Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1991

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On note A le point d'affixe 2. Soit ? l'application de P vers P qui à tout point M d'affixe z associe le point M ? = ?(M) d'affixe z ? défini par : z ? = 3+ ip3 4 z+ 1?ip3 2 . 1. Déterminer : a. l'affixe de l'image ?(A) du point A, b. l'affixe du point P tel que ?(P)= 0. 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de ? (on pourra utiliser les résultats de la question 1.) 3. Lorsque le point M est distinct du point A : a. démontrer que le triangle AMM ?, où M ? =?(M), est rectangle en M ?. b. Le point M et le milieu du segment [AM] étant donné, en déduire une construction au compas du point M ?. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? ) . Soit (C ) la courbe dont une représentation paramétrique est : { x = 2et +e?t y = 2et ?e?t où le réel t décrit R.

• affixe de l'image ?


• unique solution de l'équation ?


• coordonnées des points d'intersection de la courbe


• courbe


• intervalle contenu

Sujets

• Courbe

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C Métropole groupe 4juin 1991\

E X E R C IC E 1 4points Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexePO,est rapporté à un repère orthonormal directu,v. On note A le point d’affixe 2. ′ Soitϕl’application dePversPqui à tout pointMd’affixezassocie le pointM= ′ ϕ(M) d’affixezdéfini par :

′ 3+1 i3i 3 ′ z=z+. 4 2 1.Déterminer : a.l’affixe de l’imageϕ(A) du point A, b.l’affixe du point P tel queϕ(P)=0. 2.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques deϕ(on pourra utiliser les résultats de la question 1.) 3.Lorsque le pointMest distinct du point A : ′ ′′ a.démontrer que le triangle AM M, oùM=ϕ(M), est rectangle enM. b.Le pointMet le milieu du segment [AM] étant donné, en déduire une ′ construction au compas du pointM.

E X E R C IC E points2 4 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,(. SoitC) la courbe dont une représentation paramétrique est : ½ t−t x=2e+e où le réeltdécritR. t−t y=2e−e 1.SoitM(a;b) un point de (C). −→ a.Donner, en fonction deaetbles coordonnées du vecteur directeurude la tangente enMà (C). b.SoitNle point de coordonnées (b;a) etTle point défini par : −−→−→−−−→ OT=OM+ON. Montrer que la droite (M T) est la tangente enMà (C). 2. a.Montrer que la courbe (C) est contenue dans l’hyperbole (H) d’équa 2 2 tion :x−y=8. b.Tracer l’hyperbole (H) et préciser ses éléments caractéristiques suivants : centre, sommets, foyers, asymptotes.

P R O B L È M E ∗ ILa fonctionfest définie surRpar : + 1 f(x)=x−2+lnx. 2 1. AixMarseille,Montpellier, Nice–Corse, Toulouse

12 points

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

1. a.Calculer les limites defaux limites de l’ensemble de définition. b.Étudier le sens de variations def(on nne demande pas de représenta tion graphique). ∗ 2. a.Montrer que l’équationf(x)=0 admet dansRune solution uniqueℓet + queℓ∈]1 ; 2[. ∗ b.Étudier le signe def(x) lorsquexdécritR. +

II.On se propose, dans cette partie, de calculer une valeur approcheée deℓà −2 10 près. a.Soitϕla fonction numérique définie sur l’intervalle [1 ; 2] par : 1 ϕ(x)=2−lnx. 2 i. Étudierles variations deϕ. Prouver que l’image parϕde l’intervalle [1 ; 2] est un intervalle contenu dans [1 ; 2]. ii. Montrerqueℓest l’unique solution de l’équationϕ(x)=x. b.On considère alors la suiteUdéfinie surNpar : ½ U 0 =1 U n+1 =ϕ ( U n ) pour tout entiern i. Démontrerque, pour tout entiernon a : 1 6 U n 6 2. 1 ′ ii. Montrerque, pour tout réelxde [1 ; 2], on a : |ϕ(x)| 6 . 2 iii. Enutilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout entiern,U n+1 −ℓ 6 | U n −ℓ | . iv. Montrerque la suiteUconverge versℓ. el qusoit une valeur app v. Déterminerun entiern 0 t eU n 0 rochée à −2−2 10 prèsdeℓ. Donner un encadrement deU n d’amplitude 10.

IIILa fonctiongest définie sur [0 ; 1] par : ( g(0)=0 7 2 1 2 g(x)= −x+x−xlnxpour tout réelxtel que 0<x<1. 4 8 a.Étudier la dérivabilité degen 0. ′ ′ b.Soitgla dérivée de la fonctiong. Calculerg(x) pourx6=0, puis vérifier que : µ ¶ 1 ′ g(x)=x fpour tout réelxtel que 0<x 6 1. x ′ c.En déduire le signe deg(x) lorsquexdécrit ]0 ; 1]. Dresser le tableau de variations de la fonctiong.

IVDans cette partie l’objectif est le tracé de la courbe représentative (C) de la fonc ³ ´ −→−→ tiongO,, dans un plan muni du repère orthonormalı,: unité graphique : 10 cm. 1. a.Montrer qu’une équation de la tangente (D) à la courbe (C) représenta tive de la fonctiongen son point d’abscisse 0 esty=x.

Métropole groupe 4

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

b.Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe (C) et de la droite (D). c.Étudier la position relative de (C) et de (D). h i 7 − 2 d.Soitα0 ;e par:la fonction définie sur

α(x)=g(x)−x.

Étudier le sens de variations de la fonctionαet en déduire que pour tout h i 7 − réelxa :e on0 ;de l’intervalle 2

−5 0 6 α(x) 6 5∙10 . Sachant que l’épaisseur d’un trait de crayon est de l’ordre du dixième h i 7 − 2 de millimètre, estil possible de distinguer, sur l’intervalle0 ;e la courbe (C) de la droite (D) ? 2.Soit (Γ) la courbe représentative de la fonctionβdéfinie sur [0 ; 1] par : 7 2 β(x)= −x+x. 8 a.Montrer que la droite (D) est la tangente à la courbe (Γ) en son point d’abscisse 0. b.Étudier la position relative de (C) et de (Γ). c.Tracer, sur un même graphique, la droite (D) et les courbes (Γ) et (C).

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