Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004 \ EXERCICE 1 4 points 1. a? =?2a+2i=?2(?2i)+2i=?2i= a et b? =?2(3?2i)+2i=?6?4i+2i=?6?2i. 2. On suppose que M ?∆. Alors M a pour affixe z = x ?2i avec x réel. M ? a pour affixe z ? =?2(x ?2i)+2i=?2x ?4i+2i=?2x ?2i donc M ? ?∆. 3. ? ?z ?+2i??= |?2z +4i| = |?2? (z ?2i)| = |?2|? |z +2i| = 2?|z +2i|. Interprétation géométrique : AM ? = 2AM 4. On suppose que M 6= A. Donc z 6=?2i. a. On sait que (??u , ???AM ) = arg ( z???AM ) = arg(z?a)= arg(z+2i )= ?modulo2pi. b. (z +2i)(z ?+2i)= (z +2i)(?2z +4i)=?2(z +2i)(z ?2i)=?2(z +2i)(z +2i)= ?2|z +2i|2.

• ?2x ?4i


• demi droite


• ?np avec np ?n?


• ex?1 dx


• points enseignement obligatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSCentresétrangersjuin2004\
EXERCICE 1 4points
′ ′1. a =−2a+2i=−2(−2i)+2i=−2i=aetb =−2(3−2i)+2i=−6−4i+2i=−6−2i.
2. Onsuppose queM∈Δ.AlorsM apouraffixez=x−2iavecx réel.
′ ′ ′M apouraffixez =−2(x−2i)+2i=−2x−4i+2i=−2x−2idoncM ∈Δ.
¯ ¯
′¯ ¯3. z +2i =|−2z+4i|=|−2×(z−2i)|=|−2|×|z+2i|=2×|z+2i|.
′Interprétationgéométrique:AM =2AM
4. Onsuppose queM6?A.Doncz6??2i.
³ ´ ³ ´→− −−→
a. Onsaitque u , AM =arg z−−→ =arg(z−a)=arg(z+2i)=θmodulo2π.
AM
′b. (z+2i)(z +2i)=(z+2i)(?2z+4i)=−2(z+2i)(z−2i)=−2(z+2i)(z+2i)=
2−2|z+2i| .
2 ′Or z+2i6?0. D’où|z+2i| >0 et (z+2i)(z +2i) est un réel strictement
négatif.
′c. Onendéduitquearg(z+2i)(z +2i)=π[2π].Donc
′arg(z+2i)+arg(z +2i)=π [2π].
′Puisarg(z +2i)=π−θ [2π].
³ ´ ³ ´−−→→− →− −−→′ ′d. Nous avons u , AM = arg(z +2i)=π−θ=π− u , AM , toutes ces
égalitésétantmodulo2π.
′Parconséquentlesdemi-droites[AM)et[AM )sontsymétriquesparrap-³ ´→−
portàl’axe O; v .
′ ′5. ÉtantdonnéunpointM distinctdeA,onsaitqueAM =2AM.DoncM appar-
′tientaucercleC decentreAetderayon2AM.Depluslepoint M appartient³ ´→−
à la demi-droite image de [AM) par la réflexion d’axe O; v . Comme cette
demi-droite apour origine le point A, elle coupe le cercleC en un seul point
′M .
′M
2
M→−
v
→−O
-6 -4 -2 u 2
′B BA
-2
′A Δ
EXERCICE 2 4points
Enseignementobligatoire
+
+
+
+
+
+BaccalauréatS
1
20 Rn+1Rn
pn
R19 n+1
20
1
5 Rn+1
qn
Rn+1 R4 n+1
5
1 1
1. a. L’énoncéditquep (R )= etp (R )= .n+1 R n+1R nn 5 20
Surl’arbrepondéréonplacecesdeuxprobabilités.
b. Pardéfinition:
1
p(R ∩R )=p (R )×p(R )= p .n n+1 R n+1 n nn 20
Demême:³ ´ ³ ´ 1
p R ∩R =p (R )×p R = q .n n+1 n+1 n nRn 5
c. Laloidesprobabilitéstotalespermetd’écrireque:³ ´
