Baccalauréat C Métropole groupe 3 1 juin 1991

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 3 1 juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . À tout point M du plan affixe z, z 6= 0, on associe le point M ? d'affixe z ? = 12 ( z + 1 z ) 1. On pose z = x + iy où x et y sont des réels. a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle x? et la partie imaginaire y ? de z ?. b. Déterminer l'ensemble E des points M tels que M ? appartienne à l'axe réel. 2. On suppose que M décrit le cercle de centre O et de rayon 2. On écrit alors z sous la forme z = 2eit , t ? [0 ; 2pi]. a. Exprimer x? et y ? en fonction de t . b. En déduire que M ? décrit une conique C dont on déterminera le centre et les sommets. EXERCICE 2 5 points Dans le plan orienté on considère un carré ABCD de centre O tel que (???DA ,???DC ) = pi 2 . Soit E le milieu du segment [CD]. On considère alors le carré DEFG de centre O? tel que (???DE ,???DG ) = pi 2 .

• placer ?? sur la figure


• plan orienté


• figure soignée avec ab


• méthode d'approximation de ?


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C Métropole groupe 3juin 1991\

E X E R C IC E points1 4 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v. À tout point ′ Mdu plan affixez,z6=0, on associe le pointMd’affixe µ ¶ 1 1 ′ z=z+ 2z

1.On posez=x+iyoùxetysont des réels. ′ ′ a.Exprimer en fonction dexetyla partie réellexet la partie imaginairey ′ dez. ′ b.Déterminer l’ensemble E des pointsMtels queMappartienne à l’axe réel. 2.On suppose queMdécrit le cercle de centre O et de rayon 2. On écrit alorsz sous la forme

it z=2e ,t∈[0 ; 2π]. ′ ′ a.Exprimerxetyen fonction det. ′ b.En déduire queMdécrit une coniqueCdont on déterminera le centre et les sommets.

E X E R C IC E points2 5 ³ ´ −→−→ π Dans le plan orienté on considère un carré ABCD de centre O tel queDA , DC=. 2 ′ Soit E le milieu du segment [CD]. On considère alors le carré DEFG de centre Otel ³ ´ −−→−→ π que DE, DG=. 2 1.Faire une figure soignée avec AB = 6 cm. 2.Soitsla similitude directe de centre D qui transforme A en B. a.Déterminer les éléments caractéristiques des. Préciser l’image de E pars. ³ ´ −→−→ En déduire l’angleAE , BF. b.On noteΓle cercle circonscrit au carré ABCD et I le point d’intersection des droites (AE) et (BF). PlacerΓet I sur la figure. Montrer que I appartient àΓ. c.Montrer que les droites (ID) et (BF) sont orthogonales. ′ 3.SoitΓle cercle circonscrit au carré DEFG. ′ PlacerΓsur la figure. ′ Montrer que I appartient àΓ. 4.Établir que les points C, G et I sont alignés. 1. Besançon,Dijon, Grenoble, Lyon, NancyMetz, Reims, Str asbourg

Baccalauréat C

P R O B L È M E

A 1.Déterminer les solutionshsurRde l’équation différentielle (E) :

′′ ′ y+4y+4y=0.

2.On considère l’équation différentielle (F)

′′ ′ y+4y+4y= −4x.

A. P. M. E. P.

11 points

a.Déterminer les nombres réelsaetbtels que la fonctionϕ:x→−7a x+b soit solution de (F). b.Montrer qu’une fonctionfest solution de (F) si, et seulement si,f−ϕ est solution de (E). c.En déduire toutes les solutions de (F). d.Donner la solutionfde (F) qui vérifie

′ f(0)=2 etf(0)= −2. B Soitfla fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : −2x−2x f(x)=xe+e+1−x. On appelleCla courbe représentative def. On se propose d’étudier cette fonction ainsi que l’équationf(x)=0. ′ 1. a.Calculer la fonctionfdérivée def. ′ Dresser le tableau de variations defsur [0 ;+∞[. ′ Indiquer la limite defen+∞. ′ En déduire le signe defsur [0 ;+∞[. b.Dresser le tableau de variations defsur [0 ;+∞[. Indiquer la limite def en+∞. c.Montrer queCadmet une asymptotedque l’on déterminera. ConstruiredetC, sur un même graphique. 2. a.Établir que l’équationf(x)=0 admet sur [0 ;+∞[ une solution et une seule. On noteαcette solution. b.Justifier l’encadrement : 1 6 α 6 2. C On se propose d’étudier une méthode d’approximation deα. On observe pour cela queαest l’unique solution de l’équationg(x)=xoùgest la fonction définie sur l’intervalle J = [1 ;+∞[ par : −2x−2x g(x)=xe+e+1. 1.Étudier les variations degsur J. On ne demande pas de construire sa courbe représentative. En déduire que pour tout élémentxde J,g(x) appartient encore à J.

Métropole groupe 3

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Baccalauréat C

2.Montrer que pour toutxde J, on a :

3 ′ ¯ ¯ g(x) 6 . 2 e En déduire que pour toutxde J, on a :

3 |g(x)−α| 6 |x−α|. 2 e 3.Soit (u n ) la suite d’éléments de J définie par

A. P. M. E. P.

u 0 =1 etu n+1 =g ( u n ) , pour tout entiern, positif ou nul. a.Montrer que pour tout entiernpositif ou nul on a : 3 | u n+1 −α | 6 | u n −α | . 2 e b.En déduire que pour tout entiern, positif ou nul, on a : µ ¶ n 3 | u n −α | 6 . 2 e c.Déterminer la limite de la suite (u n ). ¯ ¯ −3 d.Déterminer un indiceppour lequel on est sûr d’avoiru p −α 6 10 . Calculeru p à l’aide de votre calculatrice (on donnera la partie entière et les trois premières décimales).

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