Baccalauréat C juin 1982 Lyon

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Lyon \ EXERCICE 1 4 points 1. a. Déterminer les racines carrées du nombre complexe 3+4i. b. Résoudre dans le corps C des nombres complexes l'équation z3? (5+3i)z2+ (5+8i)z?1?5i= 0 dont on remarquera qu'elle admet une racine z1 réelle. On notera z2 = x2+ iy2, z3 = x3+ iy3 (x2 < x3) les deux autres solutions. 2. On considère dans le plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé les points M1, M2, M3 d'affixes respectives z1, z2, z3. Calculer le rapport et donner une mesure en radian de l'angle de la similitude plane directe de centre M1 transformant M2 en M3. EXERCICE 2 4 points Pour tout naturel n > 1 on pose In = 1 2n+1n! ∫1 0 (1? t)ne t2 dt . 1. À l'aide d'une intégration par parties calculer I1. 2. Démontrer que pour tout naturel n > 1 on a In+1 = In ? 1 2n+1(n+1)! . 3. En déduire par récurrence que pour tout naturel n > 1 on a pe= 1+ 12 1 1! +·· ·+ 1 2n 1 n! + In .

• projection vectorielle


• vectorielles d1


• euclidien associé au plan vectoriel


• m3 d'affixes respectives


• racine z1 réelle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

E X E R C IC E 1

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 Lyon\

1. a.Déterminer les racines carrées du nombre complexe 3+4i. b.Résoudre dans le corpsCdes nombres complexes l’équation

3 2 z−(5+3i)z+(5+8i)z−1−5i=0

4 points

dont on remarquera qu’elle admet une racinez 1 réelle. On noteraz 2 =x 2 +iy 2 ,z 3 =x 3 +iy 3 (x 2 <x 3 ) les deux autres solutions. 2.thonormé lesOn considère dans le plan affine euclidien muni d’un repère or pointsM 1 ,M 2 ,M 3 d’affixes respectivesz 1 ,z 2 ,z 3 . Calculer le rapport et donner une mesure en radian de l’angle de la similitude plane directe de centreM 1 transformantM 2 enM 3 .

E X E R C IC E 2 Pour tout natureln > 1 on pose Z 1 1 t n 2 I n =(1−t) edt. n+1 2n! 0

1.À l’aide d’une intégration par parties calculerI 1 . 2.Démontrer que pour tout natureln > 1 on a

1 I n+1 =I n −. n+1 2 (n+1)! 3.En déduire par récurrence que pour tout natureln > 1 on a

p 1 11 1 e=1+ +∙ ∙ ∙ ++I n . n 2 1!2n! 4.Montrer que l’on peut trouver une constanteAtelle que

4 points

1 0 6 I n 6 A. n 2n! t n On pourra déterminerAen majorant la fonctiont→7−(1−t) esur l’intervalle 2 [0 ; 1]. En déduire la limite quandntend vers l’infini de

1 11 1 u n =1+ +∙ ∙ ∙ +. n 2 1!2n!

P R O B L È M E 12 points ³ ´ −→−→ Pest un plan vectoriel euclidien etı,une base orthonormée de ce plan,aest un réel etbun réel non nul. On noteϕ a,b l’endomorphisme dePdont la matrice µ ¶ ³ ´ 2 −→−→ a b dans la baseı,est . 1a

Terminale C

A. P. M. E. P.

Partie A 1.Pour quelles valeurs deaetb,ϕ a,b estil bijectif ? Déterminer, suivant les va leurs deaet deb, le noyau et l’image deϕ a,b . 2.Dans cette questiona=b. 1 On appellehl’homothétie vectorielle dePde rapport. Démontrer que 2b l’applicationp=ϕ a,b ◦hest une projection vectorielle dont on précisera les ensembles qui la caractérisent. En déduire queϕ a,b est égal à la composée d’une homothétie vectorielle, dont on donnera le rapport, et d’une projection vectorielle. 3.Dans cette questiona=0 (etbest toujours un réel non nul). Pour quelles valeurs du réelλle système d’équations ½ 2 λx−b y=0 x−λy=0 d’inconnue le couple (x;y) deR×R, admetil d’autres solutions que le couple (0 ; 0) ? Pour chaque valeur deλtrouvée, déterminer l’ensemble des solutions de ce système. En déduire qu’il existe deux droites vectoriellesD 1 etD 2 dont on donnera des équations cartésiennes, globalement invariantes parϕ a,b . À quelle condition ces droites sontelles orthogonales ? Partie B Soit P le plan affine euclidien associé au plan vectorielPrapporté au repère ortho ³ ´ −→−→ normé O,ı,. Dans la suite du problème, toutes les constructions demandées se feront dans un même repère orthonormé, en prenant 2 cm pour unité de longueur sur les axes. On appellefl’application affine de P qui au pointMde coordonnées (x;y) dans ³ ´ −→−→ ′ ′′ O,ı,associe le pointMde coordonnées (x;y) telles que ½ ′2 x=b y ′2 y=x+Logb (où Log est le symbole du logarithme népérien). ³ ´ −→−→ 1.Quelle est la matrice, relativement àı,, de l’endomorphisme associé à f? Montrer quefest bijective et déterminer analytiquement sa réciproque −1 f. 2.Déterminer, suivant les valeurs deb, l’ensemble des points invariants parf. 2 Dans le cas oùb=1, reconnaîtref. 3.Quelles sont les droites affines D de P transformées en droitesf(D) parallèles à D ? ′x 4.Construire les courbesCetCd’équations respectivesy=e ety=Logx. ′ Démontrer que la courbeCest la transformée de la courbeCparf. SoitΔla tangente àCen un pointM 0 d’abscissex 0 . ′ ′′ Démontrer que la tangente àCau pointM=f ( M 0 ) est la droiteΔ=f(Δ). 0 Partie C

Lyon

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juin 1982

Terminale C

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ Soittun réel. Un point mobileMa pour coordonnées dansO,ı,, à l’instantt,  1 2   x(t)= +cost 2 2  1 2  y(t)= +sint. 2 2 1.Construire la trajectoireΓdeM. Quelle est la nature du mouvement deM? 2.A quels instants le pointMco¨ïncidetil avec le point A de coordonnées (0 ; 1). Démontrer que les courbesCetΓadmettent en A la même tangenteT. ′ ′ 3.Déterminer la nature de la trajectoireΓdu pointM=f(M). Dans le cas où 2′ ′′ b=2 construireΓ, placer les points A, A=f(A), O=f(O) et la droite

Lyon

′ T=f(T).

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juin 1982