Baccalauréat C Métropole groupe 1 1 juin 1993

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 1 1 juin 1993 \ EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire 1. a. Soit (rn)n?N la suite géométrique réelle de premier terme r0 strictement positif et de raison 23 . Exprimer rn en fonction de r0 et de n. b. Soit (?n )n?N, la suite arithmétique réelle de premier terme ?0 apparte- nant à l'intervalle [ 0 ; pi2 ] et de raison 23pi. Exprimer ?n en fonction de ?0 et de n. c. Pour tout entier naturel n, on pose zn = rn (cos?n + isin?n ). Sachant que z0, z1 et z2 sont liés par la relation z0z1z2 = 8, déterminer le module et un argument de z0, z1 et z2. 2. Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) , (unité graphique : 4 cm), on appelle Mn le point d'affixe zn . a. Placer les points M0, M1, M2 et M3 dans le plan P . b. Pour tout entier naturel n, calculer ? ? ? ???????? MnMn+1 ? ? ? en fonction de n. c. On pose n = n ∑ k=0 ? ? ? ???????? MkMk+1 ? ? ? .

• amiens-créteil-lille-paris-rouen-versailles


• sepère orthonormal


• points enseignement obligatoire


• repère orthonormal direct

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [juin 1993Baccalauréat C Métropole groupe 1\

E X E R C IC E 1 Enseignement obligatoire

4 points

1. a.Soit (r n ) n∈N la su ite géométrique réelle de premier termer 0 strictement 2 positif et de raison. 3 Exprimerr n en fonction der 0 et den. b.Soit (θla suite arithmétique réelle de premier terme) ,θapparte n n ∈N 0 h i π2 nant à l’intervalle0 ;et de raisonπ. 2 3 Exprimerθ n en fonction deθ 0 et den. c.Pour tout entier natureln, on posez n =r n (cosθ n +i sinθ n ). Sachant quez 0 ,z 1 etz 2 sont liés par la relationz 0 z 1 z 2 =8, déterminer le module et un argument dez 0 ,z 1 etz 2 . ³ ´ −→−→ 2.Dans le plan complexePO,muni d’un repère orthonormal directu,v, (unité graphique : 4 cm), on appelleM n le point d’affixez n . a.Placer les pointsM 0 ,M 1 ,M 2 etM 3 dans le planP. −−−−−−−→ b.Pour tout entier natureln, calculer ° M n M n+1 ° en fonction den. c.On pose

n X −−−−−−→ ℓ n = ° M k M k+1 ° . k=0 Calculerℓ n en fonction denet déterminer la limite deℓ n quandntend vers+∞.

E X E R C IC E 2 4points Enseignement de spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : ³ ´³ ´ −→−→ π −→−→ π AB ,AC=mod 2πet BC, BA=mod 2π. 2 3 Soit I le symétrique de A par rapport au milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. 1.SoitS 1 la similitude directe de centre A qui transforme H en B. a.Déterminer les éléments caractéristiques deS 1 . b.Montrer queS 1 (C) = I. En déduire l’image de la droite (BC) parS 1 2.SoitS 2 la similitude directe de centre A qui transforme B en C, a.Déterminer l’image de la droite (BI) parS 2 ′ ′ b.SoitMun point de (BI),Mson image parS 2 On suppose queMetM sont distincts de I. ′ Montrer que les quatre points (A,M, I,M) sont cocycliques, 1. AmiensCréteilLilleParisRouenVersailles

Baccalauréat C

E X E R C IC E 3 Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté au sepère orthonormalO,ı,. Soit (E) la conique d’équation :

A. P. M. E. P.

4 points

2 2 16x+25y=400. 1.ts, puis tracer laPréciser la nature de (E), son centre, ses foyers et ses somme conique (E). 2.Le réelθdécrit l’intervalle [0 ; 2π], soitMle point du cercle de centre O et de rayon 5, de coordonnées (5cosθ; 5sinθ). π Nest l’image deM.par la rotation de centre O et d’angle 2 Au pointMon associe le pointRde la conique (E) qui a même abscisse queM et dont l’ordonnée a même signe que celle deM. Puis, au pointNon associe le pointSde la conique (E) qui a même abscisse queNet dont l’ordonnée a même signe que celle deN. a.Donner les coordonnées deN,RetS. 2 2 b.Vérifier que OR+OS=41. c.Calculer l’aire du triangle ORS.

P R O B L È M E PARTIE A

1.On considère la fonction numériquegdéfinie sur ]0;+∞[par :

12 points

2 2 g(x)=1+x−2xlnx. a.Dresser le tableau des variations deg. b.Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueλtelle que 1,89<λ<1, 90. c.Déduire de ce qui précède le signe deg(x). 2.On considère la fonction numériquefdéfinie sur ]0;+∞[ par : = lnx f(x)=. 2 1+x a.Dresser le tableau des variations def. b.Vérifier que 1 f(λ)=. 2 2λ −3 En déduire un encadrement def(λ) d’amplitude 2∙10 . c.Tracer la représentation graphique defdans un plan rapporté à un re père orthogonal en adoptant 2 cm pour unité sur l’axe des abscisses et 20 cm pour unité sur l’axe des ordonnées.

PARTIE B On considère la fonction numériqueFdéfinie sur ]0 ;+∞[ par Z x F(x)=f(t) dt. 1

Métropole groupe 1

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juin 1993

Baccalauréat C

′ 1.Montrer queFest dérivable sur ]0 ;+∞[ et préciserF(x). En déduire le sens de variation deF. 2. a.Vérifier que pourt > 1 on a : lntlnt 6 f(t) 6 . 2 2 (1+t)t b.Pourx>0 on pose : Z Z x x lnt 2 I(x)=dtetJ(x)=lnt(1+t) dt. 2 1 t 1 À l’aide d’une intégration par parties, calculerI(x). À l’aide d’une intégration par parties et de l’égalité : 1 11 = −pourt>0, calculerJ(x). t(1+t)t1+t c.Déduire de ce qui précède que, pourx>1, on a : xlnxlnx1 ln 2+ln− 6 F(x) 6 1− −. x+1x+1x x d.limOn admet queF(x)=ℓ. x→+∞ Sans calculerℓ, vérifier que, ln2 6 ℓ 6 1. 3.SoitGla fonction numérique définie sur ]0 ;+∞[ par : µ ¶ 1 G(x)=F−F(x). x ′ a.CalculerG(x) pourx>0. b.Vérifier que pour toutx>0,G(x)=0. c.Déduire de ce qui précède la limite deFen 0.

Métropole groupe 1

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A. P. M. E. P.

juin 1993