Baccalauréat C Polynésie juin 1991

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Polynésie juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x)= sinpix. 1. a. Tracer la courbe représentative C de f (unité graphique 8 cm). b. Calculer : I = ∫1 0 sinpix dx. c. Interpréter graphiquement cette intégrale. 2. Pour tout entier naturel n > 2, on pose : Sn = n [ f (0)+ f ( 1 n ) + f ( 2 n ) +·· ·+ f (n?1 n )] a. Interpréter graphiquement Sn en introduisant les rectangles Rk de base [k n ; k+1 n ] et de hauteur k n où 06 k 6 n?1. Faire la figure lorsque n = 8. b. Prouver que : 1+e ipin +e 2ipin +·· ·+e (n?1)ipin = 2 1?e ipin . c. En déduire que : sin pi n + sin 2pi n +·· ·+ sin (n?1)pi n = cos pi2n sin pi2n . d. Prouver finalement que : lim n?+∞ Sn = 2 pi . 3.

• triangle rectangle


• représentation paramétrique de la cardioïde


• axe des ordonnées


• construction point par point de ?


• repère orthonormal d'origine


• rectangles rk de base


• vecteur de coordonnées

Sujets

• Triangle rectangle
• Coordonnées cartésiennes

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1991
• Nombre de lectures: 85
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Polynésie juin 1991\

E X E R C IC E 1 Soitfla fonction définie sur [0 ; 1] par :

4 points

f(x)=sinπx. 1. a.Tracer la courbe représentativeCdef(unité graphique 8 cm). b.Calculer : Z 1 I=sinπxdx. 0 c.Interpréter graphiquement cette intégrale. 2.Pour tout entier natureln > 2, on pose : · µ¶ µ¶ µ¶¸ 1 2n−1 S n =f(0)+f+f+ ∙ ∙ ∙ +f n nn n a.Interpréter graphiquementS n en introduisant les rectanglesR k de base · ¸ k k+1k ; etde hauteuroù 0 6 k 6 n−1. Faire la figure lorsquen=8. n nn b.Prouver que : 2 iπ2iπ n−1 iπ n nn 1+e+e+ ∙ ∙ ∙ +e=. iπ n 1−e c.En déduire que : π π2π(n−1)π cos 2n sin+sin+ ∙ ∙ ∙ +sin=. π n nnsin 2n d.Prouver finalement que :

2 limS n =. n→+∞ π 3.Comparer les résultats des questions 1. et 2. et interpréter graphiquement.

E X E R C IC E 2 5points ³ ´ −→−→ Dans un plan orienté, on considère un triangle rectangle ABC tel que l’angleCA ,CB π mesure+. 2 La hauteur issue de C coupe (BA) en H et coupe la parallèle à (BC) menée par A en D. On pose CA=bet BC=a.

1.Soitsla similitude directe transformant C en A et B en C. a.Déterminer son rapport en fonction deaetbet calculer son angle. b.En utilisant cet angle, démontrer que le centre desest le point H. c.Quelle est l’image de A pars? 2 2.En utilisant s, démontrer l’égalité : HC= HA×HB.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

3.Soit I le milieu de [BC], J le milieu de [CA] et K le milieu de [AD]. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en J et que dans ce triangle H est le pied de la hauteur issue de J.

P R O B L È M E

A. Une représentation paramétrique de la cardioïde

11 points

Dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’origine 0, on se propose d’étudier la courbeΓdécrite par le point P d’affixe

iθ z=(1+co sθ)e

pourθdans [−π;π].

1.Déterminer la partie réellef(θ) et la partie imaginaireg(θ) dez. Étudier la parité des fonctionsfetg, en déduire que la courbeΓadmet un axe de symétrie que l’on précisera. On appelleraΓ 1 la partie deΓqui correspond à 0 6 θ 6 π. ′ ′ 2.fetgétant les dérivées defetg, montrer que

′ f(θ)= −sinθ(1+2 cosθ) ′ g(θ)=cos 2θ+cosθ. ¡ ¢ −→ ′ ′ 3.Soittle vecteur de coordonnéesf(θ) ;g(θ) . −→ a.Montrer quetest un vecteur directeur de la tangente en P àΓ 1 , sauf pour une valeur deθque l’on précisera. b.L’arcΓ 1 coupe l’axe des ordonnées en un point I autre que O. Calculer l’ordonnée de I et déterminer la tangente àΓen I. −→ c.Déterminer les points de l’arcΓ 1 pour lesquels le vecteurtdirige un des axes de coordonnées. π 4.On suppose ici queθvérifie :<θ<π. 2 Soitαle coefficient directeur de la droite (OP). Montrer que :α=tanθ. En déduire la tangente en O àΓ. 5.Déduire des questions précédentes le tableau de variations coordonnées des fonctionsfetg(θ∈[O;π]). En prenant 4 cm pour unité, construireΓ 1 puisΓ. On placera avec soin les points et les tangentes étudiés cidessus.

B. Cercle de cardioïde

On désigne parCle cercle de diamètre [OA], où A est le point d’affixe 1. iθ 1.SoitMle point d’affixe cosθe .Montrer que le pointMest sur le cercleC quelle que soit la valeur deθréel. 2.On suppose maintenant queMa pour affixe :

iθ z M =cos eavec−π 6 θ 6 π −−→ iθ et on lui associe le pointPtel que le vecteurM Pait pour affixe :z=e . −−→ M P Vérifier que le pointPest sur la courbeΓdéfinie au début du problème. Mon trer que les points 0, M et P sont alignés. Calculer la longueur MP. En déduire une construction point par point deΓ. (On distinguera les cas cosθ>0 et cosθ<0.) Désormais,θest fixé.

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

3.Les pointsMetPétant ceux de la question précédente, on considère la trans −−→ lationtde vecteurM P. ′ Montrer que l’image partdu cercleCest un cercleC. ′ Déterminer son centre et son rayon et montrer queCetCsont tangents au pointTd’affixe :

iθ 1+e z T =. 2 ′ 4.Montrer qu’il existe une symétrie orthogonalesqui transformeCenC. On supposeM6=O, soits 1 la symétrie orthogonale transformant O enM. Justifier que l’on aP=t◦s 1 (O) et en déduire quePest l’image de O pars. −→ 5.On supposeθ6=πle vecteur, montrertdéfini dans la première partie est −→ orthogonal au vecteurT P. Déduire de cette étude une nouvelle construction deΓet de ses tangentes. π Effectuer cette construction dans le cas oùθ=. 4

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