Baccalauréat S Centres étrangers groupe 1

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Centres étrangers groupe 1 \ juin 1995 EXERCICE 1 4 points Une entreprise utilise des machines de type M constituées chacune de deux élé- ments E1 et E2 . La défectuosité d'un seul des deux éléments E1 et E2 suffit à mettre la machine hors service et on exclut toute autre éventualité de panne. Soient A1 et A2 les deux évènements : A1 : « l'élément E1 tombe en panne » ; A2 : « l'élément E2 tombe en panne ». On suppose que A1 et A2 sont deux évènements indépendants de probabilités res- pectives : p1 = p (A1)= 0,08 et p2 = p (A2)= 0,05. 1. Calculer la probabilité s pour que les deux éléments soient simultanément hors service. 2. Calculer la probabilité p pour que la machine M soit en panne. 3. On note X la variable aléatoire égale au nombre d'éléments hors service. a. Déterminer la loi de probabilité de X . b. Vérifier que l'espérance mathématique de X est égale à 0,13. EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) ; unité graphique : 2 cm. Soient A0 le point d'affixe 2, A?0 le point d'affixe 2i et A1 le milieu du segment [A0A?0 ].

• méthode d'approximation de l'unique solu


• point d'affixe


• dx où?désigneunnombre réel


• inégalité des accroissements finis


• points enseignement obligatoire

Sujets

• Théorème des accroissements finis

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1995
• Nombre de lectures: 140
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Centres étrangers groupe 1\ juin 1995

E X E R C IC E points1 4 Une entreprise utilise des machines de typeMconstituées chacune de deux élé mentsE 1 etE 2 . La défectuosité d’un seul des deux élémentsE 1 etE 2 suffit à mettre la machine hors service et on exclut toute autre éventualité de panne. SoientA 1 etA 2 les deux évènements : A 1 : « l’élémentE 1 tombe en panne » ; A 2 : « l’élémentE 2 tombe en panne ». On suppose queA 1 etA 2 sont deux évènements indépendants de probabilités res pectives :

p 1 =p ( A 1 ) =et0, 08p 2 =p ( A 2 ) =0, 05. 1.Calculer la probabilitéspour que les deux éléments soient simultanément hors service. 2.Calculer la probabilitéppour que la machineMsoit en panne. 3.On noteXla variable aléatoire égale au nombre d’éléments hors service. a.Déterminer la loi de probabilité deX. b.Vérifier que l’espérance mathématique deXest égale à 0,13.

E X E R C IC E points2 5 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormalO,u,v; unité graphique : 2 cm. £ ¤ ′ ′ Soient A 0 le point d’affixe 2i et Ale point d’affixe 2, A 1 le milieu du segmentA 0 A . 0 0 ′ fixezl, on désigne p Plus généralement, siA n est un point d’af n arA n e point d’af fixe iz n et parA n+1 le milieu du segment [A n A n+1 ]. On notep n etθ n le module et l’argument dez n . ′ ′ ′ 1. a.Déterminer les affixes des points A 0 , A, A 1 , A , A 2 , A , A 3 . Placer ces 0 1 2 points sur une figure. b.Calculerp 0 ,p 1 ,p 2 ,p 3 , ainsi queθ 0 ,θ 1 ,θ 2 ,θ 3 ∙ 2. a.Pour tout entiern, exprimerz n+1 en fonction dez n . En déduirez n en fonction den. b.Établir les expressions dep n etθ n en fonction den. c.Déterminer la limite dep n quandntend vers+∞. Interpréter géométriquement ce résultat. d.Comparer les modules et les arguments dez n etz n+1 . 1 3.Établir que A n A n+1 =A n−1 A n . Après avoir exprimé A n A n+1 en fonction de 2 n, déterminer en fonction den, la longueurℓ n de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 . . . A n . Déterminer la limite deℓ n lorsquentend vers+∞.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

