Baccalauréat C juin 1975 Reims

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1975 Reims \ EXERCICE 1 1. Déterminer, selon les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division eucli- dienne par 9 de 4n . 2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 229n+2?313n?1 est divisible par 9. EXERCICE 2 On désigne par P un plan affine rapporté à un repère ( O, ??ı , ??? ) . Soit S? la transformation qui, à un point M de P, de coordonnées (x ; y), fait corres- pondre le point M1 dont les coordonnées ( x1 ; y1 ) sont données par : ( x1 y1 ) = (1 ? ? 1 )( x y ) où ? est un paramètre réel. 1. Trouver les valeurs de ? pour lesquelles S? n'est pas bijectif et déterminer, pour chacune de ces valeurs, l'image de S? ainsi que l'ensemble des points M pour lesquels S?(M)=O. 2. M étant fixé, distinct de O, déterminer l'ensemble E des points M1 transfor- més de M par S? lorsque le paramètre ? décrit R. Comment faut-il choisir M pour que E contienne le point O.

• primitive de ?


• reste de la division eucli- dienne


• demi-tangente


• tangente au point d'abscisse


• point m1

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1975
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1975 Reims\

E X E R C IC E 1 1.Déterminer, selon les valeurs de l’entier natureln, le reste de la division eucli n dienne par 9 de 4. 2.En déduire que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, le nombre

9n+2 3n−1 N=22−divisible par 9.31 est

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ On désigne par P un plan affine rapporté à un repèreO,ı,. SoitS α la transformation qui, à un pointMde P, de coordonnées (x;y), fait corres ¡ ¢ pondre le pointM 1 dont les coordonnéesx 1 ;y 1 sont données par : µ ¶ µ¶ µ¶ x 1 1αx = y 1 α1y oùαest un paramètre réel.

1.Trouver les valeurs deαpour lesquellesS α n’est pas bijectif et déterminer, pour chacune de ces valeurs, l’image deS α ainsi que l’ensemble des pointsM pour lesquelsS α (M)=O. 2.Métant fixé, distinct de O, déterminer l’ensembleEdes pointsM 1 transfor més deMparS α lorsque le paramètreαdécritR. Comment fautil choisirMpour queEcontienne le point O.

P R O B L È M E

Partie A Soitfla fonction d’une variable réelle, à valeurs réelles, définie par  1  f(x)=pourxstrictement positif et distinct de1 Logx  f(0)=0

1.Étudierf: continuité, dérivabilité, sens de variation, représentation dans un repère orthonormé. (On précisera la demitangente à l’origine O du repère, en f(x) étudiant la limite delorsquextend vers 0 par valeurs positives). x x 2.On pose, Z x pour 0 6 x<1F(x)=f(t) dt 1 Z 2 x et, pourx>1G(x)=f(t) dt 2 ′ ′ Que vautF(x) ? Que vautG(x) ? (On ne cherchera pas à calculer des expressions deF(x) et deG(x) ). ′ ′ Dire pourquoi on n’a pas le droite d’écrireF(x)=G(x).

Terminale C

A. P. M. E. P.

Partie B On pose, pourxstrictement positif et distinct de 1 : Z 2 x H(x)=f(t) dt x fétant la fonction définie dans A. 1. a.Montrer queH(x) est toujours positif ou nul. b.Montrer queH(x) s’exprime, suivant les cas, à l’aide de la fonctionFou à l’aide de la fonctionG. ′ En déduire l’expression deH(x) pour 0<x<1, puis pourx>1 c.Soitϕune fonction numérique définie et continue sur [0 ; 1[. Z 2 x Établir queϕ(t) dttend vers 0 lorsquextend vers 0 par valeurs posi x tives. (On pourra désigner parΦune primitive deϕ). En déduire la limite deH(x) lorsquextend vers 0 par valeurs positives. 2.On pose, pourxstrictement positif et distinct de 1 : Z 2 x 1 K(x)=dt. x tLogt a.Calculer la dérivée de la fonction qui, àxstrictement positif et distinct de 1, fait correspondre Log|Logx|. En déduire queK(x), qu’on calculera, garde une valeur constante, qu’on précisera,quandxvarie dans ]0 ; 1[ et dans ]1 ;+∞[. b.On pose pourxstrictement positif et distinct de 1 : x−1 ϕ 1 (x)= xLogx Montrer queϕ 1 (x) tend vers une limiteℓ, qu’on précisera, lorsquextend vers 1. (On pourra poserx=1+X). Soit alorsϕ 1 la fonction définie par ½ ϕ 1 (x)=ϕ 1 pourx1.strictement positif et distinct de ϕ 1 (1)=ℓ En s’inspirant de B1. c., montrer que 2 Z 2 x ϕ 1 (t) dttend vers 0 quandxtend vers 1. x c.Montrer queH(x)−K(x) tend vers 0 lorsquextend vers 1. En déduire qu’on peut définir à partir deHune fonction à valeurs réelles H, définie et continue sur [0 ;+∞[, coïncidant avecHsur ]0; 1[ et sur ]1 ;+∞[. 3. a.Montrer que, quel que soitx>0,x6=1, 2 2 x−x x−x 6 H(x) 6 2LogxLogx b.En déduire la limite deH(x) lorsquextend vers 0 par valeurs positives. H(x) c.En déduire également les limites deH(x) et delorsquextend vers x +∞.

Reims

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juin 1975

Terminale C

Reims

A. P. M. E. P.

d.Rassemblant les résultats des trois questions de B, étudier les variations deHet tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé. (On précisera la demitangente à l’origine O du repère; par ailleurs, en admettant que la dérivée deHexiste au pointx=1, et que ′ ′ H(1)=limH(x), on précisera la tangente au point d’abscisse 1). x→1

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