Rp(R )=p(R ∩R )+p ∩R soit:n+1 n n+1 n n+1
1 1
p = p + q .n+1 n n
20 5
d. Comme p +q =1,l’égalitéprécédentepeuts’écrire:n n
¡ ¢1 1 1 3
p = p + 1−p = − p .n+1 n n n
20 5 5 20
4 1 3 4 23−20
2. a. Quel que soit l’entier n, v =p − = − p − = −n+1 n+1 n
23 5 20 23 5×23µ ¶
3 3 3 3 4 3
p = − p =− p − =− p .n n n n
20 115 20 20 23 20
Cetteégalitémontrequelasuite (v ) estunesuitegéométrique derai-n n
3
son− .
20
4 4
Sonpremiertermeestv =p − =− .1 1
23 23
µ ¶ µ ¶ µ ¶n−1 n−13 4 4 3
b. Doncpourtoutentiernatureln nonnul,v = − × − =− − .n
20 23 23 20
µ ¶n−14 4 3 4
Onendéduitquep =v + =− − + .n n
23 23 20 23
µ ¶ µ ¶n−1 n−13 3 4 3
c. Ona−1<− <1,donc lim − =0et lim − × − =
n→+∞ n→+∞20 20 23 20
0.
4
Finalement lim p = .n
n→+∞ 23
EXERCICE 2 4points
Enseignementdespécialité
1. N est premier. N n’est pas premier car divisible par 3. N n’est pas premier2 3 4
car1 111=11×101.
(p−1)+11−x2 p−2 p−12. Onsaitquepourtoutréelx6?1, 1+x+x +u˚u˚u˚+x +x = =
1−x
px −1
.
x−1
p p10 −1 10 −1
Enparticulier,enprenantx=10,onobtientN = = .p
10−1 9
p pD’où10 −1=9×N avecN ∈N∗.Donc10 −1estdivisible par9. (Ou:Np p p
pétantnaturel10 −1estdivisiblepar9).
Centresétrangers 2 juin2004
bbbbbbbBaccalauréatS
¡ ¢
n n−2 n−13. Notons[1]l’égalitésuivante:x −1=(x−1) 1+x+???+x +x .
2q q10 −1 100 −1
a. AvecN =N = = Ord’après[1]avecx=100etn=q,p 2q
9 9¡ ¢
q q−2 q−1ona:100 −1=(100−1) 1+100+???+100 +100 =
¡ ¢
q−2 q−199× 1+100+???+100 +100 .¡ ¢
q−2 q−1Par conséquent N = 11× 1+100+???+100 +100 est divisiblep
par11. ¡ ¢ ¡ ¢
2 3 2q−1 2qAutreméthode: N =(1+10)+ 10 +10 +???+ 10 +10 =(1+2q ¡ ¢
2 2q−1 2 2q−110)+10 (1+10)+???+10 (1+10) = 11× 1+10 +???+10 qui
montrequeN estdivisiblepar11.2q
3q q10 −1 1000 −1
b. N =N = = .p 3q
9 9
Ord’après[1]avecx=1000etn=q,ona:
¡ ¢
q q−2 q−11000 −1=(1000−1) 1+x+???+x +x =
¡ ¢
q−2 q−19×111× 1+x+???+x +x .
¡ ¢
q−2 q−1ParconséquentN =111× 1+x+???+x +x estdivisiblepar111.p
Autreméthode: Onpeutfairedespaquetsdetroistermesquisontmul-
tiplesde111
kq q10 −1 (10k) −1
c. N =N = = .p kq
9 9
Orenappliquant[1]avecx=10k etn=q,ona:¡ ¢
q q−2 q−1(10k) −1=(10k−1) 1+x+???+x +x .
¡ ¢
q−2 q−1(10k−1) 1+x+???+x +x
AinsiN = =p
9
¡ ¢ ¡ ¢10k−1
q−2 q−1 q−2 q−11+x+???+x +x =N × 1+x+???+x +x .k
9¡ ¢
q−2 q−1Or 1+x+???+x +x est un entier naturel non nul. Finalement
N estdivisibleparN .p k
4. Si p n’est pas premier, alorsN n’est pas premier (car N est divisible par Np p k
avec1<N <N ).k p
