Baccalauréat S Amérique du Sud

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Amérique du Sud \ Novembre 2009 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A — Restitution organisée de connaissances Voir le cours. Partie B 1. On a ???AB (3 ; 0 ; ?3), ???AC (3 ; 3 ; 3), ???BC (0 ; 3 ; 6). D'où AB2 = 9+9= 18, AC2 = 9+9+9= 27, BC2 = 9+36= 45. Or 18+27= 45 ?? AB2+AC2 = BC2 ?? ABC est un triangle rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore. On a donc A (ABC)= AB?AC2 = p18?p27 2 = 3p2?3p3 2 = 9p6 2 (cm 2). 2. ??n ·???AB = 3+0?3= 0???n est orthogonal à ???AB ; ??n ·???AC = 3?6+3= 0???n est orthogonal à ???AC . Donc ??n est orthogonal à deux vecteurs non colinéa ires (puisqu'orthogo- naux) du plan ABC est un vecteur normal à ce plan. Une équation de ce plan est donc : M(x ; y ; z) ?ABC ?? 1x ?2y +1z +d = 0. Par exemple A(3 ; ?2 ; 2) ?ABC ?? 3+4+2+d = 0 ?? d =?9.

• équation en z


• ab2


• zz ?2z


• longueur de la hau- teur du tétraèdre dabc


• ??ap


• dabc


• angle ?amb


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2009
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSAmériqueduSud\
Novembre2009
EXERCICE1 6points
Communàtouslescandidats
PartieA—Restitutionorganiséedeconnaissances
Voirlecours.
PartieB
?! ?! ?!
1. OnaAB(3; 0;?3),AC(3; 3; 3),BC(0; 3; 6).
2 2 2D’oùAB ?9?9?18,AC ?9?9?9?27,BC ?9?36?45.
2 2 2Or18?27?45 () AB ?AC ?BC () ABCestuntrianglerectangleen
Ad’aprèslaréciproqueduthéorèmedePythagore.
p p p p p
AB?AC 18? 27 3 2?3 3 9 6 2OnadoncA(ABC)? ? ? ? (cm ).
2 2 2 2
!? ??! !? ??!
2. n ?AB ?3?0?3?0)n estorthogonalàAB ;
!? ?! !? ?!
n ?AC ?3?6?3?0)n estorthogonalàAC.
!?
Donc n est orthogonal à deux vecteurs non colinéa ires (puisqu’orthogo-
naux)duplanABCestunvecteurnormalàceplan.Uneéquationdeceplan
estdonc:M(x ; y ; z)2ABC () 1x?2y?1z?d?0.
ParexempleA(3;?2; 2)2ABC () 3?4?2?d?0 () d??9.
Finalement:
M(x ; y ; z)2ABC () x?2y?z?9?0.
pj4?0?1?9j 6
3. d(D,ABC)? ? ? 6. On sait que la distance de D aup p
2 2 2 61 ?(?2) ?1
planABCestobtenueentraçantlaperpendiculaireàceplancontenantD:
ladistancecalculéeàlaquestionprécédenteestdonclalongueurdelahau-
teurdutétraèdreDABC.Sonvolumeestdoncégalà:
p
p p1 1 9 6 3V ? A(ABC)? 6? ? ? 6?9cm .
3 3 2
PartieC
!?
1. Levecteurn étantluiaussiunvecteurnormalauplanQ,lesdeuxplanssont
parallèlesetdistinctscar?96??5.
2. Équationde(DA):ontraduitl’appartenancegéométriqueM(x; y; z)2(AD)
??! ??!
parlarelationdecolinéarité:ilexisteα2R,telqueAM ?αAD quisetraduit
enégalantlescoordonnéesdesdeuxvecteursparlesystème:BaccalauréatS A.P.M.E.P.
8 8
x?3 ? α x ? 3?α< <
y?2 ? 2α () y ? ?2?2α
: :
z?2 ? ?3α z ? 2?3α
E est communàQ et à (AD) : sescoordonnéesvérifientdoncl’équation de
Q etleséquationsparamétriquesde(AD)soitlesystème:
8 8
x ? 3?α x ? 3?α> >< <
y ? ?2?2α y ? ?2?2α
()
> z ? 2?3α > z ? 2?3α: :
x?2y?z?5 ? 0 3?α?2(?2?2α)?2?3α?5 ? 0
8 82> 11 >x ? 3?> x ?8 >3> >x ? 3?α 3> > 2 > 2< < <y ? ?2?2?y ? ?2?2α y ? ?3() () () 32> z ? 2?3α > > z ? 0z ? 2?3?: > >> 3 >4 ? 6α 2> >2> : ? α: ? α 33? ?
11 2 2?! ?!
Conclusion; E ;? ; 0 . On a aussi AE ? AD. Cette dernière égalité
