y, admettent un barycentre ? Dessiner l’ensembleHdes pointsMqui ne conviennent pas. 2.Trouver et dessiner l’ensembleKdes pointsMpour lesquels le point O est le barycentre des points A, B,Maffectés respectivement des coefficientsx,y,x y.

P R O B L È M E

Partie A On donne un entier naturela, supérieur ou égal à 1. 1.Trouver l’ensembleJdes solutions du système suivant d’inéquations, où l’in connue est le nombre réelx:   x>0 3a a −x+2x−1  <0 3a 1−x a (on pourra d’abord poserx=X). 2.Calcul numérique (on pourra utiliser une table de logarithmes) : 49 Trouver la plus petite valeur de l’entierapour laquelle le nombreappar 51 tient àJ.

Partie B

Terminale C

A. P. M. E. P.

On considère l’ensembleS, de toutes les suites réellesu, applications deNdansR, n7−→u n . ′ ′′ La sommeu+ude deuu. x suitesuetudeSest la suiten→−7u n + n Le produitγud’une suiteupar un réelγest la suiten−→7γu n . La suite 0 est la suiten→−70 (réel nul). L’ensembleS, muni de cette addition et de cette multiplication par un réel, est un espace vectoriel surR.

1.Soitpun nombre réel donné, appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[. On désigne parEl’ensemble des suitesudeSqui satisfont à la relation de récurrence :

(1)∀n∈N,p u n+2 −u n+1 +(1−p)u n =0. a.Montrer qu’une telle suite est définie par la donnée de ses deux premiers termesu 0 etu 1 et par la relation (1). b.Montrer queEest un sousespace vectoriel deS. c.Soitvetwles deux suites de E définies parv 0 =1,v 1 =0 et parw 0 = 0,w 1 =1. – Montrerque {v,w} est un système libre. – Montrerque, siuest une suite quelconque deE,uest égale à la suiteu 0 v+u 1 w. – Quepeuton dire alors de {v,w} ? Quelle est la dimension deE? 1 2. a.Vérifier que sip=les suites deEsont des suites arithmétiques. 2 1 n On supposep6=. Montrer que la suiten7−→t(tréel non nul) appar 2 2 tient àEsi et seulement sitest tel quep t−t+1−p=0. Vérifier que l’on obtient ainsi deux suites formant une base deE. Écrire alors une expression générale du termeu n d’une suiteuquelconque de E, en désignant parλetµles coordonnées deudans cette base. b.Soitαun entier donné, supérieur ou égal à 1. On désigne maintenant par uune suite deEtelle queu 0 =1 etu α =0. 1 – Onprendp=, exprimer alorsu n en fonction deαet den. 2 1 1−p – Onsupposep6=et on posex=; exprimeru n en fonction 2p dex,αetn. Partie C ′ Un jeu oppose deux joueurs A et A , auxquels on attribue respectivement, au début du jeu, un « avoir » deajetons et un « avoir » de 2ajetons (a entier donné, supérieur ou égal à 1). La rencontre comporte des parties successives et indépendantes, numérotées 1, 2, 3, . . . La probabilité pour que le joueur A gagne une partie est supposée indépendante du rang de cette partie, et égale àp(0<p<1). Après chaque partie le joueur perdant donne un jeton au gagnant. Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur est « ruiné », c’estàdire ne dispose plus de jetons, et le joueur « ruiné » perd le match.

1. a.kdésignant un entier naturel, on considère la variable aléatoire X k égale à l’avoir du joueur A après la partie de rangk(sik6=0) et avant la partie de rangk+1 (si celleci a lieu). On a ainsi X 0 =aet 0 6 X k 6 3a. Quelles sont les valeurs « possibles » de X 1 ? de X 2 ? de X 2k ? de X 2k+1 ?

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Terminale C

A. P. M. E. P.

′ b.Si X k =0 le joueur A est ruiné; si X k =3 a le joueur Aest ruiné; dans chacun de ces cas le match ne se poursuit pas au delà de lakième partie. 1 Si X k est différent de 0 et de 3aque la probabilité de ruinel’on admet ultérieure du joueur A ne dépend pas dekmais seulement de la valeurn de X k ? On désigne parr n la probabilité de ruine de A, connaissantn. On a ainsi r 0 =1 etr 3a =0.

En considérant les deux valeurs que peut prendre X k+1 sachant que X k = 2n n, montrerquer n =(1−p)r n−1 +p r n+1 et constater que la suiten7→−r vérifie la relation de récurrence (1) du B. Exprimer alors, à l’aide de B. 2. b., le termer n en fonction denet dea µ ¶ 1 1−p1 (lorsquep=) ou en fonction den,aet dex=lorsquep6=. 2p2 ′ ′ c.On désigne parrla probabilité de ruine du joueur A , connaissant son m avoirm. ′ Montrer qu’on obtientren remplaçant, dans l’expression der n ,npar m µ ¶ 1 ′ metppar 1−pc’estàdirexÉcrire cette expressionpar .xder m x µ ¶ 1 1 pourp=et pourp6=. 2 2 ′ Vérifier la relationr a +r=1 (2). 2a ′ ′ 2.En notant quer a etrsont les probabilités de ruine de A et de Aau début 2a ′ du match, on voit que le jeu est favorable au joueur A sir a <r, c’estàdire, 2a d’après la relation (2) précédente, si 2r a <1. 1 Que vautr a lorsquep=? 2 1 On prendp6=. Exprimer la différenceD a =2r a −1 en fonction dexet dea. 2 Pour quelles valeurs dexatonD a <0 ? (cf. le A 1.). 1 pétant fixé, supérieur à, comment choisirapour que le jeu soit favorable 2 au joueur A ?

Application numérique:p=0, 51 ;utiliser le A 2. pour donner la plus petite valeur convenable de l’entiera.

1. Lecandidat ne cherchera pas à définir l’espace de probabil ité relatif à ce jeu, et se bornera à faire le raisonnement qui lui est suggéré. 2. Lecandidat pourra admettre ce résultat

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