Baccalauréat C Pondichéry juin 1992

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Pondichéry juin 1992 \ EXERCICE 1 4 points Dans le plan orienté P on considère la figure ci-dessous. Les triangles ABC et ACD sont deux triangles équilatéraux directs tels que (???BC , ???BA ) = pi 3 et (???DA ,???DC ) = pi 3 .Les points 0 et I sont les milieux respectifs de [AC] et [AB] et les points L et E sont tels que ???OC =??CL =??LE . bb b b b b b b O A B C D L E I Soit r la rotation de centre A dont l'angle a pour mesure pi3 , et t la translation de vecteur ???OA . On note r ? = r ? t (composée de t et de r ). 1. a. Quelle est l'image de O par r ? ? b. Donner une mesure de l'angle (??IO , ??IA ) ? c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de l'application r ?. 2. M est un point quelconque du plan, on note N = r (M), J le milieu du segment [EM] et K le milieu du segment [ND]. a. Soit P l'antécédent de M par t .

• repère orthonormal


• réel supérieur


• unique solution


• translation de vecteur ???oa


• milieu de segment

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1992
• Nombre de lectures: 20

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatCPondichéryjuin1992\
EXERCICE 1 4points
DansleplanorientéPonconsidèrelafigureci-dessous.
LestrianglesABCetACDsontdeuxtriangleséquilatéraux directs³ ´ ³ ´?! ?! ? ?! ?! ?
telsque BC, BA ? et DA,DC ? .
3 3
Lespoints0etIsontlesmilieuxrespectifsde[AC]et[AB]etlespointsLetEsonttels
?! ?! ?!
queOC ?CL ?LE.
D
O
A
C L E
I
B
?
Soit r la rotation de centre A dont l’angle a pour mesure , et t la translation de
3
?!
vecteurOA.
0Onnoter ?r?t (composéedet etder).
01. a. Quelleestl’imagedeOparr ?
³ ´?! ?!
b. Donnerunemesuredel’angle IO, IA ?
0c. Préciserlanatureetleséléments caractéristiquesdel’applicationr .
2. M estunpointquelconqueduplan,onnoteN?r(M),J lemilieudusegment
[EM]etK lemilieu dusegment[ND].
a. SoitP l’antécédent deM part.Quelestlemilieudusegment[LP]?
b. Montrer,lorsqueI, J etK sontdistincts, queletriangleIJK estéquilaté-
0 0ral.Onpourrautiliserr (L)etr (P).
EXERCICE 2 4points
³ ´!? !?
Leplan(P)estrapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | .
Ondésigne parm unnombreréeletpar(E )l’ensemble despoints M duplan(P),m
decoordonnées(x ; y)vérifiantl’équation:
2 2
(m?1)x ?3my ?2(m?14)x?m?3?0.
1. Déterminer E pourlesvaleursparticulièresm=0etm=1.( )m
2. Pourquellevaleurdem l’ensemble (E )est-iluncercle?Préciserdanscecasm
soncentreetsonrayon.
3. Danscettequestionm estunréelnonnuletdifférentde1.
0SoitO lepointdecoordonnées(?1; 0).
³ ´!? !?
Onnotera(X ; Y)lescoordonnéesdeM danslerepère O, ı , | .
bbbbbbbbTerminaleC A.P.M.E.P.
a. Montrerquel’équationde(E )danscerepèreest:m
2 2(m?1)X ?3mY ?4?0.
b. Endéduireenfonctiondem lanaturede(E ).m
PROBLÈME 12points
PartieA
L’objetdecettepartieestd’étudierlafonction f définiesurl’intervalle]0;?1[par:
lnx
lnx
f(x)? ?x?1.2x
OnappelleC lacourbereprésentativedelafonctionf dansleplanmunid’unrepère³ ´
!? !?
orthonormal O, ı , | dontl’unité vaut2cm.
1. a. Étudiersur]0; ?1[lesensdevariationdelafonctiong définiepar
3g(x)?x ?2lnx?1.
b. Endéduirequeg(x)?0pourtoutx de]0; ?1[.
0 02. a. Calculer f (x),etdémontrerque f (x)etg(x)sontdemêmesigne.
b. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition,
puisconstruiresontableaudevariations.
c. DémontrerqueladroiteDd’équationy?x?1estasymptoteàlacourbe
C.
ÉtudierlapositiondeDparrapportàC.
d. ÉcrireuneéquationdelatangenteTàlacourbeC aupointd’abscisse1.
3. PlacerlesdroitesTetDetconstruirelacourbeC.
PartieB
Soit?unréelsupérieurouégalà1.
1. On appelleA(?)l’aire dela partie duplan comprise entreC,Det les droites
d’équationsx?1etx??.
CalculerA(?).(Onpourrautiliseruneintégrationparparties).
2. DéterminerlalimiteL deA(?)quand?tendvers?1.
3. Montrerquel’équation:
L
A(?)?
2
estéquivalente àl’équation(E)définiepar2ln????2?0.
4. Prouverquel’équation (E)admetuneuniquesolutiona sur[1;?1[.
Vérifierque5?a?6.
PartieC
Cettepartievapermettrededétermineruneapproximationdea.
Pour cela, on introduit la suite (u ) définie par u ? 5 et pour tout n deN, u ?n 0 n?1
'(u ),où'estlafonctiondéfiniesur]0; ?1[par'(x)?2lnx?2.n
1. a. Démontrerquepourtoutn deN, u appartientà[5;6].n
b. Montrerquelasuite(u )estcroissante.n
Pondichéry 2 juin1992TerminaleC A.P.M.E.P.
c. Montrerquelasuite(u )estconvergenteetquesalimiteestégaleàa.n
2. a. Prouverquepourtoutx del’intervalle [5;6]ona:
¯ ¯ 20¯ ¯' (x) 6 .
5
b. Endéduirequepourtoutn deN:
2
ju ?aj6 ju ?aj.n?1 n
5
c. Démontreralorsquepourtoutn deN:
µ ¶n2
ju ?aj6 .n
5
?33. Déterminerunentiern telqueu soitunevaleurapprochéedea à10 près.n
?3Endéduirealorsuneapproximationdea à10 près.
Pondichéry 3 juin1992