E X E R C IC E 2 5points Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormalO,ı,; unité graphique : 5 cm. A, B, C désignent les points d’affixes respectives 0, i et−1. On notegl’applica tion qui à tout pointMdu plan, d’affixez, associe le pointg(M) d’affixe a+z+iz ′ z=. 3 1. a.À tout pointMd’affixez, on fait correspondre le pointM 1 d’affixe iz. On ′ noteMl’isobarycentre des points A,MetM 1 . Exprimer en fonction de ′ zl’affixe deM. b.Montrer queg(B)=O si et seulement sia=1−i et que, dans ces condi tions, les points O, A, I sont alignés, I désignant le milieu de [BC]. Placer les points O, A, B, C, I sur une figure. Dans toute la suite de l’exercice, on prenda=1−i. 2. a.Prouver quegest une similitude directe dont on déterminera le centre Ω, le rapport et l’angle. b.Prouver que les points A, B,Ωsont alignés. ³ ´ −→−→ 3. a.OI .OB ,Déterminer la mesure de l’angle Montrer que l’image de la droite (OB) pargest la droite (OI). ′ ′ b.l’image de O parSoit Og. Montrer que la droite (OO ) est l’image parg de la droite (BO). ′ c.En déduire que les points I, O, O , A sont alignés. £ ¤ ′ 4.Montrer que les points I etΩappartiennent au cercle de diamètreBO .

P R O B L È M E 11 points L’objet de la partie 1 est d’étudier la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par

1 2−x 3 f(x)=x−3+3e . ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative defdans le repère orthonormalO,ı,; unité graphique : 2 cm. L’objet de la partie 2 est d’étudier une méthode d’approximation de l’unique solu tion non nulleade l’équationf(x)=0, à l’aide d’une suite.

Partie 1 Étude de la fonctionf 1.Sens de variation def ′ a.Calculer la dérivéfdef. ′ ′ b.Étudier le sens de variation defet calculer la limite defquandxtend vers+∞. c.Déduire de ce qui précède l’existence et l’unicité d’un nombre réelα>0 ′ tel quef(α)=40 et montrer que 0, 6 α 6 0, 5. ′ d.Étudier le signe def(x) sur [0 ;+∞[. 2.Comportement asymptotique defen+∞ a.Déterminer la limite defen+∞. £ ¡¢¤ 2 b.Déterminer le signe def(x)−x−3 etsa limite en+∞. Interpréter 2 graphiquement ce résultat ; on notePla courbe d’équationy=x−3.

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

3.Signe def a.Dresser le tableau de variation def. b.Prouver que l’équationf(x)=0 admet une solution non nulleaet une seule appartenant à l’intervalle [α;+∞8[ et montrer que 0, 6 a 6 0, 9. c.Étudier le signe def(x) sur [0 ;+∞[. ³ ´ −→−→ 4.O,Tracer dans le repèreı,les courbesPetC. On précisera la tangente àCau point d’abscisse 0. Z λ £ ¡¢¤ 2 5. a.Calculer l’intégraleI(λ)=f(x)−x−3 dxoùλdésigne un nombre 0 réel strictement positif. b.Interpréter graphiquement ce résultat. c.Déterminer la limite deI(λ) quandλtend vers+∞.

Partie 2 Approximation de la solutionade l’équationf(x)=0 Soitgla fonction définie sur l’intervalle I = [0,8 ; 0,9] par 1 2−x 3 g(x)=X−f(x)=x+3−x−3e . Ainsi, la solutionade l’équationf(x)=0 est aussi l’unique solution de l’équation g(x)=x. ′ 1.Étude de la fonctiong ′ a.Calculerg(x). ′ Étudier le sens de variation deg( On pourra utiliser les résultats de I. 1. b.). ′ ′ b.Calculerg(0, 8)etg(0, 9).En déduire qu’il existe un nombreβet un seul ′ de l’intervalle I tel queg(β)=0. ¯ ¯ ′ −2 Montrer que pour toutx∈[β9],; 0,g(x) 6 6∙10 ,puis que pour tout 1 ¯ ¯ ′ x∈I,g(x) 6 ∙ 5 2.Étude de la fonctiong a.Étudier les variation degsur I. b.Calculerget(0, 8)g(0, 9). En utilisant l’inégalité des accroissements finis, prouver que −3 ¯ ¯ g(0, 9)−g(β) 6 6∙10 . En déduire queg(β)∈I. c.Prouver que pour toutx∈I,g(x) appartient aussi à I. 1 d.Montrer que pour toutx∈I,|g(x)−a| 6 |x−a|. 5 3.Étude d’une suite d’approximation dea Soit (u n ) la suite d’éléments de I définie par la relation de récurrence u n+1 =g ( u n ) et la condition initialeu 0 =0, 8. 1 a.Montrer que pour toutn∈N, | u n+1 −a | 6 | u n −a | . 5 1 1 b.Montrer que pour toutn∈N, | u n −a | 6 ×. n 10 5 c.En déduire la limite de la suite (u n ).

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