Baccalauréat C Paris septembre 1983

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Paris septembre 1983 \ EXERCICE 1 Soit E l'espace rapporté à un repère ( O, ??ı , ??? , ??k ) ; on appelle P le plan vectoriel de base ( i , j ) et D et Ll les droites de E définies par les équations : D : { x = 1 y = ∆ : { x = 2+ y z = 1? y On appelle f la projection Sur D de direction ??P et g la projection sur ∆ de direction ??P . Soit h l'application de E dans E qui à tout point M associe le point M1 barycentre des points M ? = f (M) et M ?? = g (M) affectés respectivement des coefficients ? et 1??,? ?R. 1. Exprimer les coordonnées de M ? et M ?? en fonction de celles de M . 2. Déterminer la nature de h et préciser ses éléments caractéristiques. EXERCICE 2 Soit un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) ; à tout point M de Coor- données (x ; y) on associe son affixe z = x+ iy . On donne trois points A, B, C d'affixes respectives a, b, c non nulles et trois points P, Q, R d'affixes respectives p = |a| a , q = |b| b , r = |c| c 1.

• réelle positive


• projection sur ∆ de direction ??p


• t2e?kt dt


• orthocentre du triangle pqr


• plan vectoriel de base


• unique réel

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1983
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Paris septembre 1983\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ −→ Soit E l’espace rapporté à un repèreO,ı,,k; on appelle P le plan vectoriel de base ( i , j ) et D et Ll les droites de E définies par les équations: ½ ½ x=1x=2+y D :Δ: y=z=1−y −→ On appellefla projection Sur D de directionP etgla projection surΔde direction −→ P . Soithl’application de E dans E qui à tout pointMassocie le pointM 1 barycentre ′ ′′ des pointsM=f(M) etM=g(M) affectés respectivement des coefficientsλet 1−λ,λ∈R. ′ ′′ 1.Exprimer les coordonnées deMetMen fonction de celles deM. 2.Déterminer la nature dehet préciser ses éléments caractéristiques.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Soit un plan rapporté à un repère orthonorméO,u,v; à tout pointMde Coor données (x;y) on associe son affixez=x+iy. On donne trois points A, B, C d’affixes respectivesa,b,cnon nulles et trois points P, Q, R d’affixes respectives

|a| |b| |c| p=,q=,r= a bc −−→−−−→→−→ 1.Soit H le point défini par OH=OP+OQ+OR .

a.Montrer que H est l’orthocentre du triangle PQR. b.Montrer que le triangle PQR est équilatéral si, et seulement si,p+q+r= 0.

2.On suppose dans cette question quep+q+r=0. a.Montrer que pour tout pointMd’affixezon a

|z−a| + |z−b| + |z−c| > |a| + |b| + |c|

b.En déduire qu’il existe un pointMtel queMA +MB +MC soit minimum.

P R O B L È M E

Partie A 1.mest un nombre réel donné. Déterminer le nombre de solutions de l’équa tion : ½ x∈R ( E m ) x e (2−x)=m

Terminale C

A. P. M. E. P.

2.On considère la fonctionf, définie surRpar :   f(0)=0 2 x  f(x)=six6=0 x e−1 a.Montrer quefest dérivable. On étudiera soigneusement la dérivabilité defen 0, où on précisera le nombre dérivé. b.Quelle est la fonction dérivée def? Montrer qu’il existe un unique réela ′ tel quef(a)=0. Montrer quef(a)=a(2−a). Montrer quea∈]1, 59 ;1, 6[. c.Étudier les variations def. Construire la courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère orthonormé (on prendra 2 cm pour unité). 3.On pose, pour tout réel positifx Z Z x x 2−t F(x)=f(t) dtetG(x)=te dt 0 0 a.Estce légitime ? ⋆ On a ainsi défini deux applications deRdansR, notéesFetG. b.CalculerG(x). Montrer queGadmet une limite en+∞et calculer cette limite. On ne cherchera en aucune manière à calculerF(x). c.Prouver qu’il existe un réelhtel que : ¡ ¢ 2−t (∀t)t∈]h;+∞[⇒f(t) 6 2te . En déduire queFest une fonction bornée. Montrer queFest une fonction croissante. On admet que les résultats des questions 3. d et 3. e permettent de conclure que Fadmet une limite en+∞. Cette limite est notéeL. Le but de la partie B est d’obtenir, son existence étant admise, une valeur approchée deL. Partie B 1. a.Montrer que pour tout entier naturel non nulket pour tout réel non nul xon a −k x 1 e −x−2x−(k−1)x−k x =e+e+ ∙ ∙ ∙ +e+e+. x x e−1 e−1 b.Montrer que pour tout entier naturel non nulket pour tout réel positifx on a Z x a(2−a) −k t 0 6 f(t)e dt 6 . 0 − − −k c.En intégrant par parties, calculer,kétant un entier naturel non nul etx un réel positif donnés, l’intégrale : Z x 2−k t I k (x)=te dt 0 dont on justifiera l’existence. d.Montrer que la fonctionI k définie cidessus admet une limite en+∞. Calculer cette limite.

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Terminale C

A. P. M. E. P.

2. a.Montrer que pour tout réel positifxon a Z p=k x X −k t f(t)e dt=F(x)−I p (x) 0 p=1 En déduire que la fonction qui à tout réel positifxassocie l’intégrale Z x −k t f(t)e dta une limite en+∞. On noteraℓ k cette limite. 0 b.Montrer que pour tout entier naturel non nulkon a µ ¶ 1 11 L−I k =2 1+ + +∙ ∙ ∙ + 3 33 2 3k c.En utilisant la majoration obtenue au B 1. b, montrer que la suite (I ) ⋆ k k ∈N est convergente. d.Montrer que la suite (u k ) determe général : ⋆ k∈N 1 11 u=1∙ ∙ ∙ ++ + + k 3 33 2 3k ′ ′ est convergente et a pour limite le réel Ltel que L = 2L . 3. a.Trouver une condition, portant sur l’entier naturelk, suffisante pour que I k 6 0, 1. b.3En déduire 2, 6 L 6 2, 5.

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