Baccalauréat C juin 1982 Orléans-Tours

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Orléans-Tours \ EXERCICE 1 4 points 1. Résoudre dans C, corps des nombres complexes, l'équation (1) (1) 2(1+ i)z2+2(a+ i)z+ ia(1? i)= 0 où z est l'inconnue complexe et a un paramètre réel. 2. À tout nombre complexe z, on associe dans le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé direct ( O, ??u , ??v ) le point M d'affixe z. Déterminer l'ensemble E des points, images des solutions de l'équation (1), quand a décrit R. 3. Quel est l'ensemble transformé de l'ensemble E par la similitude directe plane S, de centre I ( ? 1 2 ; ? 1 2 ) , d'angle pi4 , de rapport p2 2 ? EXERCICE 2 4 points E est un espace affine euclidien orienté de dimension 3, rapporté à un repère ortho- normé direct ( O, ??ı , ??? , ??k ) . On appelle C le cube de sommets : O, A, B, C, D, E, F, G, défini par ???OA =??ı , ???OC =??? , ???OB =??ı +??? , ??AE =???OD =???CG =??BF =??k .

• r2 ?


• solution de l'équation


• ?y ?z


• xlog ?


• ?z ?x


• courbe représentative dans le repère


• normé direct


• repère ortho

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 OrléansTours\

E X E R C IC E 1 1.Résoudre dansC, corps des nombres complexes, l’équation (1)

4 points

2 (1) 2(1+i)z+2(a+i)z+ia(1−i)=0 oùzest l’inconnue complexe etaun paramètre réel. 2.À tout nombre complexez, on associe dans le plan affine euclidien rapporté ³ ´ −→−→ au repère orthonormé directO,u,vle pointMd’affixez. Déterminer l’ensemble E des points, images des solutions de l’équation (1), quandadécritR. 3.Quel est l’ensemble transformé de l’ensemble E par la similitude directe plane p µ ¶ 1 1π2 S, de centre I−;−?, de rapport, d’angle 2 24 2

E X E R C IC E 2 4points Eté à un repère orthoest un espace affine euclidien orienté de dimension 3, rappor ³ ´ −→−→ −→ normé directO,ı,,k. On appelleCle cube de sommets : O, A, B, C, D, E, F, G, défini par −−→→−→−→−→−→−→ OA=ı, OC=, OB=ı+, −→−−→−−→ →− → AE=OD=CG=BF=k.

−→ 1.DessinerC; soitr 1 la rotation deE, d’axe (OA) dirigé parı, dont une mesure π −→ de l’angle est+; soitr 2 la rotation deE, d’axe (OC) dirigé par, dont une 2 π mesure de l’angle est−. 2 On posef=r 2 ◦r 1 etg=r 1 ◦r 2 . Montrer quefetgsont des relations deE, définies par

f:E→Eg:E→E x−y x−z M y 7→−f(M) −yz M 7→−g(M) −x ¯ ¯¯ ¯ z xz y (On ne cherchera ni l’axe ni l’angle de chacune des rotationsfetg). 2.On note A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , E 1 , F 1 , G 1 , les images respectives parfdes points A, B, C, D, E, F, G, et A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , E 2 , F 2 , G 2 , les images respectives pargdes points A, B, C, D, E, F, G. Montrer que {A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , E 1 , F 1 , G 1 } = {A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , E 2 , F 2 , G 2 } −1 3.On poseϕ=g◦f. Quelle est l’imageC 2 parϕde la liste ordonnée de points C 1 = (A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , E 1 , F 1 , G 1 ) ? Montrer queϕest une rotation dont on précisera l’axe.

P R O B L È M E

4 points

Terminale C

A. P. M. E. P.

Partie A Soitfla fonction numérique d’une variable réelle définie par 1 x7−→f(x)=xLog 1+ ¯ ¯ x où Log désigne la fonction logarithme népérien de base e. 1.Préciser l’ensemble de définition D f def; étudier la continuité et la dérivabi lité def, en énonçant les théorèmes utilisés. ′ 2. a.Étudier la dérivabilité def, fonction dérivée def, et en déduire les va ′ riations def,. ′ b.SoitFla restriction defà l’intervalle I=]−1 ; 0[. Démontrer queFest une bijection de I sur un intervalle à préciser. En ′ déduire que dans I, l’équationf(x)=0 admet une solution unique, no téea; on ne cherchera pas à calculera, mais on montrera quea>2. ′ ′ c.Calculer limf(x) etlimf(x). x→−∞x→+∞ ′ d.Des résultats précédents, déduire le signe def(x) pourx∈D etles ′ f variations def. 3.Déterminer les limites def(on pourra utiliaux bornes des intervalles de D ′ f 1 ser le changement de variableX=). x 4.Pour une étude locale defau voisinage de zéro, on adoptera le plan suivant : Soithla fonction deRdansRdéfinie par

h:R→R x6=07−→h(x)=f(x) 07→−h(0)=0. a.Démontrer quehest le prolongement par continuité defen zéro. b.Étudier la dérivabilité dehen zéro.

Conclusion de la partieA : Donner le tableau de variations defet construire la courbe (C) représentative defdans P plan affine euclidien muni du repère ortho ³ ´ −→−→ normé O,ı,, en précisant l’intersection de (C) avec l’axe des abscisses. Partie B ³ ´ −→−→ P est le plan affine euclidien muni du repère orthonorméO,ı,. Soitsl’appli cation de P dans P définie par s: P→P ′ x x= −x−1 ′ M7−→s(M)=M ¯ ¯ ′ y y=y 1.Déterminer la nature et les points invariants des. ′ 2.Soit (C) l’image de (C) pars, (C) étant la courbe représentative dans P de la ′ fonctionfétudiée dans la partie A. Construire (C) dans le même repère que (C). ′ Soitgla fonction deRdansRadmettant (C) comme courbe représentative ³ ´ −→−→ dans le repèreO,ı,. Calculerg(x) et préciser D g ensemble de définition deg. 3.Résoudre algébriquement dansRl’équationf(x)=g(x). Partie C

OrléansTours

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Terminale C

A. P. M. E. P.

⋆ 1.Justifier que∀n∈N,f(n)<1<g(n). En déduire l’encadrement suivant de e : µ ¶µ ¶ n n+1 1 1 1+ <e<1+. n n Préciser cet encadrement pourn=1. Soitℓ(n) la largeur de cet encadrement c’estàdire µ ¶ µ ¶ n+1n 1 1 l(n)=1+ −1+. n n 4 2 ⋆ Démontrer que∀n∈N,ℓ(n) est majoré paret minoré par. n n 2.Donner un rang à partir duquel l’encadrement cidessus de e permet d’obte −3 nir une valeur approchée de e à 10près, c’estàdire µ ¶ n 1 −3 1+ −e<10 . ¯ ¯ n

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