Baccalauréat C Sport-études

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Sport-études \ juin 1982 EXERCICE 1 4 points f est la fonction définie sur R par f (0)= 0 et - si x < 0 alors f (x)= e 1x , - si x > 0 alors f (x)= xe x?1 x2 . 1. La fonction f est-elle continue en 0 ? La fonction f est-elle dérivable en 0 ? 2. Étudier les variations de la fonction f . 3. a. Rappeler le résultat de lim x?0 ex ?1 x b. Montrer que la droite d'équation y = x+1 est asymptote à la courbe re- présentative, C de la fonction f . Tracer C dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . EXERCICE 2 4 points 1. Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel, n, le reste de la division eu- clidienne de 3n par 5. 2. Trouver tous les entiers naturels, n, tels que 3n ?n [5]. PROBLÈME 12 points Dans tout le problème, des figures simples pourront suggérer les démonstrations demandées. Partie A 1. E2 est un plan vectoriel euclidien orienté et (?? ı , ??? ) une base orthonormée directe de E2.

• équation en z


• symétries vectorielles


• ?? ?


• base orthonormée directe de e2


• angle


• droite ∆


• points de coordonnées respectives

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Sportétudes\ juin 1982

E X E R C IC E points1 4 fest la fonction définie surRparf(0)=0 et 1 x  six<0 alorsf(x)=e , x−1 2  six>0 alorsf(x)=xe . x 1.La fonctionfestelle continue en 0 ? La fonctionfestelle dérivable en 0 ? 2.Étudier les variations de la fonctionf. x e−1 3. a.Rappeler le résultat de lim x→0 x b.Montrer que la droite d’équationy=x+1 est asymptote à la courbe re présentative,Cde la fonctionf. TracerCdans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé ³ ´ −→−→ O,ı,.

E X E R C IC E 2 4points 1.Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel,n, le reste de la division eu n clidienne de 3par 5. 2.Trouver tous les entiers naturels,n, tels que

n 3≡n[5].

P R O B L È M E 12 points Dans tout le problème, des figures simples pourront suggérer les démonstrations demandées. Partie A ³ ´ −→−→ 1.E 2 est un plan vectoriel euclidien orienté etı,une base orthonormée directe deE 2 . a.D 1 etD 2 sont les droites vectorielles de bases respectives : −→−→−→−→−→ u 1 =ı+etu 2 =. Soits 1 ets 2 les symétries vectorielles orthogonales par rapport, respecti vement, àD 1 etD 2 . Déterminer l’application composéer=s 2 ◦s 1 . −→−→−→ b.D 3 est la droite vectorielle de baseu 3 =ı+4ets 3 la symétrie vecto rielle orthogonale par rapport àD 3 . Montrer ques 3 a pour matrice, dans ³ ´ −→−→ la baseı,, µ ¶ 1 −15 8 . 17 815

Terminale C

A. P. M. E. P.

c.Démontrer l’existence d’une symétrie vectorielle orthogonale unique,s 4 telle que

s 4 ◦s 3 =s 2 ◦s 1 . Donner une base de son axeD 4 . Quel est l’angle des droites vectorielles ( D 3 ,D 4 ) ? ³ ´ −→−→ 2.E 2 est un plan affine euclidien associé àE 2 et O,ı,un repère orthonormè direct de E 2 . ′ ′ Soit A(5 ; 0), B(4 ; 1), A (−3 ; 2), B (−4 ; 1) quatre points de E 2 . a.Montrer qu’il existe un déplacement,f, de E 2 , et un seul, tel que

′ ′ f(A)=A etf(B)=B . Donner sa nature et ses éléments fondamentaux. b.mest le point de coordonnées (0 ;−3) et D la droiteωA,s D est la symé trie orthogonale par rapport à la droite affine D. Montrer qu’il existe une ′ droite D , et une seule, telle que

f=s◦s D . ′ D Faire une figure. π c.Retest la rotation de centre A et dont l’angle a pour mesureTla trans 2 −−→ ′ lation affine de vecteur AA. Montrer que

f=T◦R. ′ ′ Soit B 1 =R(B). Quelle est la nature du quadrilatère AA B B 1 ? ′ d.gest l’antidéplacement tel queget l’endomorphisme associé est(A) = A s 1 deE 2 (défini au 1. a.) Montrer quegest la composée commutative d’une symétrie orthogo −→ nale par rapport à une droiteΔet d’une translation de vecteurvappar −→ tenant à la direction deΔ. PréciserΔetvet vérifier que le milieu I de (A, ′ A ) est surΔ. e.Montrer que les cinq points O, I, A, B,ωsont cocycliques. Partie B ³ ´ −→−→ −→ E 3 est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, rapporté à la baseı,,k orthonormée directe. 1.σ 1 etσ 2 sont les symétries vectorielles orthogonales par rapport aux droites vectorielles de bases respectives −→ −→ −→ −→ u=ı−etk. Montrer que l’applicationσ 3 =σ 2 ◦σ 1 est une rotation vectorielle dont on précisera l’axe et l’angle. 2.σ 4 est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à la droite vectorielle de −→ base. Caractériserρ=σ 4 ◦σ 3 pour cela on étudiera la restriction deρau ³ ´ −→ −→ −→ plan vectoriel de baseı,supposé orienté à l’aide du vecteurk. ³ ´ −→−→ −→ 3.E 3 est un espace affine euclidien associé àE 3 et O,ı,,kun repère or ′ thonormé direct de E 3 sont les points de coordonnées respectives :. C et C (5 ; 0 ; 1) et (−1).2 ;3 ;

Sportétudes

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Terminale C

A. P. M. E. P.

′ ′′ a.Rest l’application affine associée àρ, telle queR(C)=C . Montrer que ′ Rela onest une rotation dont on déterminera l’axe et l’angle; pour c ′ étudiera la restriction deRau plan d’équationz=1. −→ ′ ′′ ′ b.Test la translation affine de vecteur 6k. SoitF=T◦R. Donner la na ′ ture deF, ses éléments caractéristiques, ainsi que l’ensemble des points ′ invariants parF. L est la droite de E 3 d’équations ½ y= −3 z=1 S L est la symétrie orthogonale par rapport à la droite L. Montrer qu’il existe une symétrie orthogonale par rapport à une droite ′ L , à déterminer, telle que

Sportétudes

′ =S ′ F L ◦S L .

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