Baccalauréat C juin 1982 Nice

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Nice \ EXERCICE 1 4 points Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On suppose n> 3. On tire une boule, qu'on remet dans l'urne après en avoir noté le numéro. On admet que le tirage de chacune des boules est équiprobable. Puis on tire une seconde boule et on en note le numéro. On appelle X la variable aléatoire définie de la façon suivante : – si les numéros sont égaux, X prend leur valeur commune, – si les numéros sont différents, X prend la valeur du plus grand des deux. 1. Trouver la probabilité des évènements suivants : – E1 : X prend la valeur 1. – E2 : X prend la valeur 2. – E3 : X prend la valeur 3. – Ep : X prend la valeur p (p entier tel que 16 p 6n). 2. Calculer l'espérance de X. On rappelle que la somme des n premiers entiers non nuls est n ∑ p=1 p = n(n+1) 2 . et que la somme des carrés des n premiers nombres entiers non nuls est n ∑ p=1 p2 = n(n+1)(2n+1) 6 . EXERCICE 2 4 points Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé direct ( O, ??ı , ??? ) d'axes x?Ox, y ?Oy .

• repère orthonormé direct


• constante réelle


• courbe d'équation


• réel donné


• application ? de p2 dans p2


• base de p2


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 Nice\

E X E R C IC E 1 4points Une urne contientnboules numérotées de 1 àn. On supposen > 3. On tire une boule, qu’on remet dans l’urne après en avoir noté le numéro. On admet que le tirage de chacune des boules est équiprobable. Puis on tire une seconde boule et on en note le numéro. On appelle X la variable aléatoire définie de la façon suivante : – siles numéros sont égaux, X prend leur valeur commune, – siles numéros sont différents, X prend la valeur du plus grand des deux.

1.Trouver la probabilité des évènements suivants : – E 1 : X prend la valeur 1. – E 2 : X prend la valeur 2. – E 3 : X prend la valeur 3. – E p : X prend la valeurp(pentier tel que 1 6 p 6 n). 2.Calculer l’espérance de X. On rappelle que la somme desnpremiers entiers non nuls est

n X n(n+1) p=. 2 p=1

et que la somme des carrés desnpremiers nombres entiers non nuls est

n X n(n+1)(2n+1) 2 p=. 6 p=1

E X E R C IC E points2 4 ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé directO,ı,d’axes ′ ′ xOx,yOy. SoitCla courbe d’équation

2 2 x−3y+8x+12y+16=0. 1.Démontrer queCest une conique dont on précisera les éléments caractéris tiques : centre, axes de symétrie, foyers, directrices, asymptotes, excentricité. TracerC. 2.Soit (D) la droite d’équationy−3=0. On désigne pard(M, D)la distance du pointMà la droite (D). Soit P le point de coordonnées (−4 ;6) ;d(Mdésigne la distance de, P)Mà P. Quel est l’ensemble des pointsMtels qued(M, P)=2d(M?, D)

P R O B L È M E 12 points ⋆ On désigne parR, l’ensemble des nombres réels et parRl’ensemble des nombres + réels strictement positifs.

Partie A

Terminale C

On appelleP 2 l’ensemble des fonctions polynômesPdéfinies par

A. P. M. E. P.

2 (∀x∈R)P(x)=a x+b x+c, 3 où (a,b,c) est élément deR. On appelleraθla fonction polynôme nulle. On rappelle queP 2 est un espace vectoriel surR, de dimension trois, dont la base canonique est (e 0 ,e 1 ,e 2 ) avec

2 (∀x∈R)e 0 (x)=1,e 1 (x)=x,e 2 (x)=x. On considère l’applicationϕdeP 2 dansP 2 , qui à tout élémentPassocieϕ(P)=Q, avecQdéfini par la relation

2′′ ′ (1) (∀x∈R) :[ϕ(P)](x)=Q(x)=x P−(αx+α−1)P(x)+P(x) ′ ′′ oùαest un réel donné,PetPétant les fonctions dérivées première et seconde de P.

1. a.Montrer queϕest un endomorphisme deP 2 . b.Calculerϕ ( e 0 ) ,ϕ ( e 1 ) ,ϕ ( e 2 ) en fonction dee 0 ,e 1 ,e 2 . P étant défini par

2 (∀x∈R)P(x)=a x+b x+c, calculer <ϕ(P) en fonction dee 0 ,e 1 ,e 2 . ½ ¾ 3 ¡ ¢ 2.Montrer que siα∈R−,1 ;ϕ ( e 0 ) ,ϕ ( e 1 ) ,ϕ ( e 2 ) estune base deP 2 . 2 En déduire queϕest un automorphisme deP 2 . Déterminer la fonction polynômePtelle queϕ(P)=θ. 3.Dans cette question, on supposeα=1. a.Calculer alorsϕ ( e 0 ) ,ϕ ( e 1 ) ,ϕ ( e 2 ). b.Montrer queϕest une projection vectorielle dont on précisera les élé ments géométriques. c.Comment fautil choisirQdansP 2 pour qu’il existe des fonctions poly nômesPdeP 2 vérifiantϕ(P)=Q? 2 On donneQdéfini parQ(x)=x−2. Trouver les fonctions polynômesP solutions deϕ(P)=Q. 3 4.Dans cette question, on supposeα=. 2 a.Calculerϕ ( e 0 ) ,ϕ ( e 1 ) ,ϕ ( e 2 ). b.En déduire Imϕ. c.Déterminer Kerϕ. Partie B ⋆ On se propose dans cette partie d’étudier l’ensembleFdes fonctionsfdeRdans + R, deux fois dérivables, et vérifiant la relation

⋆ (2)(∀x∈R), +

2′′ ′ x f(x)−x f(x)+f(x)=0.

⋆ 1.Vérifier que la fonctionfdéfinie surRparf(x)=k x,k∈R, est une solution + de (2). Comparer à A 3. 2.On se propose de chercher les élémentsfdeF, sous la formef(x)=x g(x) où gest une fonction deux fois dérivable surR.

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Terminale C

a.Vérifier que (2) équivaut à

A. P. M. E. P.

′ x g(x)=d, oùdest une constante réelle arbitraire. b.En déduire la forme générale des fonctionsgpuis celles des fonctionsf. ⋆ 3.Soith, la fonction définie surRpar +

Nice

h(x)=xLogx−2x. a.Montrer quehest un élément deF. b.On définit la fonctionhpar ( ⋆ h(x)=h(x) six∈R + h(0)=0

Étudier la continuité et la dérivabilité dehpourx=0. Étudier les variations dehet donner sa représentation graphique dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. On prendra −→−→ ° ı ° = °  ° =1 cm. Préciser la tangente à l’origine.

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