Baccalauréat C Toulouse septembre 1983

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Toulouse septembre 1983 \ EXERCICE 1 1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R par f (x)= xe?x +e. Étudier la fonction f et construire la courbe C représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé. 2. Calculer le nombre réel ∫1 ?1 f (x)dx et donner une interprétation géométrique de ce nombre. 3. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R? par g (x)=?e?x +eln |x|. Étudier la fonction g et construire la courbe C? représentative de g dans un plan rapporté à un repère orthonormé. EXERCICE 2 On considère l'expression f (z)= z3? (1?2i)z2+ (i?1)z?2i?6 où z est un nombre complexe. 1. Montrer que l'équation f (z) = 0 admet une solution imaginaire pure, notée z1. Montrer qu'il existe des nombres complexes a et b, tels que f (z)= (z? z1) ( z2+az+b ) . En déduire les autres solutions z2 et z3 de l'équation f (z)= 0. 2. Déterminer un nombre complexe ?, tel que les trois nombres : z1??, z2?? et z3??, aient même module.

• c1 aux points d'abscisse respective


• plan vecto- riel


• ?k ??k


• ??k ?


• noyau de ?


• point de coordonnées


• plan rapporté au repère orthonormé


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1983
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Toulouse septembre 1983\

E X E R C IC E 1 1.Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie dansRpar

−x f(x)=xe+e.

Étudier la fonctionfet construire la courbe C représentative defdans un plan rapporté à un repère orthonormé. Z 1 2.Calculer le nombre réelf(x) dxet donner une interprétation géométrique −1 de ce nombre. ⋆ 3.Soitgla fonction numérique de la variable réellexdéfinie dansRpar

−x g(x)= −e+e ln|x|.

′ Étudier la fonctionget construire la courbe Creprésentative degdans un plan rapporté à un repère orthonormé.

E X E R C IC E 2 On considère l’expression

3 2 f(z)=z−(1−2i)z+(i−1)z−2i−6

oùzest un nombre complexe.

1.Montrer que l’équationf(z)=0 admet une solution imaginaire pure, notée z 1 . Montrer qu’il existe des nombres complexesaetb, tels que ¡ ¢ 2 f(z)= ( z−z 1 ) z+a z+b. En déduire les autres solutionsz 2 etz 3 de l’équationf(z)=0. 2.Déterminer un nombre complexeω, tel que les trois nombres :z 1 −ω,z 2 −ω etz 3 −ω, aient même module.

P R O B L È M E ³ ´ −→−→ P désigne un plan rapporté au repère orthonorméO,ı,etVest le plan vecto riel associé à P. Partie A On considère les droites vectoriellesΔ 1 etΔ 2 engendrées respectivement par −→−→−→−→−→−→ e 1 =ı+ete 2 = −ı+. On désigne par E l’ensemble des endomorphismes deVdont la restriction àΔ 1 est une homothétie vectorielle de rapportk,k6=0.

Terminale C

A. P. M. E. P.

1.Démontrer queϕest un élément de E si, et seulement si, sa matrice, relative ment à 8, est de la forme µ ¶ a k−a 2 , (a,b)∈N b k−b Pour quelles valeurs deaetbl’endomorphismeϕestil bijectif ? Dans toute la suite du problème,ϕdésigne un élément deE. 2.Lorsqueϕn’est pas bijectif, déterminer le noyau deϕ, l’imageϕ(V) deVpar ϕet l’ensemble des vecteurs invariants parϕ. (On appelle noyau deϕl’ensemble des antécédents parϕdu vecteur nul de V). 3.Pour quelles valeurs dea,betk,ϕconservetil le produit scalaire ? −→ 4.On supposek6=1. Montrer que le seul élément de E qui laisse invariante 2 est l’applicationϕ k dont la matrice K dans D est :   1 1 (k+1) (k−1) 2 2   1 1 (k−1) (k+1) 2 2 ³ ´ −→−→ ′ 5.Soit B=e 1 ,e 2 avec −→−→−→−→−→−→ e 1 =ı+ete 2 = −ı+. ′ ′ Vérifier que Best une base deV. Déterminer la matrice Kdeϕ k relativement ′ à B . Déterminer la matrice de

n ϕ=ϕ k ◦ϕ k ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ϕ k k { } néléments ′ dans la base Bpuis dans la base B. Partie B On considère l’application affinef k , de P dont l’endomorphisme associéϕ k avec k6=1, a pour matrice relativement à B :   1 1 (k+1) (k−1) 2 2 K=   1 1 (k−1) (k+1) 2 2 et qui laisse invariant le point A(1 ; 1). ¡ ¢ ′ ′′ ′′ 1.SoitM x;yl’image parf k du pointM(x;y). Exprimerxetyen fonction dexety. 2.Déterminer et construire l’ensemble D des points invariants parf k . 3.Soit H la projection orthogonale sur D d’un pointMde P. −−−→ −−→ ′ Démontrer que HM=kHM. Quelle est la nature def k ? ¡ ¢ 4.SoitM 0 x 0 ;y 0 un point fixe de P. On poseM 1 =f k ( M 0 ) ,M 2 =f k ( M 1 ) , ...,M n =f k ( M n−1 ) et on désigne parx i et yles coordonnées du pointM,i∈{0, 1, 2, ...,n},n∈N. i i a.Calculerx n ety n en fonction dex 0 ety 0 .

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Terminale C

A. P. M. E. P.

¡ ¢ b.Lorsque ueetles suiysont conver |k| <1, démontrer qtes (x n ) n∈N n n∈N gentes. On notea=limx n etb=limy n . x→+∞x→+∞ On appelle L le point de coordonnées (a;b). Démontrer que L est la projection orthogonale deM 0 sur D.

Partie C · ¸ 5 5 On considère les fonctions numériques de la variable réellexdéfinies dans−; 2 2 par

3 2 2 F 1 (x)=x+25−4x 5 5 3 2 2 F 2 (x)=x−25−4x 5 5

1.ÉtudierF 1 et construire la courbe représentative C 1 deF 1 dans le plan P rap ³ ´ −→−→ porté au repère orthonorméO,ı,. 5 5 Préciser les tangentes à C 1 aux points d’abscisse respective−et 2 2 2.Démontrer que, dans P, la courbe représentative C 2 est symétrique de C 1 par rapport à l’origine. Construire C 2 . 3.On pose C = C 1 ∪C 2 . Démontrer qu’une équation de C est :

2 2 5x+5y−6x y−20=0.

4.Déterminer une équation def 1 (C), identifierf 1 (C). 2 2

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