Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2005

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2005 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains pré- sentent un défaut. On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02. Partie A On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisam- ment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indé- pendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux ache- tés. Alain achète 50 composants. 1. Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10?1 près. 2. Quelle est la probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défec- tueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10?2 près. 3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ? Partie B On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre?1 = 5?10?4 et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre ?2 = 10?4 (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).

• cg sur la figure fournie


• durée de vie


• formulaire loi exponentielle


• pointm ? d'affixe z


• loi exponentielle de paramètre?1


• repère orthonormal direct

Sujets

• Durée de vie

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2005
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSAmériqueduSudnovembre2005\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
LespartiesAetBsontindépendantes
Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans
unmagasin,descomposantsenapparencetousidentiquesmaisdontcertainspré-
sentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le
magasinsoitdéfectueuxestégaleà0,02.
PartieA
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisam-
ment important pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indé-
pendants avecremise, etonappelle X lenombredecomposants défectueux ache-
tés.Alainachète50composants.
1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient
?1défectueux?Donnerunevaleurapprochéedecetteprobabilitéà10 près.
2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défec-
?2tueux?Donnerunevaleurapprochéedecetteprobabilitéà10 près.
3. Quelest,parlotde50composantsachetés,lenombremoyendecomposants
défectueux?
PartieB
OnsupposequeladuréedevieT (enheures)dechaquecomposantdéfectueuxsuit1
?4uneloiexponentielledeparamètre? ?5?10 etqueladuréedevieT (enheures)1 2
dechaquecomposantnondéfectueuxsuituneloiexponentielle deparamètre? ?2
?410 (onpourrasereporterauformulaireci-dessous).
1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à
1000heures:
a. sicecomposantestdéfectueux;
b. si cecomposant n’est pasdéfectueux. Donner une valeur approchée de
?2cesprobabilités10 près.
2. SoitT laduréedevie(enheures)d’uncomposantachetéauhasard.
Démontrerquelaprobabilitéquececomposantsoitencoreenétatdemarche
après t heuresdefonctionnementest:
?4 ?4?5?10 t ?10 tP(T>t)?0,02e ?0,98e .
(on rappelle que laprobabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit
défectueuxestégaleà0,02).
3. Sachantquelecomposantachetéestencoreenétatdefonctionner1000heures
après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défec-
tueux?
?2Donnerunevaleurapprochéedecetteprobabilitéà10 près.
FormulaireLoiexponentielle(oudeduréedeviesansvieillissement) deparamètre
?sur[0;?1[: Zb
??xPour06a6b, P([a ; b])? ?e dx.
aZc
??xPourc>0, P([c ; ?1[)?1? ?e dx.
0BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ?!? !?
Le plan complexeP est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . On
prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes
respectives a, b, c etd tellesque:
p ?i
4a?i, b?1?2i, c? 2e , et d?3?2i.
Onconsidèrelasimilitudedirectes quitransformeAenBetCenD.SoitM unpoint
0 0d’affixez et M ,d’affixe z ,sonimagepars.
01. Exprimer z enfonctiondez.
Déterminerlesélémentscaractéristiquesdes.
?
U ? 00Soit(U )lasuitenumériquedéfiniepar:n U ? 2U ?1 pourtoutn2Nn?1 n
2. Montrerque,pourtoutentiernatureln, U etU sontpremiersentreeux.n?1 n
3. Interprétergéométriquement,enutilisantlasimilitudes,lestermesdelasuite
(U ).n
n4. Montrerquepourtoutentiernatureln,U ?2 ?1.n
5. Montrerque,pourtousentiersnaturelsn etp nonnulstelsquen>p,
? ?
U ?U U ?1 ?U .n p n?p n?p
Lanotation pgcd(a ; b)est utilisée, danslasuite, pour désigner leplus grand
diviseurcommunàdeuxentiersnaturels a etb .Montrerpourn>p l’égalité
? ? ? ?
pgcd U ,U ?pgcd U , U .n p p n?p
6. Soitn et p deuxentiersnaturelsnonnuls,montrerque:
? ?
