Baccalauréat C Lille juin 1972

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Lille juin 1972 \ EXERCICE 1 On notera 0, 1, 2, . . . , (n?1) les éléments de l'ensemble Z/nZ. 1. Résoudre, dans Z/7Z, l'équation x2+2x?3= 0. 2. Trouver les diviseurs de zéro dans l'anneau Z/21Z. 30 Résoudre, dans Z/21Z, l'équation x2+2x?3= 0. EXERCICE 2 On considère la fonction numérique f , d'une variable réelle, définie par f (x)= 2x? xLog x (Log x désigne le logarithme népérien de x). 1. Déterminer les limites de f (x) et de f (x) x quand x tend vers 0 et quand x tend vers +∞. Étudier les variations de la fonction f et construire sa représentation graphique (C) dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) ; l'unité de longueur étant le seg- ment dont la mesure, en centimètres, est 12 . Déterminer les coordonnées du point P, intersection de la courbe (C) et de l'axe des abscisses. 2. En utilisant une intégration par parties, trouver l'aire, A (?), du domaine plan défini par ?6 y 6 e2, et 06 y 6 f (x) et ? satisfaisant à la condition 0< ?< e2.

• hyperbole


• dé- signe par l'application


• diviseurs de zéro dans l'anneau z


• repère orthonormé

Sujets

• Hyperbole
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1972
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Lille juin 1972\

E X E R C IC E 1 On notera 0, 1, 2,. . . ,(n−1) les éléments de l’ensembleZ/nZ.

1.Résoudre, dansZ/7Z, l’équation

2 x+2x−3=0. 2.Trouver les diviseurs de zéro dans l’anneau Z/21Z. 30 Résoudre, dansZ/21Z, l’équation

2 x+2x−3=0.

E X E R C IC E 2 On considère la fonction numériquef, d’une variable réelle, définie par

f(x)=2x−xLogx (Logxdésigne le logarithme népérien dex). f(x) 1.Déterminer les limites def(xquand) et dextend vers 0 et quandxtend x vers+∞. Étudier les variations de la fonctionfet construire sa représentation graphique ³ ´ −→−→ (C) dans un repère orthonorméO,ı,; l’unité de longueur étant le seg 1 ment dont la mesure, en centimètres, est. 2 Déterminer les coordonnées du point P, intersection de la courbe (C) et de l’axe des abscisses. 2.En utilisant une intégration par parties, trouver l’aire,A(λ), du domaine plan défini par

2 λ 6 y 6 e ,et 0 6 y 6 f(x) 2 etλsatisfaisant à la condition 0<λ<e . Déterminer la limite,A, deA(λ) quandλtend vers 0. On donnera une valeur approchée deAen centimètres carrés avec la préci −4 sion que permet la donnée de e, à 2.10près, e≈2, 718.

P R O B L È M E

Partie A ³ ´ −→−→ Soit (P) le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé O,ı,. On dé signe par l’application de (P) dans (P) qui, au pointMde coordonnéesxety, associe ′ ′′ le pointMde coordonnéesxetydéfinies par les relations

′ On noteM=f(M).

′ ′ x=2x+3yety=x+2y.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

1.Quel est l’ensemble des points invariants de l’applicationf? Montrer quefest une application affine de (P) dans (P) et qu’elle est bijective. Quelle est l’image d’une droite parf? Quelle est l’image d’une paire de droites parallèles ? 2. a.On se propose de chercher s’il existe des points,Mdont les transformés, ′ M, parfsatisfont à une relation de la forme −−−→ −−→ ′ (1) OM=kOM, kétant une constante donnée non nulle. Montrer qu’il existe, pour la constantek, deux valeurs possibles, et deux −−→ seulement,k 1 etk 2 , si l’on impose à OMd’être non nul. ′ Déterminer, pour chacune de ces deux valeurs, les ensembles (D) et (D) des pointsMsatisfaisant à (1). −→ 3 −→ 1 −→ ′ Mon !rer que (D) a pour vecteur directeurI=ı−et que (D) a 2 2 p −→ 3 −→ 1 −→ pour vecteur directeurJ=ı+. 2 2 ′ Quelles sont les restrictions defrespectivement à (D) et à (D) ? ³ ´ −→−→ b.Le plan (P) étant rapporté au repèreO,ı,, les coordonnées d’un ′ point quelconque,M, sont désignées parXet parY, celles deM=f(M) ′ ′ parXet parY; montrer que l’on a ³ ´³ ´ ′ ′ X=2−3XetY=2+3Y. ′ 3.On supposeMnon situé sur (D) ou sur (D). ′ a.Montrer queMetMappartiennent à une hyperbole, (H), asymptote ′ aux droites (D) et (D). ³ ´ −→−→ b.Soit (H) l’hyperbole d’équationX Y=hO,dans le repèreı,. Mon trer que l’équation de la droite, (Δ), tangente à (H) au pointM 0 ( X 0 ;Y 0 ) peut s’écrire sous la forme X Y + −1=0. 2X 0 2Y 0 ¡ ¢ ′ En déduire que la droiteΔ, image de (Δ) parf, esL tangente à (H) au ′ pointM=f ( M 0 ). 0 ′ 4.Soit (L) une droite qui coupe (D) et (D) respectivement en A et en B. On note −−→−→ ′ ′ A=f(A) et B=f(B). Montrer que, s’il existe un réelλtel que AM=λAB , −−−→−−→ ′ ′′ ′ alors AM=λ.A B La droite (L) étanL donnée, montrer qu’il existe une similitude,g, telle que, ′ quel que soitM∈(L), on aM=g(M). Partie B On poseu 0 =1 etv 0 =0. Les formules de récurrence,

u n+1 =2u n +3v n etv n+1 =u n +2v n , définissent deux suites illimitées d’entiers naturels (u 0 ,u 1 . . ,, .u n , .. .)et ( v 0 ,v 1 , .. . ,v n , .. .). 2 2 1.Montrer que,∀n∈N,u−3v=1. n n

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Baccalauréat C

2.Établir les formules de récurrence

A. P. M. E. P.

u n+1 +u n−1 =4u n etv n+1 +v n−1 =4v n . 3.On désigne parA n le point de coordonnéesx=u n ety=v n dans le repère ³ ´ −→−→ O,ı,de la partie A. Montrer que les pointsA 0 ,A 1 ,A 2 . . ,, .A n . .appartiennent à une même co, . nique. Préciser éventuellement les asymptotes. Montrer que la droite (OA n ) passe par le milieu du segment [A n−1 A n+1 ]. En déduire une construction du pointA n+1 à partir des pointsA n−1 etA n .

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