Lacontraposéedecetteimplicationest:SiN estpremier,alorsp estpremier.p
Autrementdit,pourqueN soitpremier,ilfautquep soitpremier.p
Cetteconditionn’estpassuffissante,car3estpremier,maisN nel’estpas.3
Problème 9points
PartieA
1. g(0)=0etg(1)=1.
x−1La fonction exp est dérivable surR alors la fonction x7?→ e est dérivable
sur[0;1]doncparproduitlafonction g estdérivablesur[0;1].
′ x x−1 x−1 x−1g (x)=e −1+xe =(1+x)e .Ore >0etpourx∈[0; 1], 1+x>0.
′Doncpourtout x∈[0; 1], g (x)>0.Doncg eststrictement croissantesur[0;
1].
Donclafonctiong vérielesconditions(1)et(2).
µ ¶x x¡ ¢ e e −ex−1 x−12. g(x)−x=xe −x=x e −1 =x −1 =x .
e e
x xg(x)−x= (e −e).
e
0 x 1 x x06x61⇒e 6e 6e ⇐⇒ 16e 6e.Donce −e60.
Lafonctiong vérifielacondition(3).
3. Legrapheestdessinéci-dessous
Centresétrangers 3 juin2004BaccalauréatS
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,5
PartieB
1. Remarque:Onadmetquelafonction f estcontinuesur[0;1],cettehypothèse
aétéomisedansl’énoncé.
Lesfonctionsx7?→x et f sontcontinuessurl’intervalle [0;1].
Z1
De plus quel que soit x∈ [0 ; 1], x> f(x). Donc l’intégrale (x− f(x))dx
0
estl’aireexpriméeenunitéd’airedelasurfacelimitéeparladroited’équation
y=x, la courbe représentant f et par les droites verticales d’équations x=0
etx=1. Z1
EnconséquenceI= (x−f (x))dx
0
Z Z Z1 1 1
2. I = (x−g(x))dx= xdx− g(x)dx.g
0 0 0
Z · ¸ Z Z121 1 1x 1 x−1Ord’unepart xdx= = etd’autrepart g(x)dx= xe dx.
2 20 0 0 0
Pourcalculercettedernièreintégraleonpose:
½ ′u(x) = x u (x) = 1
d’où .Toutescesfonctionsétantconti-′ x−1 x−1v (x) = e v(x) = e
nues,onintègreparparties:
Z Z1 1£ ¤ £ ¤ 11 1x−1 x−1 x−1 −1g(x)dx= xe - e dx=1− e =1−1+e = .0 0 e0 0
1 1
Finalement I = − .g
2 e
Z Z Z1 1 1 1
3. a. I = (x−f (x))dx= xdx− f (x)dx= −u .n n n n
20 0 0
n nb. Pourtout entier n>2et pour tout t∈[0 ; 1], t61 donc t×t 61×t
n+1 ndonct 6t .Deplus1+t>0ainsiquesoninverse,doncpour
n+1 nt t
t∈[0; 1], 6 .
1+t 1+t
n+12t
Doncquelquesoitt∈[0 ; 1], etenintégrantsur[0;1]onobtient
1+t
u 6u .n+1 n
Donclasuite(u )estdécroissante.n
n1 t
n nc. Pourt de[0;1],t >0et1+t>1donc06 61 donc06 6t .
1+t 1+t
Zn 12t n nd. Donc06 62t sur[0;1];doncenintégrant06u 6 2t dt.n
1+t 0
Centresétrangers 4 juin2004BaccalauréatS
Z · ¸11 1 2n n+12t dt= 2 t = .Finalementpourtoutn∈N, 06u 6n
1+n 1+n0 0
2
.
1+n
2
e. Comme lim =0,d’aprèslethéorèmed’encadrement
n→+∞1+n
lim u =0.n
n→+∞
Centresétrangers 5 juin2004