Baccalauréat C Nantes septembre 1975

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Nantes septembre 1975 \ EXERCICE 1 Soit Z /15Z l'ensemble des nombres entiers modulo 15 dont on désignera les élé- ments par 0, 1, . . . ,14. Résoudre dans Z /15Z 1. l'équation 5x = 0 ; 2. l'équation 3x = 0 ; 3. le système { 8x +2y = 11 3x +2y = 11 EXERCICE 2 1. Soit n un nombre entier positif. Démontrer que 1 xn e? 1x a une limite nulle quand x tend vers zéro avec x > 0. (On fera le changement de variable défini par x = 1 nt ) . 2. Soit f la fonction numérique définie sur R par { f (0) = 0 f (x) = 1 x3 e? 1|x| , ?x, x ?R?? Cette fonction est-elle continue en tout point de R ? Est-elle dérivable en tout point de R ? (Pour la dérivabilité à l'origine, on étu- diera f (x) quand x tend vers zéro). Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'axes x?Ox, y ?Oy . 3. Soit m un nombre réel, m > 1.

• dérivée de e?


• rotations vectorielles


• axe des abscisses x?ox


• détermination ? de l'angle de rotation


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1975
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Nantes septembre 1975\

E X E R C IC E 1 SoitZ/15Zes élél’ensemble des nombres entiers modulo 15 dont on désignera l ments par 0, 1, .. . , 14. Résoudre dansZ/15Z 1.l’équation 5x=0 ; 2.l’équation 3x=0 ; 3.le système ½ 8x+2y=11 3x+2y=11

E X E R C IC E 2 1.Soitnun nombre entier positif. 1 1 − Démontrer quee aune limite nulle quandxtend vers zéro avecx> x n x ¶ 1 0. (Onfera le changement de variable défini parx=. n t 2.Soitfla fonction numérique définie surRpar ( f(0)=0 1 1 − ⋆ |x| f(x)=e ,∀x,x∈R∗ 3 x Cette fonction estelle continue en tout point deR? Estelle dérivable en tout point deR? (Pour la dérivabilité à l’origine, on étu dieraf(x) quandxtend vers zéro). Étudier les variations defet construire sa courbe représentative (C) dans le ′ ′ plan rapporté à un repère orthonormé d’axesxOx,yOy. 3.Soitmun nombre réel,m>1. Calculer l’aireA(m) de la partie du plan limitée par la Courbe (C), l’ axe des 1 ′ abscissesxOxet les droites d’équationx=etx=m: on calculera d’abord m 1 − la dérivée de e(x6=0), puis on fera une intégration par parties. Déterminer x la limite deA(m) quandmtend vers+∞.

P R O B L È M E N.B. : Les deux parties de ce problème sont indépendantes. Partie A ³ ´ −→−→ On désigne parPun plan vectoriel euclidien orienté dontu,vest une base or thonormée directe, et on considère l’endomorphismefdePdéfini par sa matrice ³ ´ −→−→ M f f relativement à la baseu,v: µ ¶ a3−a+b M f = a+b a3 oùaetbsont deux paramètres réels.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

1.À quelle condition nécessaire et suffisante l’applicationfestelle bijective ? 2.Déterminer, suivant les valeurs deaetb, le noyau Kerfet l’image Imfde cet endomorphisme. 3.Démontrer que l’ensemble des vecteurs dePinvariants parfest une droite vectorielleDsi, et seulement si, les paramètresaetbvérifient la relation p 2 2 (1) 4a−2a3+1−b=0. 4.Déterminer les couples (a;b) vérifiant la relation (1) et tels quefne soit pas une bijection. Pour chacun de ces couples (a;b), préciser le noyau et l’image defainsi que la droite vectorielleDdes vecteurs invariants parfpuis, en déduire la nature de l’endomorphismef. 5.Dans cette question on supposeb=0 eta6=0. Établir quefest alors le produit d’une rotation vectorielle et d’une homothé tie de rapport positif. (On précisera, suivant la valeur dea, le rapportkde l’homothétie et une déterminationθde l’angle de rotation). Partie B ³ ´ −→−→ Soit P le plan affine euclidien orienté dontO,u,vest un repère orthonormé di rect. On rappelle que l’application deCdans P qui, à tout nombre complexezde com ¡ ¢ 2 posantesxetypar rapport à la base (1, i) deCi= −1 ,associe le pointMde coor ³ ´ −→−→ donnéesxetypar rapport au repèreO,u,vde P, est une bijection ;zest appelé l’affixe deMetMest le point image dez. On rappelle aussi que, à toute applicationtdeCdansC, on peut associer l’applica tionTde P dans P telle que, sizest l’affixe demetZl’affixe deM, on ait

T(m)=M⇐⇒t(z)=Z. Enfin on noterazle conjugué de nombre complexez.

1.On désigne parsl’application deCdansCdéfinie par ³ ´ p Z=s(z)=a3+iz

pour toutz∈C,aétant un paramètre réel non nul. SoitSl’application de P dans P associée às. a.Étudier, suivant la valeur du paramètre réela, la nature deSet préciser ses éléments. −1 b.Déterminer, si elle existe, l’applicationt. c.Déterminer et construire l’ensembleCdes points du plan dont l’affixez vérifie la relation ¡ ¢ z z+iz−z−3=0. ′ On désigne parCl’ensemble des images des points deCpar l’applica ′ tionS. Écrire la relation qui lie les affixes des points deCet construire ′ Cpoura=2. 2.On considère l’applicationϕdeCdansCdéfinie par

Z=ϕ(z)=ib z pour toutz∈C, oùbest un paramètre réel non nul. SoitΦl’application de P dans P associée àϕ.

Nantes

2

septembre 1975

Baccalauréat C

Nantes

A. P. M. E. P.

a.Étudier, suivant les valeurs deb, la nature deΦ. b.Déterminer et construire l’ensembleΓdes points du plan dont l’affixez vérifie la relation ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 z+z−4z−z=64. ′ En choisissantb=2, déterminer et construire l’ensembleΓdes images des points deΓpar l’applicationΦ.

3

septembre 1975