Baccalauréat C Toulouse juin 1976

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Toulouse juin 1976 \ EXERCICE 1 Soit la fonction f de R dans R : x 7?? f (x)= 1 x (1+Log x) La notation Log désigne le logarithme népérien. 1. Étudier les variations de f et construire son graphique dans un plan P rap- porté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 2. Soit g la restriction de f à I=]1e ; +∞[. a. Démontrer que g est une bijection de I sur g (I)=]0 ; +∞[. b. On désigne par g?1 la bijection réciproque de g ; calculer g (e) et la déri- vée de g?1 au point 12e . EXERCICE 2 Soit V un espace vectoriel de dimension trois et (?? ı , ??? , ??k ) une base de V . On consi- dère l'application linéaire?de V dans V qui à tout vecteur??u de coordonnées (x ; y ; z) associe le vecteur ??u? de coordonnées (x? ; y ? ; z ?) telles que ? ? ? x? = 3x+ y ? z y ? = 2x+2y ? z z ? = 4x+2y ? z 1.

• droites vectorielles


• repère choisi


• vée de g?1 au point


• vecteur ??u? de coordonnées


• vecteur de r2


• ?? u?

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1976
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Toulouse juin 1976\

E X E R C IC E 1 Soit la fonctionfdeRdansR: 1 x→−7f(x)= ¡ ¢ x1+Logx La notation Log désigne le logarithme népérien.

1.Étudier les variations defet construire son graphique dans un plan P rap ³ ´ −→−→ porté à un repère orthonorméO,ı,. 1 2.Soitgla restriction defà I=] ;+∞[. e a.Démontrer quegest une bijection de I surg(I)=]0 ;+∞[. −1 b.On désigne pargla bijection réciproque deg; calculerg(e) et la déri 1 −1 vée degau point. 2e

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ −→ SoitVun espace vectoriel de dimension trois etı,,kune base deV. On consi −→ dère l’application linéaireϕdeVdansVqui à tout vecteurude coordonnées (x;y;z) −→ ¡ ¢ ′ ′′ ′ associe le vecteurude coordonnéesx;y;ztelles que  ′ x=3x+y−z  ′ y=2x+2y−z  ′ z=4x+2y−z 1.Déterminer l’ensemblePdes vecteurs invariants parϕet indiquer une base ³ ´ −→−→ e 1 ,e 2 deP. −→−→−→ −→ 2.SoitDla droite vectorielle engendrée par le vecteure 3 =ı++2k. a.Démontrer que la restriction deϕàDest une homothétie vectorielle de D. −→ b.Démontrer que tout vecteurudeVpeut être décomposé d’une manière −→ −→−→−→−→ ′ ′′′ ′′ unique enu=u+u,u∈P,u∈D. c.Établir que : ³ ´ −→ −→−→ −→−→−→ ′ ′′′′ ∀u∈V,ϕu=u+2u=u+u. ³ ´ −→−→−→ 3.SoitEun espace affine associé àVet O,e 1 ,e 2 ,e 3 un repère cartésien de −→ −→−→ E,e 1 ,e 2 ete 3 étant les vecteurs définis précédemment. On considère l’application affinefqui laisse le point O invariant et dont l’en ′ domorphisme associé estϕ. SiMest l’image parfdu pointMdeE, en utili ′ sant ce qui précède, exprimer dans le repère choisi les coordonnées deMen fonction de celles deM. ′ Indiquer une construction géométrique deM.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E Une suite réellefapplication deNdansRdonne denl’imagef(n) notéef n?n . Soitaetαdeux réels fixés vérifiant :a6=0 et 0 6 α<π. On considère l’ensembleFdes suitesfqui vérifient : 2 ∀n∈N,f n+2 =(2acosα)f n+1 −a f n .

1.On suppose dans cette question queα6=0 Démontrer que les suitesuetvdéfinies par :

n n ∀n∈N,u n =acosnαetv n =asinnα. 2 sont deux éléments deF. Démontrer que les vecteurs deR, (u 0 ,u 1 ) ; (v 0 ,v 1 ) sont indépendants. 2.On suppose dans cette question queα=0 Démontrer que les suitesretsdéfinies par :

n n ∀n∈N,r n =aets n =n a 2 sont deux éléments deF. Démontrer que les vecteurs deR, (r 0 ,r 1 ) ; (s 0 ,s 1 ) sont indépendants. 3. a.Etablir queFest un sousespace vectoriel deF(N,R), espace vectoriel des suites réelles. ¡ ¢ b.Démontrer quefest déterminée par la donnée du couplef 0 ,f 1 et en 2 déduire que l’applicationϕdeFdansRdéfinie parϕ(f)=(f 0 ,f 1 ) est bijective. c.Démontrer queϕest une application linéaire. Quelle est la dimension de F? On rappelle que, comptetenu de la notationf n n

(f+g)(n)=f n +g n et (k f)(n)=k f n ,k∈R. −1 2 4.Soitϕl’application réciproque deϕdéfinie dansRet à valeurs dansF. 2−1 Montrer que siW 1 etW 2 sont deux vecteurs indépendants deR, alorsϕ ( W 1 ) −1 etϕ ( W 2 ) sont deux vecteurs deFindependants. En déduire que siα6=0, (u,v) est une base deFet que siα=0, (r,s) est une base deF. Indiquer dans les deux cas une forme générale des éléments deF. 5.Soitbun réel fixé non nul. On considère l’ensembleCdes suites réellesctelles que :

2n ∀n∈N,c n+2 −(2acosα)c n+1 +a c n =b. a.Siα=0 etb=a, démontrer qu’il existe un réelλtel que la suitetdéfinie par

2n ∀n∈N,t n =λn a appartient àC. ′ b.Siα6=0 etb6=a, démontrer qu’il existe un réelµtel que la suitetdéfinie par

Toulouse

′n ∀n∈N,t=µb n appartient àC. c.L’ensembleCestil un sousespace vectoriel deF(N,R) ?

2

juin 1976

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

6.Siα=0 etb=a,cappartenant àC, démontrer que la suite de terme général ( c n −t n ) est un élément deF; inversement sifappartient àF, montrer que la ¡ ¢ suite de terme généralf n +t n appartient àC. En déduire une forme générale des éléments deC. 7.Déterminer de même une forme générale des éléments deClorsque :α6=0 oub6=a.

Toulouse

3

juin 1976