Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \ septembre 1993 EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité Soit p > 0. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on note F le point de coordonnées ( 0 ; 12p ) et (D) la droite d'équation y =?12 p. On note (P) la parabole de foyer F et de directrice (D). 1. Donner une équation cartésienne de la parabole (P). 2. Soit M un point de (P). On note a et b ses coordonnées et H sa projection or- thogonale sur (D). Montrer que le cercle de centreMpassant par F est tangent enH à la directrice (D). Donner une équation de la tangente en M à (P) ainsi qu'une équation de la médiatrice du segment [FH]. En déduire que ces deux droites sont confondues. 3. Application On considère dans le plan une droite (∆), un point F de (∆) et un point N n'ap- partenant pas à (∆). Montrer qu'il existe deux paraboles (P) et (P?) et deux seulement, de foyer F et d'axe (∆) qui passent par N. On positionnera sur un dessin leur directrice (D) et (D?) par rapport à la droite (∆) et au cercle de centre N passant par F.

• équation cartésienne de la parabole


• lnx ?


• interprétation géométrique des inégalités


• x2 lnx ?


• abscisse du point d'intersection

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1993
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Sportifs de hautniveau\ septembre 1993

E X E R C IC E points1 4 Enseignement de spécialité Soitp>0. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on note F le point de µ ¶ 1 1 coordonnées 0;pet (D) la droite d’équationy= −p. 2 2 On note (P) la parabole de foyer F et de directrice (D). 1.Donner une équation cartésienne de la parabole (P). 2.ection orSoit M un point de (P). On note a et b ses coordonnées et H sa proj thogonale sur (D). Montrer que le cercle de centre M passant par F est tangent en H à la directrice (D). Donner une équation de la tangente en M à (P) ainsi qu’une équation de la médiatrice du segment [FH]. En déduire que ces deux droites sont confondues. 3.Application On considère dans le plan une droite (Δ), un point F de (Δ) et un point N n’ap partenant pas à (Δ). ′ Montrer qu’il existe deux paraboles (P) et (P ) et deux seulement, de foyer F et d’axe (Δ) qui passent par N. On positionnera sur un dessin leur directrice (D) ′ et (D ) par rapport à la droite (Δ) et au cercle de centre N passant par F. ′ Donner la position relative des tangentes en N à (P) et à (P).

E X E R C IC E points2 5 Enseignement obligatoire On considère la suiteIdéfinie par : Z 1 I 0 =e dx 0 et pour tout entiern > 1 par Z 1 1 n I n =(1−x) edx. n! 0 Z 1 n 1. a.Calculer (1−x) dx. 0 x b.À l’aide de l’encadrement 1 6 e 6 e valable sur l’intervalle [0 ; 1]. mon trer que pour tout entiern > 1 on a : 1 e 6 I n 6 . (n+1)! (n+1)! c.Montrer que la suiteIest convergente et déterminer sa limite. 2. a.CalculerI 0 , puisI 1 à l’aide d’une intégration par parties.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

b.Établir, en intégrant par parties, que pour tout entiern > 1 on a : 1 I n+1 −I n =. (1) n! 3.On pose pour tout entiern > 1 : 1 1 J n =1∙ ∙ ∙ ++ +. 1!n! a.En utilisant les relations (1) exprimerJ n à l’aide deI 0 etI n . b.En déduire la limiteJde la suite (J n ). c.Justifier l’encadrement :

E X E R C IC E 2 Enseignement de spécialité

1 e 6 J−J n 6 . (n+1)! (n+1)!

5 points

Dans le plan orienté on considère un cercle (C) de centre O et de rayon 1,5 et un ′ ′ cercle (C) de centre Oet de rayon 3. On suppose de plus que la distance de O à O’est égale à 6. Faire une figure (unité graphique : 1 cm).

′ MO 1.On appelle (Γ) l’ensemble des pointsMdu plan tels que=2. MO a.Montrer que si I est le centre d’une similitude directe qui transforme (C) ′ en (C) alors I est un point de (Γ). ′ b.Montrer que (Γ) coupe la droite (OO ) en deux points A et B que l’on ′ caractérisera comme barycentres des points O et O. c.Montrer que M est élément de (Γ) si et seulement si MA . ME = O. Déterminer (Γ) et le représenter sur la figure. π 2.irecteOn veut prouver l’existence et l’unicité d’une similitude dfd’angle 2 ′ qui transforme (C) en (C). a.Dans cette question on admet l’existence def. Quelle est alors l’image de O parfet quel est le rapport def? ′ Soit T le point d’intersection de (C) avec le segment [OO ]. ′ Déterminer l’imageTdeTparf. b.En déduire l’existence et l’unicité def; construire le centre def(on ex pliquera la construction).

P R O B L È M E Soitfla fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : 2 3x3 f(0)=etf(x)=2xlnx− −x+pourx>0 2 22 (ln désigne le logarithme népérien). L’objet du problème est l’étude defet l’encadrement d’une aire.

Partie I Étude d’une fonction auxiliaire et de ses zéros

Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

Sportifs de hautniveau

g(x)=2 lnx−x+1.

2

11 points

septembre 1993

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

1.Déterminer les limites en 0 et en+∞deg. Étudier les variations deg. 2.Démontrer que l’équationg(x)=0 admet sur l’intervalle ]0 ;+∞[ deux solu tions 1 etα. En déduire le signe degsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 3.À l’aide de la calculatrice vérifier que :

Partie II Étude def

3, 5 6 α 6 4.

′ ′ 1.Soitfla fonction dérivée def. Vérifier quef=g(pourx>0). Étudier les variations defsur ]0 ;+∞[. 2.Déterminer la limite defen+∞. a.Montrer quefest continue en zéro. f(x)−f(0) b.Calculer la limite delorsquextend vers zéro par valeurs x strictement positives. Que peuton en conclure ? 3. a.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet sur l’intervalle ]0 ;+∞[ deux solutions 1 etβ. b.Justifier les inégalités : 5 6 β 6 6. 4.La tangente (D) à la courbe (C) représentative defau point d’abscisse 5 à pour équationy=h(x). a.Calculerh(x) et étudier les variations de la fonctionΔdéfinie sur ]5 ;+∞[ par :

Δ(x)=f(x)−h(x). En déduire que pourx > 5 on af(x) 6 h(x). b.Soitγl’abscisse du point d’intersection de (D) et de l’axe Ox. Calculeryet prouver queβ 6 γ. 5.Rassembler dans un tableau les résultats obtenus surf. Tracer la droite (D) et la courbe (C) représentative defdans un repère orthonormal d’unité 2 cen timètres.

Partie III Un encadrement SoitFla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 3 x3 1 2 2 F(x)=xlnx− −x+x−. 6 23 1.Vérifier queFest sur l’intervalle ]0 ;+∞[ la primitive defqui s’annule au point 1. Z β 2.On poseA=f(x) dx. 1 a.Montrer que :F(5) 6 A. (1) b.Montrer que : Z β A 6 F(5)+h(t) dt. 5 Z γ Prouver que :h(t) dt > 0. β

Sportifs de hautniveau

3

septembre 1993

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

En déduire l’inégalité : Z γ A 6 F(5)+h(t) dt. (2) 5 c.Donner une interprétation géométrique des inégalités (1) et (2). −2 3.Donner un encadrement deAà 10près.

Sportifs de hautniveau

4

septembre 1993