pgcd U , U ?U .n p pgcd(n ; p)
Déterminerlenombre:pgcd(U , U ).2005 15
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .Onpren-
drapourunitégraphique2cm.Soit f l’applicationquiàtoutpoint M dupland’af-
40 0 0fixeznonnulleassocielepointM d’affixez tellequez ? ,oùzdésignelenombre
z
complexeconjuguédez.
1. Déterminerl’ensembledespointsinvariantspar f.
2. Déterminerl’ensembledespointsdontl’imageparl’application f estlepoint
Jd’affixe1.
3. Soit?unnombrecomplexenonnul.Démontrerquelepoint A d’affixe?ad-
metunantécédentuniquepar f,dontonpréciseral’affixe.
? ????!??! 04. a. Donner une mesure de l’angle OM , OM . Interpréter géométrique-
mentcerésultat.
? ?
0? ?b. Exprimer z enfonction dejzj.Sir désigneunréel strictement positif,
endéduirel’imagepar f ducercledecentreOetderayonr.
c. Choisir unpoint P duplancomplexe nonsituésurlesaxesdecoordon-
0néesettelqueOP =3,etconstruiregéométriquement sonimageP par
f.
AmériqueduSud 2 novembre2005BaccalauréatS A.P.M.E.P.
5. OnconsidèrelecercleC ,decentreJetderayon1.Montrerquel’imagepar f1
detoutpointdeC ,distinctdeO,appartientàladroiteD d’équation x?2.1
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Danscetexercice,uneréponsepar«VRAI»ou«FAUX»,sansjustification,estdeman-
déeaucandidatenregardd’unelisted’affirmations.Touteréponseconformeàlaréa-
litémathématiquedonne0,4point.Touteréponseerronéeenlève0,1point.L’absence
deréponsen’estpascomptabilisée.Letotalnesauraitêtrenégatif.
H
G
OndonnelecubeABCDEFGH,d’arêtede E J
longueur 1, et les milieux I et J des arêtes D
[AB] et [CG]. Les éléments utiles de la fi-
Fguresontdonnésci-contre.
CLecandidatestappeléàjugerchacunedes
10affirmationssuivantes.
A
I
B
Onutiliserapourrépondrelafeuilleannexe,quiserarendueaveclacopie.
Affirmation VRAIouFAUX
?! ?! 1
1. AC ?AI ?
2
??! ?! ?! ??!
2. AC ?AI ?AI ?AB
?! !? ?! ?!
3. AB ?IJ ?AB ?IC
?! !? ?
4. AB ?IJ ?AB?IC?cos
3
? ???! ??! ?!
Onutiliseàprésentlerepèreorthonormal A; AB, AD, AE .
AmériqueduSud 3 novembre2005BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Affirmation VRAIouFAUX
5. Unereprésentationparamétriquedeladroite(IJ)est:
8
x ? t?1<
y ? 2t ,leparamètre t décrivantR.
:
z ? t
6. Unereprésentationparamétriquedeladroite(IJ)est:8
1> x ? t?1>< 2
y ? t?1 ,leparamètre t décrivantR
> 1 1>: z ? t?
2 2
7. 6x?7y?8z?3?0estuneéquationcartésienne
deladroite(IJ).
8. L’intersectiondesplans(FIJ)et(ABC)estladroite
passantparletparlemilieudel’arête[DC].
0 1
?4
@ A9. Levecteurdecoordonnées 1 estunvecteur
2
normalauplan(FIJ).
1
10. LevolumedutétraèdreEFIJestégalà .
6
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
PartieA
Onconsidèrelesfonctions f et g définiessurRpar
2 2?x 2 ?xf(x)?e et g(x)?x e .
OnnoterespectivementC etC lescourbesreprésentatives de f et g dansunre-f g? ?!? !?
pèreorthogonal O, ı , | ,dontlestracéssetrouventsurlafeuilleannexe.Lafigure
seracomplétéeetrendueaveclacopie.
1. IdentifierC etC surlafigurefournie.(Justifierlaréponseapportée).f g
2. Étudierlaparitédesfonctions f et g.
3. Étudierlesensdevariationde f etdeg.Étudierleslimiteséventuellesde f et
deg en?1.
4. ÉtudierlapositionrelativedeC etC .f g
PartieB
OnconsidèrelafonctionG définiesurRpar
Zx
22 ?tG(x)? t e dt.
0
1. QuereprésenteG pourlafonction g ?
2. Donner,pour x?0,uneinterprétationdeG(x)entermesd’aires.
3. ÉtudierlesensdevariationsdeG surR. Zx
2?tOndéfinitlafonctionF sur Rpar:pourtoutréel x, F(x)? e dt.
0
h i1 2?x4. Démontrer, que, pour tout réel x, G(x)? F(x)?xe ; (on pourra com-
2 h i1 2?xmencerparcomparerlesfonctionsdérivéesdeG etdex7?! F(x)?xe .
2
AmériqueduSud 4 novembre2005BaccalauréatS A.P.M.E.P.
OnadmetquelafonctionF admetunelimitefinie`en?1,etquecettelimite
`estégaleàl’aire,enunitésd’aire,dudomaineA limitéparlacourbeC etlesfh ? h ?!? !?
demi-droites O; ı et O; | .
5. a. DémontrerquelafonctionGadmetunelimiteen?1quel’onprécisera.
Z1? ? 22 ?tb. Interpréterentermesd’airesleréelN? 1?t e dt.
0
c. En admettant que la limite de G en ?1 représente l’aireP en unitésh ?!?
d’aire du domaineD limité par la demi-droite O; ı et la courbeCg
justifiergraphiquementque:
Z1? ? 2 `2 ?t
1?t e dt> .
20
(onpourraillustrerleraisonnementsurlafigurefournie)
AmériqueduSud 5 novembre2005BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Documentàrendreaveclacopie-Annexe
Exercice3
oAffirmationn VRAIouFAUX
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Exercice4
!?
|
!?O
ı
AmériqueduSud 6 novembre2005