Baccalauréat C Polynésie française

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Polynésie française \ juin 1982 EXERCICE 1 4 points 1. Résoudre dans Z : 493?+10 ? 2 modulo5. 2. Soit N = xyzt un entier naturel écrit dans le système décimal, x étant non nul. Déterminer ce nombre sachant que les restes de la division de N par 17 et par 29 sont égaux à 10, et que les restes de la division deN par 5 et par 9 sont égaux à 2. EXERCICE 2 4 points Soit f la fonction définie par f (x)= 3e x +5 ex +2 . 1. Étudier f . 2. Montrer que f est bijective et déterminer sa fonction réciproque f ?1. 3. Onconsidère le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) (unité : 2 cm). Calculer l'aire du domaine D limité par les droites d'équations x = 1, x = 3, y = 5 2 et la courbe C d'équation y = f (x). PROBLÈME 12 points Partie A 1. Pour tout (a,b) de R2 on pose M(a, b)= ( a b ?5b a+2b ) On considère l'ensemble M des matrices M(a, b) où (a, b) appartient à R2.

• multiplication des matrices


• endomorphisme de matrice ?


• repère en fonc- tion


• repère


• a5 dans le plan rapporté au repère


• isobarycentre des points a0

Sujets

• Produit matriciel
• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Polynésie française\ juin 1982

E X E R C IC E 1 1.Résoudre dansZ:

4 points

493λ+10≡5.2 modulo 2.SoitN=x y z tun entier naturel écrit dans le système décimal,xétant non nul. Déterminer ce nombre sachant que les restes de la division deNpar 17 et par 29 sont égaux à 10, et que les restes de la division deNpar 5 et par 9 sont égaux à 2.

E X E R C IC E points2 4 Soitfla fonction définie par x 3e+5 f(x)=. x e+2 1.Étudierf. −1 2.Montrer quefest bijective et déterminer sa fonction réciproquef. ³ ´ −→−→ 3.On considère le plan affine euclidien rapporté au repère orthonorméO,ı, (unité : 2 cm). Calculer l’aire du domaine D limité par les droites d’équationsx=1,x=3,y= 5 et la courbeCd’équationy=f(x). 2

P R O B L È M E

12 points

Partie A 2 1.Pour tout (a,b) deRon pose µ ¶ a b M(a,b)= −5b a+2b 2 On considère l’ensembleMdes matricesM(a,b) où (a,b) appartient àR. a.Montrer que, muni de l’addition et de la multiplication par un réel,M est un espace vectoriel surR. En déterminer une base. Quelle est la di mension deM? b.Montrer que, muni de l’addition et de la multiplication des matrices,M a une structure de corps commutatif. 2. a.Montrer que (1, 1+2i) est une base deC, espace vectoriel de dimension 2 sur IR. En déduire que tout nombre complexe peut se mettre de façon unique sous la forme a + b (1 + 21). b.À tout nombre complexezs’écrivanta+b(1+2i) on associe la matrice M(a,b) que l’on noteraϕ(z). Montrer que l’applicationϕdeCdansMainsi définie est un isomor phisme deCmuni de l’addition dansMmuni de l’addition.

Terminale C

A. P. M. E. P.

c.Montrer que l’on a aussi ¡ ¢¡ ¢ ′2′ ′ (∀(z,z)∈C,ϕz,z=ϕ(z)ϕz. Quelle conclusion peuton en tirer ? 3. a.Montrer que  p  à ! 31 3 − 1 3  2 44  ϕ+i = p   2 2 5 31 3 − +. 4 24 ⋆ b.De façon générale montrer que pour toutndansN   " Ã!# nπ1nπ1nπ n cos−sin sin 1 3  33 23 2  ϕ+i=   2 2 5nπnπ1nπ −sin cos+sin 2 33 23 Partie B SoitEun espace affine euclidien d’espace vectoriel associé E rapporté au repère ³ ´ −→−→ orthonormé O;e 1 ,e 2 . SoitΨl’application affine deEdansEqui laisse O invariant et qui a pour endomor à ! p 1 3 phisme associé l’endomorphisme de matriceϕ+i . 2 2 ³ ´ −→−→ Soit A 0 O ;le point de coordonnées (1 ; 1) dans le repèreǫ 1 ,ǫ 2 . ¡ ¢ ⋆ On considère la suite de points A 1 =Ψ(A 0 ), et∀n∈N, A n =Ψ(A n−1 ). 1.Déterminer les coordonnéesx n ety n du point A n . 2.Montrer que les suitesx n ety n sont périodiques. 3.Déterminer l’isobarycentre des points A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 . Partie C On considère dansEl’application affinegdéfinie par ( ′ x=x x−y ′ y=‘ 2 On désigne par F son endomorphisme associé. ³ ´ −→−→−→ 1.Pour tout réelλon appelle E λ l’ensemble des vecteursutels que Fu=λu. Montrer que E λ est un espace vectoriel surR. 2.Montrer qu’il existe deux valeurs distinctesλ 1 etλ 2 deλpour lesquelles E λ n’est pas réduit à {0}. Déterminer une base de Eet une base de E. λ 1 λ 2 ³ ´ −→ −→−→ −→−→ 3. a.On considèreU=3ǫ 1 =ǫ 2 etV=ǫ 2 . Montrer queU,Vest une base de E. Estelle orthonormée ? ³ ´ −→−→ b.Quelle est la matrice de F dans la baseU,V? ³ ´ −→−→ c.Si un pointMa pour coordonnées (X;YO ;) dans le repèreU,V, ex ¡ ¢ ′ ′ primer les coordonnéesX;Ydeg(M) dans ce même repère en fonc tion de (X;Y). −→ 4.Soitpla projection affine sur la droite passant par O de vecteur directeurU, −→ de direction la droite vectorielle engendrée parV. −−−−−−−−→ 1 −−−−−→ Montrer que (∀M∈E),p(M)g(M)= −p(M)M. 2 En déduire la construction deg(M) connaissantM, la construction deMconnais santg(M).

Polynésie française

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juin 1982

Terminale C

A. P. M. E. P.

5.Représenter les pointsg(A 0 ) ,g(A 1 ) ,∙ ∙ ∙g(A 5 ) puis les points A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , ³ ´ −→−→ A 4 , A 5 dans le plan rapporté au repèreO ;ǫ 1 ,ǫ 2 .

Polynésie française

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juin 1982