3 3 3
2
montre que E appartient à la droite (AD) et que l’abscisse de E est si on
3
prendlerepère(A,D);doncEappartientausegment[AD](ilestaux2/3en
partantdeAouau1/3enpartantdeD.)
3. D’aprèslaquestionprécédenteetlesdeuxplansQ et(ABC)étantparalléles
lasectiondelapyramideDABC estlapyramideDEFGdontlesdimensions
1
sontcellesdeDABCmultipliéespar .
3
? ? ? ?3 31 1 1 3D’oùV(DEFG)? V(DABC)? ?9? cm .
3 3 3
EXERCICE2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
1?i(1?i?2) (1?i)(?1?i) (1?i)(1?i) ?2i ?2i(1?i)
01. a. z ? ? ? ? ? ?P
?1?i 1?i 1?i (1?i)(1?i)1?i?2
?2?2i
??1?i.
2
0Doncz ??z .PP
??!?! 0b. AP(?1; 1)etP B(?1; 1).Lesvecteurssontégauxdonclesdroites(AP)et
0(PB)sontparallèles.
??!?! 0 0OnpeutmêmedirequeAP ?P B ()(APBP )estunparallélogramme.
?! ?!?! ?!0 0c. AP(?1; 1)etPP (?2;?2).DoncAP?PP ?(?1)?(?2)?1?(?2)?0 ()
?!?! 0 0AP(?1 ; 1) et PP sont orthogonaux ou encore les droites (AP) et (PP )
sontperpendiculaires.
AmériqueduSud Page2/8 Novembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
z(z?2)0 0 02. Pour M(z) avec z6?2, donc avec z6?2, M (z )? M(z) () z ? ?
z?2? ?
z () z(z?2)? z z?2 () zz?2z? zz?2z () ?2z??2z () z?
z () z2R.
L’ensembledespointsinvariantspar f estl’axedesabscissesprivédupoint
A.
? ? ? ?
23. a. (z?2) z?2 ?(z?2) z?2 ?(z?2)(z?2)?jz?2j 2R (carré du mo-?
2duledez?2,soitAM .)
? ?
z(z?2) z(z?2)?2 z?2
?20z ?2 zz?2z?2z?4 zz?4z?2 z?2b. ? ? ? ? ? ? ? ?.
z?2 z?2 z?2 (z?2) z?2 (z?2) z?2
? ?2Orzz?jzj 2Retdanslaquestionprécédenteonavuque(z?2) z?2 ?
2jz?2j 2R.
Ledernierquotientestdoncréel.
0c. Question:Peut-onavoirM ?B?
0Pourlesavoirilsuffitderésoudrel’équationz ??2, avecz6?2:
0 2z ??2 () z(z?2)??2(z?2) () jzj ?4 () jzj?2.
jzj?0
DonclaréponseestouipuisquetoutpointMducercleC decentreOet
derayon2distinctdeAapourimageB.
Parconséquentlaquestionposéeestmalformulée.Onauraitpudeman-
derparexemple:
0 0c) Montrer que : ou bien M ? B, ou bien les droites (AM) et (BM ) sont
parallèles.
0 0Montronsdoncquesi M 6?B, alorslesdroites(AM)et(BM )sontparal-
lèles:
0 ? ????!z ?z ??!B 0Lerésultatdelaquestion2.bpeuts’écrire 2R () AM , BM ?
z?zA
0?kπ(argumentd’unréel).
??!??! 0Conclusion : les vecteurs AM et BM sont colinéaires donc les droites
0(AM)et(BM )sontparallèles.
4. SoitMunpointquelconquenonsituésurladroite(AB).Ils’agitdemontrer
0quelesdroites(AM)et(MM )sontperpendiculaires.(IcionestsûrqueM6?
0M carM?(AB).)
RemarquonsquesiM appartientaucercleC dont[AB]estundiamètrealors
0?on sait que l’angle AMB est un angle droit, et comme dans ce cas M ?B,
0alorslesdroites(AM)et(MM )sontperpendiculaires.
Plusgénéralement:
AmériqueduSud Page3/8 Novembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
? ?
z(z?2) z(z?2)?z z?20On a z??!? x?2?iy et z???!? z ?z? ?z? ?0AM MM z?2 z?2? ?
2 z?zzz?2z?zz?2z 2(x?iy?x?iy 4iy 4iy[(x?2)?iy]
? ? ? ? ?
2 2z?2 z?2 x?iy?2 (x?2)?iy (x?2) ?y
2?4y 4y(x?2)
?i .
2 2 2 2(x?2) ?y (x?2) ?y
2 2???!??! ?4y (x?2) 4y (x?2)0CalculonsAM ?MM ? ? ?0.
2 2 2 2(x?2) ?y (x?2) ?y
??! 0LesvecteursAM etz????!sontorthogonaux,donclesdroites(AM)et(MM )0MM
sontperpendiculaires.
???!z 00 z ?z 2(z?z) 2MM
