Baccalauréat C juin 1982 Toulouse

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Toulouse \ EXERCICE 1 4 points Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonor- mée B = (?? ı , ??? , ??k ) ; on considère l'endomorphisme f de E défini par ? ? ? ? ? f (??ı ) = ???ı , f (??? ) = (sin?) ·??? + (cos?) ·??k ; f (??k ) = (?cos?) ·??? + (sin?) ·??k . avec? ? [0 ; 2pi[ 1. Démontrer que f est une isométrie vectorielle de E. 2. Démontrer l'existence d'une valeur unique de ? telle que f soit une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel ; on précisera ce plan. EXERCICE 2 4 points 1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation z2? 4 sin t z+ 13 sin2 t ?9= 0. z désigne l'inconnue, t désigne un paramètre réel de l'intervalle ]0 ; pi[. 2. Dans le plan affine euclidien, muni d'un repère ( O, ??ı , ??? ) orthonormé, on considère le point M mobile d'affixe z = 2 sin t +3icotg t , t décrivant l'intervalle ]0 ; pi[.

• ??v ?


• trajectoire du mobile


• ??v


• ?1 xn


• coordonnées du vecteur vitesse


• ?? ?


• base orthonor

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 Toulouse\

E X E R C IC E 1 4points Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonor ³ ´ −→−→ −→ méeB=ı,,k; on considère l’endomorphismefde E défini par  −→−→  f(ı)= −ı,  −→ −→ −→ f()=(sinθ)∙+(cosθ)∙k ; avecθ∈[0 ; 2π[   −→ −→−→ f(k)=(−cosθ)∙+(sinθ)∙k.

1.Démontrer quefest une isométrie vectorielle de E. 2.Démontrer l’existence d’une valeur unique deθtelle quefsoit une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel ; on précisera ce plan.

E X E R C IC E 2 4points 1.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation

4 13 2 z−z+ −9=0. 2 sint sint zdésigne l’inconnue,tdésigne un paramètre réel de l’intervalle ]0 ;π[. ³ ´ −→−→ 2.Dans le plan affine euclidien, muni d’un repèreO,ı,orthonormé, on considère le pointMmobile d’affixe

2 z= +3icotgt,tdécrivant l’intervalle ]0 ;π[. sint a.; démontrer que T est une partie d’uneSoit T la trajectoire du mobile courbe dont on précisera les éléments caractéristiques. Préciser et construire T. −→ b.l’instantV àCalculer les coordonnées du vecteur vitessetet déterminer −→ tpour que ° V ° =3.

P R O B L È M E 12 points SoitFl’ensemble des fonctions réelles continues surR. On sait que (F,+,∙) est un espace vectoriel surRet que tout élément deFest intégrable sur tout intervalle borné deR. À toute fonctionf, élément deF, on associe la suite réelle définie surNpar Z 1 U 0 (f)=f(x) dx −1 et, pourn > 1, Z 1 n U n (f)=x f(x) dx. −1

Partie A

Terminale C

Dans cette partie on notefla fonction exponentielle de base e

f:R→R x 7−→f(x)=e , gla fonction, élément deF, définie par f:R→R x 7−→g(x)=xe , et on désigne parEl’ensemble des fonctions 2 h=a f+b goù (a,b)∈R.

A. P. M. E. P.

1.CalculerU 0 (f), puisU 1 (f) grâce à une intégration par parties. 2.Établir, pourn > 1, la relation ( 1)3 . n (−1) U n+1 (f)=e+ −(n+1)U n (f). e 3.Démontrer queEest un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel (F,+,∙) et que B=(f,g) est une base deE. 4.Établir que, quelle que soit la fonctionhélément deE, il existe une fonction Htelle que Z 1 ∀x∈RH(x)=h(x+t) dt. −1 Démontrer queHappartient àEet queHest l’image dehpar une application linéaire deEdansEdont on précisera la matrice dans la base B. (Cette partie est indépendante des deux suivantes). Partie B Dans cette partie, on désigne parϕla fonction i h π π ϕ:−;→R 2 2 y7→−ϕ(y)=tgy.

1.Démontrer queϕadmet une fonction réciproque notéeΦdont on donnera l’ensemble de définition (on ne cherchera pas à expliciterΦ(x)). ′ 2.Démontrer queΦest dérivable surRet que sa fonction dérivéeΦvérifie

1 ′ ∀x∈RΦ(x)=. 2 1+x ′ ′′ ′ 3.Montrer queΦappartient àFet calculerU 0 (Φ),U 1 (Φ) etU 2 (Φ). ′ 4. a.Montrer que, sinest impair,U n (Φ)=0. b.Montrer que, sinest pair,

Toulouse

2 ′ U n (Φ) 6 n+1 ′ et en déduirelimU n (Φ). n→+∞ Partie C

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Terminale C

A. P. M. E. P.

1.fétant un élément quelconque deF, on considère la fonctionFdeRdansR définie par Z x ∀x∈R,F(x)=f(t) dt. 0 a.Montrer queFest un élément deF. b.Montrer queU 0 (f)=F(1)−F(−1). c.CalculerU n (F) en fonction deF(1), deF(−1) et deU n+1 (f). 2.SoitΦla fonction définie au B a.Montrer que, sinest pair,U n (Φ)=0. b.CalculerU 1 (Φ) sans nouvelle intégration. c.Calculer limU 2n+1 (Φ). n→+∞

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