Remarque:Autrefaçon: ? ? ? (z?z).
2z??! z?2 (z?2)(z?2) jz?2j
AM
? ????!2 ??! 0Et comme est un réel ? 0 on en déduit : AM ,MM ? arg(z?
2jz?2j
z) [2π].
? ????!π ??! 0Enfin,puisquez?z?2iyavecy6?0, ona arg(z?z)? [π]etdonc AM ,MM ?
2
π 0[π], cequiprouvequelesdroites(AM)et(MM )sontperpendiculaires.
2
5. SoitM unpointdistinctdeA.Laconstructiondel’imagedeM sedéduitdes
questionsprécédentes:
0– SiM2(AB)alorsM ?M.
0– SiM2C alorsM ?B.
– Sinon, i.e. si M ?C [(AB) : On trace la perpendiculaireen M à la droite
0(AM):ellecoupelaparallèleàladroite(AM)passantparBenM .
FigurepourlepointQd’affixe3?2i.
AmériqueduSud Page4/8 Novembre2009BaccalauréatS A.P.M.E.P.
3
2
C
1
1
B A0
O 1
-1
Q
-2
-3
0Q
-4
-5
-6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
EXERCICE2 (5points)
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Γ désignelecercledediamètre[AI]etΓ désignelecercledediamètre[BK].1 2
PartieA
a
IK 12
1. Par définition le rapport de la similitude est égal à ? ? si a est la
AB a 2
mesuredescôtésducarré. ? ??! ?! π
Demêmel’angledelasimilitudeestégalà AB, IK ? mod2π.
2
π π
c d2. CommeAJI? ,JappartientàΓ .DemêmecommeKJB? ,Jappartientà1
2 2
Γ .2
D’autre part d’après la question précédente, siΩ est le centre de la simili-? ??! ?! π
tude, on a ΩA,ΩI ? mod2π qui montre queΩ appartient au cercle
2? ??! ?! π
Γ ; de même ΩB,ΩK ? mod2π montre queΩ appartient au cercle1
2
Γ .2
LesdeuxcerclesΓ etΓ secoupentenJetenΩ1 2
3. a. Parpropriétédelasimilitude,l’imagedeladroite(AC)estunedroiteper-
pendiculairecontenantl’imagedeA,doncI:c’estladroite(BD).
Demêmel’imagede(BC)estperpendiculaireàcelle-cietcontientl’image
deBquiestK:c’estladroite(CD).
CommeCestcommunà(AC)et(BC),sonimageestcommunauxdroites
images(BD)et(CD):c’estdoncD.
AmériqueduSud Page5/8 Novembre2009
bbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
b. L’image du milieu I de [AC] est le milieu E du segment image soit [ID]
(propriétédelasimilitude).
? ??! ?!
4. Onpeutsimplementmontrerquepardéfinitiondelasimilitudes: ΩA,ΩI ?
? ? ? ?π ?! ?! π ?! ?!
mod2π et ΩI,ΩE ? mod2π, donc ΩA,ΩE ?π mod2π qui si-
2 2
gnifiequeA,ΩetEsontalignés.
PartieB
1. Onaz ?0,z ?10,z ?10?10i,z ?10i.A B C D
2. Onafacilementz ?5?5i.I
0Onsaitqu’unesimilitudeauneécriturecomplexedelaformez ?az?b,a2
C,b2C.EnutilisantI?s(A),onobtient:
5?5i?a?0?b () b?5?5i.
Onaz ?5?10ietK?s(B)setraduitpar:K
1
5?10i?a(10)?5?5i () 5i?10a () a? i.
2
10L’écriturecomplexedes estdonc:z ? iz?5?5i.
2
3. LepointΩestlepointinvariantdelasimilitudedoncsonaffixeestlasolu-? ?
1 10tiondel’équationz ?z () iz?5?5i?z () z 1? i ?5?5i () z?
2 2? ?
1 ? ?(5?5i) 1? i 5 5 5 155? ?i ?5 ? i5?5i 2 2 2 2 2? ?? ?? ? ? ?2?6i.1 51 1 1 1? 4 41? i 1? i 1? i
2 2 2
Doncω?2?6i.
4. Onaz ?5?5i.Destl’imagedeIpars,doncgrâceàl’écriturecomplexe:I
1 5 5 5 15
z ? i(5?5i)?5?5i? i? ?5?5i? ? i.(onpeutdirectementobtenirD
2 2 2 2 2
cerésultatenutilisantlefaitqueEestlemilieude[ID].)
PourlesdeuxpointsΩetElapartiecomplexeestletripledelapartieréelle.
Ilssontdoncalignésavecl’originedurepèreA.
5. OnsaitdéjàqueΩappartientà(AE);
?! ?!
Onaz ?5i,doncz?!??2?ietz?!?8?4i??4z?! () ΩC ??4ΩL ()L ΩL